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1、1,晶向指数和晶面指数,2,晶向（crystal directions） ： 通过晶体中任意两个结点的连线的方向，代表了晶体中原子列的方向。,晶面： （crystal planes） 晶体结构中不在同一直线上任三个阵点所构成的平面，代表了晶体中原子面的方向。,.什么是晶向和晶面?,3,（1）.不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。（2）.材料的许多性质和行为(如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等)都和晶面、晶向密切相关；,、如何表征晶向和晶面？,5,一. 晶向符号(三轴，如立方),用三指数u，v，w表示晶向符号。 确定三轴坐标系下晶向指数的步骤如下：,设坐标 以晶胞的
2、某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x, y , z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。,立方晶系中阵点坐标,6,(2) 求坐标 过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。在直线OP上任取（除原点外）一个阵点P，确定P点的3个坐标值X、Y、Z。,方法上可作平行六面体，从而求X、Y、Z，不能向各晶轴面作垂线求坐标。,7,(3)以轴单位a、b、c来度量，得系数U、V、W.,U=X/a，VY/b，WZ/c,r = U a + V b + W c,确定立方晶系中晶向指数示意图,O,P,8,(4) 化为互质整数比 将这3个坐标值化为互质的最小整数u，v，w。不求倒数。,(5) 列括号，u
3、v w即为待定晶向的晶向指数。若晶向上一坐标值为负值则在指数上加一负号。不加逗号,e.g., x-axis 100 y-axis 010 z-axis 001,111,110,U V W 晶向Miller指数,X/a：Y/b：Z/cu：v：w,9,10,（1）找出该晶向上两点的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2);（2）将(x1-x2)，(y1-y2)，(zl-z2)化成互质整数u，v，w;（3）满足u：v：w(x1一x2)：(y1一y2) ：(zlz2)。,若原点不在待标晶向上，还可以这样操作：,112,11,12,（1）与原点位置无关；每一符号代表一组在空间相互平行且方向一致的所
4、有晶向。,晶向符号特征及规律：,（2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反。,13,（3）有些晶向在空间位向上不同，但晶向原子排列情况相同，这些晶向可归为一个晶向族，用表示。如111晶向族包括111、T11、1T1、11T、TT1、1TT、T1T、TTT 。,同一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同。,14, 晶向族：等价晶向 e.g., =100+010+001 +100+010+001 (立方晶体),区别:晶族(crystal group),15,=?,=110+101+011+T10+1T0+T01+10T+0T1+01T+TT0+T0T+0TT,16,晶向族:任意交换指数的位
5、置和改变符号后的所有指数。,=?,=111+ 11+1 1+11 TT11TTT1TTTT,17,二. 晶面指数(三轴，如立方),1、确定立方晶系晶面指数（）的步骤如下:,设坐标： 在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；原点设在待求晶面以外。,晶面符号中应用最广的是米氏符号，由英国学者米勒尔在1839年创立。,18,求截距系数： 顺序求待标晶面在三个轴上的截距系数(p、q、r)，即由该晶面在三个晶轴上的截距用相应的轴单位去度量而求得。 因为截距的具体值不便应用，且轴单位相同用具体值也不必要，所以取截距系数。,截距系数相同的晶面，由于晶系的不同，其在各晶轴上所截的真正长短也并不一
6、定相等。,19, 取倒数：取各截距系数的倒数； 1/x, 1/y, 1/z, 化整数：将三倒数化为互质的整数比h：k：l,取倒数是为了使一些平行于某晶轴的晶面能标定其符号，否则如：1等无法标定。不存在某位为零而无法求倒问题，因为晶面符号表示一系列平行晶面，如某面的截距为零，则平移即可。,求比是因为对诸如截距系数为：1、2、4；2、4、8等晶面，其位向实际上完全相同，性质也一样，而这些平行的晶面在晶体中近于无穷多个，用截距系数或倒数作符号将会有无数个，不现实也没必要。由于其方位相同，性质相同，所以应采用同一符号，故应求比并且化简。,h：k：l1/p：1/q：1/r,20, 加括号：去掉比号，加一
7、小括弧，记为（hkl），即表示该晶面的米氏符号，如果所求晶面在晶轴上截距为负数（该晶面与该轴负方向相截）则在指数上加一负号。其中h、k、l称为晶面指数（米勒指数），它们是一组小的、互质的整数。,21,22,2.晶面指数特点与规律：,（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面。,晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的晶面，而不是某一晶面。,(2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（TT0）互相平行。,（3） 晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大，则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距系数为，对应的
8、指数为1/0.,23,（4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。如：111 （111）、110 （110）、100 （100）。该规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直，则(hkl)与hkl不垂直。,晶面（hkl）的法线与晶向hkl的方向平行，这就是晶面指数的几何意义。,（100）与 100？有何关系？,24,动画-晶面指数的确定方法,25,例: (由晶面符号画出晶面),26,3、晶面族,在晶体内凡晶面间距和晶面上原子排列分布情况完全相同，只是空间位向不同的一组晶面的集合称为晶面族。,27,晶面族表示方法：用花括号hkl表示。
