《第十四章分离变量法教学案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十四章分离变量法教学案例（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十四章 分离变量法,数学物理方法,定解问题最常用的解法分离变量法 核心思想：将未知函数按多个单元函数分开,偏微分方程若干常微分方程,求解常微分方程： 特解线性无关的特解叠加出通解用定解条件定出叠加系数 求解一阶线性偏微分方程： 转化为一阶线性常微分方程 二阶及高阶偏微分方程：难以定出待定系数 分离变量法： 满足方程及一部分定解问题的全部特解 用另一部分定解条件定出叠加系数,14.1 两端固定弦的自由振动,长为 l 、两端固定的弦，发生自由振动的方程及定解条件为,方程和边界条件是齐次的，初始条件为非齐次的。,选取相应的齐次定解条件， 与其中一个常微分方程构成本征值问题。,将,代入边界条件，得,
2、常微分方程含有一个待定常数,定解条件是一对齐次边界条件,X(x) 的常微分方程的定解问题称为本征值问题, 即,当 时，方程 为,既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解 X(x) ，称为本征函数，相应的 值称为本征值。, 第二步：求解本征值,方程的通解为,由边界条件 ， 知,即,因此， 不是本征值。,当 时，常微分方程的通解是,由边界条件 ， 知 ，,相应的本征函数为,取, 第三步：求特解，并进一步叠加出一般解,将 代入方程,得,可知满足偏微分方程和边界条件的特解为：,，特解有无穷多个，将特解叠加， 只要保证级数收敛可得一般解。,一般解既满足偏微分方程又满足边界条件，因而不同于通解。,
3、将一般解代入初始条件，得,第四步：利用本征函数的正交性定出叠加系数,本征函数的正交性：,对于,两端同乘以 ，并积分，得,定义：本征函数的模方,同理，对于,可得,两端同乘以 ，并逐项积分,由以上讨论可知该定解问题的解为：,小 结 分离变量法求解偏微分方程的基本步骤： 分离变量（齐次条件） 求解本征值 求出所有特解，叠加出一般解 利用本征函数正交性定出叠加系数,验证： 解函数是否满足偏微方程级数解的收敛性 （是否可以逐项求偏微商）。 解函数是否满足边界条件级数解的和函数是否连续。 定叠加系数时，逐项积分是否合法。,求如下定解问题的一般解,第一步,令 ，代入方程,得,移项，两端同除以 ，有,可知，,
4、将 代入边界条件，得,即,有本征值问题,第二步,可知,即,因此， 不是本征值。,即,本征函数为,第三步,将 代入方程,得, 满足偏微分方程的特解为,一般解，,第四步,按照已推出的系数公式可知,由三角函数正交性知， 时，,或者将一般解直接代入初始条件,各点的振幅分布,.相位因子 a 为角频率，与初始条件无关， 称为固有频率或本征频率。 波数为1（ x 的系数） 初相位为 ，由初始条件决定。,分离变量法的先决条件： 本征值问题有解 定解问题的解一定可以按照本征函数展开本征函数的全体是完备的 本征函数一定具有正交性,对于任一时刻 t，有界弦的总能量是：动能+势能,将一般解,代入 E(t)，并利用正交
5、性得,显然与 t 无关，即弦的总能量守恒,求如下扩散场的定解问题。,（1）分离变量，令,方程化为,（2）求本征值问题,由边界条件可知 l=0 不是本征值， ln=n2 是 本征值，本征函数为 Xn(x)=sinnx,将 l =n2 代入,（3）求一般解,满足扩散方程的特解是,因此，一般解为,（4）定系数,将一般解代入初始条件,比较两边sinnx及系数，得,可知定解问题的一般解为,扩散场的浓度是一个随空间和时间连续变化的物理量,14.2 分离变量法的物理诠释,特解,是一个驻波,表示弦上各点的振幅分布,表示相位因子,是驻波的角频率，与初始条件无关，称为固有频率或本征频率,为波数，（单位长度上波的周
