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1、1高一数学人教（新课标）专题二十一 两角和与差的正弦、余弦、正切一、学习要求掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式证明二、重点难点重点是正弦、余弦的和（差）角公式，它们是全部和（差）角公式及后面的倍角公式等的基础难点是余弦的和角公式的推导充分利用单位圆、平面内两点间的距离公式及化简过程，是克服这一难点的关键三、学法点拨1、两角和与差的余弦公式cos()=coscossinsin(C () ) cos()=coscossinsin(C () )点拨（1）上述公式对 、 取任意角都成
2、立.（2）公式特点：公式中右边有两项，中间符号与左边角间符号相反，两项排列顺序是：coscos、sinsin.（3）牢记公式并能熟练进行左、右互化.如化简：cos( )cos sin( )sin 时，不要将 cos()、sin()展开，而应就整个式子直接用公式化为 cos()=cos.（4）和（差）角公式可看成诱导公式的推广，诱导公式可看成和（差）角公式的特例.当 、 中有一个角为 的整数倍时，以利用诱导公式较为简捷.2、两角和与差的正弦公式sin()=sincoscossin(S () ) sin()=sincoscossin(S () )2点拨（1）上述公式对 、 取任意角都成立.（2）公
3、式特点：右边有两项，中间的符号与左边角间符号一致，两项顺序为：sincos、cossin.（3）牢记公式并能熟练进行左、右互化.如化简 sin()coscos( )sin=?可直接用公式化简为 sin() =sin(2).（4）两角和与差的三角函数是诱导公式的推广，诱导公式是它的特例，当 、 中有一个角为 90的整数倍时，用诱导公式较为简便.3、两角和与差的正切公式点拨（1）T 中：、 都不取 （kZ）时，公式才适用；T 中：、 都不取 （kZ）时，公式才适用.（2）如 、 有一个角取 （kZ）时，可用诱导公式，（3）公式特征：右边分子为两项：tan、tan，中间符号与右边角间符号一致；右边分
4、母为两项：1，tantan，中间符号与左边角间符号相反.（4）注意左、右互化，如求值： ，可将式子化为：34、和（差）角的正、余弦公式的“加”、“ 减”、“乘”规律（1）sin()sin()=2sincos （2）sin() sin()=2cossin（3）sin()sin( )=sin 2sin 2 （4）cos()cos()=2coscos（5）cos()cos()=2sinsin （6）cos()cos( )=cos 2sin 25、和（差）角的正切公式的变形形式由 tan( )= 变形得tantantantantan()=tan()由 tan( )= 变形，得 .6、形如 asinbc
5、os 的三角函数式可化成一个角的一个三角函数即 asinbcos=令 .故 asinbcos= ，此即为化一公式，其中 .47、正弦、余弦、正切的和（差）角公式的联系四、典型例题解析1、利用和、差角公式进行求值例 1、已知 ，求 sin().分析：解析：例 2、已知5分析：解析：点评：利用和（差）角公式进行求值时，一定要注意角的变换，另外还要注意公式的灵活运用，左右互化等.2、利用和、差角公式进行化简例 3、化简 .分析：将每个公式中分子用差角公式展开.解析：原式例 4、化简：tantan2tan2tan3tan ntan(n1)(nN ).分析：问题实质是求数列tanktan(k1)的前 n
6、 项和，从通项入手，利用差角(k 1) k= 的正切，产生 tan(k1)tank，再裂项求和.解析：6点评：对于正切和（差）角公式有时常用它的变形形式：tantan=tan()(1tantan) tantan=tan()(1tantan)一般是指同一个式子中，既有两角的正切和（差），又有两角的正切积时用上述两公式进行变形较为简便.3、利用和、差角公式进行证明例 5、求证： .分析：2=（ ）证明：左边=右边点评：等角变换，公式的左、右互化是解本题的关键.例 6、已知 sin(2)=3sin， （k，nZ），求证：tan( )=2tan.7分析 1：由条件进行等角度换 2=()，=()，利用和
