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1、卷积码的维特比译码卷积编码器自身具有网格结构，基于此结构我们给出两种译码算法：Viterbi 译码算法和 BCJR 译码算法。基于某种准 则，这两种算法都是最 优的。1967 年，Viterbi 提出了卷 积码的 Viterbi 译码算法，后来 Omura 证明 Viterbi 译码算法等效于在加权图中寻找最优路径问题的一个动态规划（Dynamic Programming）解决方案，随后，Forney 证明它 实际上是最大似然（ML，Maximum Likelihood）译码算法，即译码器选择输出的码字通常使接收序列的条件概率最大化。BCJR 算法是 1974 年提出的，它实际上是最大后验概率
2、（MAP ，Maximum A Posteriori probability） 译码算法。这 两种算法的最优化目标 略有不同：在 MAP 译码算法中，信息比特错误概率是最小的，而在 ML 译码算法中， 码字错误概率是最小的，但两种译码算法的性能在本质上是相同的。由于 Viterbi 算法实现更简单，因此在实际应用比较广泛，但在迭代译码应用中，例如逼近 Shannon 限的 Turbo 码，常使用 BCJR 算法。另外，在迭代 译码应用中，还有一种 Viterbi 算法的变种：软输出 Viterbi 算法（SOVA，Soft-Output Viterbi Algorithm） ，它是 Hagen
3、auer 和 Hoeher 在 1989 年提出的。为了理解 Viterbi 译码算法，我 们需要将编码器状态图按时间展开（因为状态图不能反映出时间变化情况） ，即在每个时间单元用一个分隔开的状态图来表示。例如（3，1，2）非系统前馈编码器，其生成矩阵为： （1）()=1+ 1+2 1+2图 1 （a） （3，1，2）编码器 （b）网格图（h5） 假定信息序列长度为 h5，则网格图包含有 hm18 个时间单元，用 0 到 hm 7 来标识，如图 1（b）所示。假设编码 器总是从全 0 态 S0 开始，又回到全 0 态，前 m2 个时间单元对应于编码器开始从 S0“启程”，最后 m2 个时间单元
4、对应于向 S0 “返航 ”。从图中我们也可以看到，在前 m 个时间单元或最后 m 个 时间单元，并不是所有状态都会出现，但在网格 图的中央部分，在每个时间单元都会包含所有状态，且在每个状态都有 2k2 个分支离开和到达。离开每个状态的上面分支表示输入比特为 1（即 ui1，i 表示第 i 个时间单元） ，下面的分支表示输入比特为 0。每个分支的输出 vi 由 n 个比特组成，共有 2h32 个码字，每个码字都可用网格图中的唯一路径表示，码字长度 Nn(hm)21。例如当信息序列为 u（11101） 时，对应的码字如图 1（ b）中红线所示，v（111，010 ，001， 110，100，101
5、，011） 。在一般的（n，k，v）编码器情况下，信息序列长度 K*=kh，离开和进入每个状态都有 2k 个分支，有 2K* 个不同路径通过网格图，对应着 2K* 个码字。假设长度 K*=kh 的信息序列 u=(u0,u1 uh-1) 被编码 成长度为 N=n(h+m) 的码字 v=(v0, v1 vh+m+1) ，在经过一个二进制输入、 Q-ary 输出的离散无记忆信道（DMC， Discrete Memoryless Channel ）后，接收序列为 r=(r0 ,r1 rh+m+1)。也可表示为： u=(u0 ,u1 uK*-1) ，v=(v 0 ,v1 vN-1)，r =(r0,r1
6、rN-1)，译码器对接收到的序列 r进行处理，得到 v 的估计 。在离散无记忆信道情况下，最大似然译码器是按照最大化对数似然函数 log P(r | v) 作为选择 的准则。因为对于 DMC， （2）()=+1=0 ()=1=0()两边取对数后为： （3）()=+1=0 ()=1=0()其中 P(rl | vl )是信道转移概率，当所有 码字等概时，这是个最小错误概率译码准则。对数似然函数 log P(r | v) ，用 M(r |v )表示，称为 路径度量（path metric） ；log P(rl | vl ) ，称为分支度量（ branch metric） ，用 M(rl | vl )