6、期数）,是初位相，由初始条件决定,波节：,的各点上，振幅0,共有 n +1 个波节（含两个端点）,波峰：,的各点上，振幅 max,共有 n 个波峰,这种解法也称为驻波法,基频：固有频率中的最小值, 决定音调,（ ，材料一定，改变张力 T ）,倍频：,基频和倍频的叠加系数 、 的相对大小频谱分布,声强,齐次的波动方程和热传导方程,14.3 矩形区域内的稳定问题,一维情况：,二维情况：,三维情况：,在稳定态U与t无关,拉普拉斯方程,二维情况下的稳定问题（平面直角坐标） 矩形区域内的稳定问题,设有定解问题,边界条件,x,y,b,a,(1) 令 ，代入方程 得,即,将 代入一对齐次边界条件,有,构成本
7、征值问题,(2) 方程 的通解为,由边界条件 知,本征函数,(3) 由 可求出,定解问题的特解为,一般解为,(4) 将一般解代入一对非齐次条件,定义函数,由正交性 可知,所以,可见，对于稳定问题（与 t 无关），采用一对齐次边界条件构成本征值问题，用另一对齐次边界条件定系数。,均匀薄板 0 x a ，0 y ，边界上温度为 求解般的稳定温度分布。, 令 则,两边同除以 X(x)Y(y)，,由边界条件 知 X(0) = X(a) = 0, 将一般解代入 y 的边界条件,利用正交性知,以矩形介质的热传导问题为例，假设介质四周绝热，定解问题为,14.4 多于两个自变量的定解问题,边界条件,初始条件,
8、令 代入方程得,两边同除以 X(x)Y(y)T(t) 得,相当于引入常数 m g l = 0 则,对边界条件分离变量可得,得到 X(x) 和 Y(y) 的两个本征值问题,本征值：,求解 X(x) 和 Y(y) 的两个本征值问题,本征函数：,本征值：,本征函数：, 代入初始条件, 的通解为,其中,一般解：,特解：,可得：,当 n 0 、m 0 时，两边同乘以,积分后，由正交性可知,当 n 0 、m = 0 时，初始条件变为：,当 n = 0 、m 0 时，初始条件变为：,两边同乘以 积分后，由正交性可知,两边同乘以 积分后，由正交性可知,当 n = m = 0 时，由初始条件直接可知：,利用 d
9、 函数的性质将以上四种情况合并为：,纯粹由外力引起的两端固定弦的受迫振动，弦的初始位移和初速度均为零。定解问题为：,14.5 两端固定弦的受迫振动,边界条件,初始条件,非齐次方程的分离变量法,处理方法,本征函数展开法,方程齐次化法,适用于非齐次项 f(x, t) 的形式简单，通常为单变量函数 g(x) 或 g(t) 。,方程齐次化法：边界条件保持齐次，而将方程齐次化。,先求出非齐次方程的一个特解 v(x, t) ，即,设,代入原方程有,可知，w(x, t) 是相应齐次方程的解：,使用分离变量法,前提条件：w(0, t) = 0 ，w(l, t) = 0 。,即 v(x, t) 同时满足非齐次方
10、程和齐次边界条件。,对于 w(x, t) 的定解问题：,w(x, t) 的一般解为：,U(x, t) 的一般解为：,代入初始条件有：,即,由正交性定出系数：,方程齐次化法的适用范围： 非齐次方程齐次化时，必须保持原有的边界条件不变 非齐次项 f(x, t) 的形式较简单 初始条件可以是非齐次的,求定解问题：,非齐次项为 f(x) ，设 U(x, t) = v(x) + w(x, t),边界条件,初始条件,v(x) 是方程的特解：,且 v(0) = 0 ，v (x) = 0 ，可求出 v(x),而 w(x, t) 则满足定解问题：,按照齐次方程定解问题的分离变量法求解步骤即可求出 w(x, t)