7、差角的正弦公式展开，化简得待证等式.证明： sin(2)=3sin sin() =3sin()sin()cos cos()sin=3sin( )cos 3cos( )sin4cos( )sin=2sin()cos即 sin()cos=2cos()sin tan()=2tan分析 2：刚才的解法是从条件到结论.本题亦可用等价转换法证明，尤其是“观察到” 条件中有系数“3”，故我们首先“关注”结论中的系数“2”利用合分比定理，可“构造” 出 2来.证明：故命题成立.点评：两个化切为弦关系很常用： ，这种结构，常联想实施合分比变换.4、和、差角公式的综合运用例 7、求函数 y=3sin(x20)5s
8、in(x80)的最大值.8分析一：由于涉及到的两角不一致，故可考虑利用和角公式先展开，然后再重新组合。解：函数 y=3sin(x20) 5sin(x80)的最大值是 7.分析二：可把 x20作为整体.解：令 = x 20，则 x80=60.y=3sin5sin(60)=3sin5sincos605cossin60= .函数 y 的最大值是 7.例 8、 已知 tan、tan 是方程 的两根，且求 的值分析： 由根与系数的关系联想到和角的正切公式来求解解析：9点评： 本题既要注意到 的取值范围，又要善于发掘隐含条件tan0，tan0例 9、求值：（1tan1）（1tan2 ）（1tan44）分析
9、：利用两角和的正切公式的变形，tantan=tan()(1tantan)解析：（1tan1）（1tan44 ）=1 （ tan1tan44）tan1tan44=1 tan（144）（1tan1tan44）tan1tan44=1 tan45（1tan1tan44）tan1tan44=1 （ 1tan1tan44）tan1tan44=2同理可求得（1tan2）（1tan43 ）=2原式=2 22点评：注意到 144=45，243=45 ，利用和角的正切公式变形是解题的切入点在线测试一、选择题101、sin14cos16 sin76cos74的值是（）A B C D2、化简 的结果是（）A1B C
10、D 3、cosx sinx 等于（）A B C D4、已知 sin=a，cos=b ，cos()= ，且 、（0， ），则 a 与 b 有关系式（）A BC D5、在ABC 中，若 sinAsinBcosAcosB，则此三角形的外心位于它的（ ）A内部 B外部 C一边上 D以上都不对6、tan15 tan45 tan15的值为（）A B C D117、已知 = ，则(1 tan)(1tan)=（）A2B1 C1 D28、已知 ，则 sin2 的值是（）A B C D 9、已知 ，则 sin 等于（）A0B0 或 C D10、已知 sinsinsin=0，coscos cos=0，则 cos()
11、的值是（）A1B1 C D 二、填空题11、已知 13sin5cos=9，13cos5sin=15，则 sin()=_12、若锐角 ， 满足 ，则 =_三、解答题13、已知 5sin=sin(2)，求 的值.14、已知 、 为锐角， ，求 cos 的值.1215、已知 coscos=sinsin，求证：sin(2)=sin.16、设 ， 是公差为 的等差数列，试求 tantantantantantan 的值.答案及提示：1 B 2 B 3 A 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C 9 C 10 题 D提示：1、原式=sin14cos16cos14sin16=sin30=2、原式=3、4、5、
12、由条件可知 cos(AB)0，即 cosC0， C 为钝角故ABC 为钝角三角形，故选 B6、7、138、9、10、由条件得：11、答案： 提示：由条件两边平方相加可得12、答案： 提示：由条件得：1413、由已知得：14、由 、 为锐角可得 sin= ，且知 在第四象限，于是：15、证明：由已知 coscossinsin=0，即 cos()=0. sin(2)=sin()=sin()coscos( )sin=sin()cos.又 cos=cos() =cos()cos sin()sin=sin( )sin15 sin(2)=sin 2()sincos( )=0，即 sin2()=1. sin(2)=sin.16、解：由 tan()= .