7、 表示；log P(rl | vl ) 称为比特度量（bit metric） ，用 M(rl | vl )表示，这样（3）式可写为： （4）(|)=+1=0 ( | )=1=0( | )如果我们只考虑前 t 个分支，则部分路径度量可表示为： （5）(|)=1=0( | )=1=0( | )对于接收序列 r，Viterbi 算法就是通过网格图找到具有最大度量的路径，即最大似然路径（码字） 。在每个时间单元的每个状态，都增加 2k 个分支度量到以前存储的路径度量中（加） ；然后对进入每个状态的所有 2k 个路径度量进行比较（比） ，选择具有最大度量的路径（选） ，最后存储每个状态的幸存路径及其度量
8、。Viterbi 算法： Step 1: 在 tm 时间单元开始，计算进入每个状态的单个路径的部分度量，存储每个状态的路径（幸存）及其度量； Step 2: tt1，对进入每个状态的所有 2k 个路径计算部分度量，并加上前一时间单元的度量。对于每个状态，比较进入该状态的所有 2k 个路径度量，选择具有最大度量的路径，存储其度量，并删掉其他路径。Step 3: 如果 th+m，返回 step 2；否则，就停止。 Viterbi 算法的基本计算“加、比、选”体现在 step 2。注：实际工程中，在每个状态存储（在 step 1 和 step 2）的是对应于幸存路径的信息序列，而不是幸存路径自身，这
9、样当算法结束时，就无需再通过估计码字 来恢复信息序列 。 从时间单元 m 到 h，有 2v 个幸存路径，每个状态（共有 2v 个状态）一个。随后，幸存路径数就会变少，因为当编码器回到全 0 态时，状态数就会变少。最后，在时间单元 hm，就只有一个状态（即全 0 态） ，因此，也就只有一个幸存路径了，算法中止。定理 1：在 Viterbi 算法中最后的幸存路径 是最大似然路径，即 （6）()(), 从实现的角度看，用正整数度量来表示要比用实际的比特度量表示更方便。比特度量 M(rl | vl )=log P(rl | vl )可用 c2log P(rl | vl )+c1来代替，其中 c1 是任
10、意实数，c 2 是任意正实数。可证明，如果路径 v 最大化，则 它也最大化 c2log P(rl | vl )+c1，(|)=1=0( | )=1=0()因此可以使用修正的度量，且不影响 Viterbi 算法的性能。如果选择 c1 使最小度量为 0，则 c2 可选择为使所有度量近似 为整数。这样，由于用整数来近似表示度量，Viterbi 算法的性能变 成了次最优算法，但通过选择 c1 和 c2 可使得 这种性能降低非常小。 例 1：对于二输入、4-ary 输出的 DMC 信道下的 Viterbi 算法 二输入、4-ary 输出的 DMC 如图 2 所示。该信道的比特度量如图 3（a）所示（按照
11、底为 10 的对数计算） ，选择 c11，c 217.3，得到整数度量表如图 3（b）所示。 0.40.40.20.30.10.30.2 0.1 0 1 01 02 11 12 图 2 二输入、4-ary 输出 DMC 信道模型 l rl v 01 02 12 11 l r l v01 02 12 110 -0.4 -0.52 -0.7 -1.0 0 10 8 5 01 1.0 -0.7 -0.52 -0.4 1 0 5 8 10(a) (b)图 3 度量表 假设图 1 中的一个码字在这样的信道中传输，接收到的序列为： r（1 11201，111102 ，111101，111111，01120
12、1，120211，120111） (7)对该序列进行 Viterbi 译码如图 4 所示。每个状态上的数字表示幸存路径的度量，另一个路径就将被删除（绿线部分）。这样最后的码字（红线部分的输出）判决为： =(111,010,110,011,000,000,000) （5.8）它对应的输入序列为 =(11000)。注意：网格图中最后的 m2 个分支是清空寄存器的，不能算作为输入信息序列。图 4 DMC 信道下的 Viterbi 算法在 BSC 信道情况下，转移概率为 p1/2，接收序列 r 是 2-ary 输出的，此时对数似然函数为：log P(r | v) = d(r, v) log p/(1-
13、p) + N log(1-p) （9）其中 d(r, v) 是 r 和 v 之间的 Hamming 距离。由于 log p/(1-p)0，且 N log(1 - p) 对所有 v 来说 都是一个常数，因此最大似然 译码（ max log P(r | v) ）就是最小化 Hamming 距离（ min d(r, v) ） 。 （10）(|)=+1=0 ( | )=1=0( | )因此，当我们将 Viterbi 算法应用到 BSC 信道时， d(rl , vl ) 成为分支度量，d(rl ,vl )为比特度量，该算法就是寻找具有最小度量的路径，即与 r 汉明距离最近的路径。该算法运算仍然相同，只是用 Hamming 距离代替了似然函数作为度量，在每个状态的幸存路径是具有最小度量的路径。