11、 的一般解，最后：,关于 U(x, t) 的非齐次方程的定解问题,关于 w(x, t) 的齐次方程的定解问题,长为 p ，两端固定的弦，在单位质量上受力 sinx 的作用下由静止状态从水平位置开始做小振动，求其横振动的定解问题。 定解问题为：,边界条件,初始条件,令 U (x, t) = v (x) + w (x, t) ，代入定解问题,视 v(x) 为原方程的特解：,则 w(x, t) 满足的定解问题为：, v(0) = 0 ， B = 0, v(p) = 0 ， 即 A = 0,由分离变量法可得 w (x, t) = X (x)T(t) ，代入 w (x, t) 的定解问题,将 w (x,
12、 t) 的一般解代入 w (x, t) 的初始条件,因而有,所以,求解定解问题： 其中 a、A0、w 均为已知常数。,边界条件,初始条件,令 U (x, t) = v (x, t) + w (x, t) ，代入定解问题,视 v(x, t) 为原方程的特解，考虑到非齐次项，取,特解 v(x, t) 不可以为 v(t) ，必须保证边界条件的齐次性不改变。,将 代入原方程：,则特解 v(x, t) 为：,而 w(x, t) 满足的定解问题为：,按照齐次方程的分离变量法可求出：,由初始条件定出：,由正交性知：,即 n 为奇数时 Cn 不为零，所以：,长为 p ，两端固定的弦，在单位质量上受力 sint
13、 的作用下由静止状态从水平位置开始做小振动，求其横振动的定解问题。 定解问题为：,边界条件,初始条件,令 U (x, t) = v (x) + w (x, t) ，代入定解问题,视 v(x, t) 为原方程的特解，考虑到非齐次项，取,特解 v(x, t) 不可以为 v(t) ，必须保证边界条件的齐次性不改变。,代入原方程：,则特解 v(x, t) 为：,而 w(x, t) 满足的定解问题为：,按照齐次方程的分离变量法可求出：,由初始条件定出：,由正交性知：,即 n 为偶数时，Cn 为零， n 为奇数时，,本征函数展开法：按相应齐次问题本征函数作展开,非齐次方程的分离变量法,处理方法,本征函数展
14、开法,方程齐次化法,当方程的非齐次项 f(x, t) 形式复杂，很难求出特解 v(x, t) 时，寻找一组完备的本征函数 Xn(x), n = 1, 2, 3, ，将 U(x, t) 和 f(x, t) 均按本征函数展开,只要求出 Tn(t)，就可知 U(x, t) 了,求解思路,非齐次偏微分方程定解问题,非齐次常微分方程定解问题,引入本征函数展开的试探解,纯粹由外力引起的两端固定弦的受迫振动，弦的初始位移和初速度均为零。定解问题为：,边界条件,初始条件,其中 a 和 f(x, t) 已知。,先求出相应齐次方程定解问题的本征函数 Xn(x), n = 1, 2, 3, ,边界条件,初始条件,按
15、照本征函数作展开，并代入原方程,设,由本征函数的展开性可知 f(x, t) 已知的展开系数 gn(t) ：,代入原方程，得：,又知：,则,结合正交性可知：,将 代入初始条件：,非齐次常微分方程定解问题,采用积分变换法求解，对方程两边同时做 L,再求反演，由卷积定理可知：,所以：,求解非齐次常微分方程定解问题,长为 l ，两端固定的弦，在单位长度上受横向力 g(x) sinwx 的作用下做小振动，已知弦的初始位移 和 速度分别为j (x) 和 f (x) ，求其横振动的规律。 定解问题为：,边界条件,初始条件,令 U (x, t) = v (x , t) + w (x, t) ，代入定解问题,定解问题,即,定解问题,定解问题,定解问题的特解为：,将 v(x, t) 按本征函数寨开，令,将非齐次项按本征函数展开,由正交性可知,则定解问题的方程化为：,由正交性可知,相应的初始条件为：,定解问题,对定解问题的方程两边作拉式变换：,由卷