9、它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。 如100包括(100)、(010)、(001)、(T00)、(0T0)、(00T)。,110？ 111？,28,Total: 12,h k l 晶面族：等价晶面,晶面族：任意交换指数的位置和改变符号后的所有结果。,110=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)+(0T1)+(01T)+(TT0)+(T0T)+(0TT),晶面族中等价晶面的个数用于多晶x射线衍射中多重性因子的表示。,立方晶系晶体,29,Total: 8,Total: 24,111=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+(TT1)+
10、(1TT)+(T1T)(TTT),立方晶系：,再加上以上各指数均取相反数的符号。,立方晶系：,30,Total: 48,再加上以上各指数均取相反数的符号。,31,立方晶体中重要晶面的原子排列和面密度,Discussions,32,立方晶体中重要晶向的原子排列和线密度,33,三.六方晶系的晶向和晶面指数,为何用四轴坐标? 该系统的独特对称性决定的。.,34,六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述三轴方法标定，这时取a1，a2（b），c为晶轴，而a1轴与a2轴的夹角为120度，c轴与a1，a2轴相垂直。 但这种三轴方法标定的晶面指数和晶向指数，不能完全显示六方晶系的对称性。,用三个指数表示晶
11、面和晶向，晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数。,35,为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得采用四指数表示。对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴，其中a1、a2、a3处于同一底面上，且a1，a2，a3之间的夹角均为120，表示晶体底面的(六次)对称性，C轴垂直于底面。这样，其晶面指数就以(hkil)表示。,36,晶面指数(h k i l)四个指数来表示。 确定步骤方法同立方晶系一样， (h k i l)为在四个坐标轴的截距系数倒数的化简。 底面指数为(0001)。,1、晶面指数,37,可以证明: i (hk),根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超
12、过三个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i ( h + k ) 。,a3一(a1+a2),38,六方晶体中常见的晶面,39,(1)平移晶向(或坐标)，让原点为晶向上一点，取另一点的坐标; (2)必须满足u+v+t0， 或t=(u+v)。,标定方法：,2、晶向指数,晶向指数 uvtw 四个指数来表示。,40,动画六方晶系晶向的四轴表示和三轴表示,用四轴分量表示一个矢量的方法有无穷多种，为使指数唯一, 设一额外限制条件：. -Let t(uv),41,(3)化成最小、整数比 u：v：t：w (4) 放在方括号中uvtw，不加逗号，负号记在上方 。,42,43,指数变换 三指数四
13、指数. 四指数三指数 设一个矢量的3轴下指数为U V W, 四轴下矢量为 u v t w.,有,44,or:,45,For example:,46,六方晶系的晶向族与晶面族,同一族的晶向或晶面具有等同的效果；,三个水平方向具有等同的效果，指数的交换只能在他们之间进行，Z轴只能改变符号；,改变符号时，前三项要满足pqr0的相关性要求。,47,共六个等价面；,而0001只包括(0001)和(0001)两个晶面，称为基面。,共六个等价面；,48,四.晶带与晶带符号,晶带和晶带轴平行或相交于同一直线的所有晶面构成一个晶带，此直线称为它们的晶带轴。属此晶带的晶面称为晶带面。晶体上彼此交棱相互平行的一组晶
14、面的组合构成一个晶带。,001,如：NaCl的立方体晶体，（010）、（001）、（0 0）、（00 ）组成一个晶带；（001）、（100）、（00 ）、（ 00）组成一个晶带；（100）、（010）、（ 00）、（0 0）组成一个晶带。,49,晶带轴是指用以表示晶带方向的一根直线，它通过晶体中心，平行于该晶带的所有晶面的交棱。,晶带用晶带轴的晶向符号表示。uvw,必须注意，虽然晶带符号与晶向符号是同样形式的一个符号，但作为晶向符号时，它只代表一个晶棱方向；而作为晶带符号时，它代表与此晶棱方向平行的一组晶面。,50,通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数： a)两不平行的晶面（h1k1l1）和（
15、h2k2l2）的晶带轴uvw 。 b) 二晶向u1v1w1和u2v2w2所决定的晶面。,晶带定律(zone law)：同一晶带上晶带轴uvw和该晶带的晶带面（hkl）之间存在以下关系： hu+kv+lw=0 凡满足此关系的晶面都属于以u v w为晶带轴的晶带，此关系式称作晶带定律。Wiss Law,51,晶带定律的运算和应用,h1uk1vl1w = 0 h2uk2vl2w = 0 解出：,u:v:w=,由晶面（h1 k1 l1）和晶面（h2 k2 l2）求晶带轴.,（h1k1l1）,（h2k2l2）,u v w,52,如有两个晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）同属于某一个晶带uvw，则u、
16、v、w值唯一，也就是说两个不平行的晶面不可能同属于两个晶带。因为如另有一个晶带rst包含此两个晶面，那么由晶带定义，(h1k1l1)与(h2k2l2)有一交线属于uvw晶带，另有一交线属于rst晶带，即两个晶面有两个交线，这是不可能的，所以它们只能同属一个晶带。反过来，同理可得：两个晶带不可能同时包含两个不平行的晶面。,53,hu1kv1lw1 = 0hu2kv2lw2 = 0 解出：,h:k:l=,由晶向u1 v1 w1和晶向u2 v2 w2求晶面：,u1v1w1,u2v2w2,(h k l),54,1.晶面间距,晶面间距晶面指数为（hkl）的晶面相邻两个晶面之间距离，用dhkl表示。,d(hkl)f(a,b,c , h,k,l),五、面间距和夹角,由晶面指数还可求出面间距dhkl。,55,不同晶面族的晶面间距不相同。 同一晶面族的原子排列方式相同，晶面间的间距相同。 晶面间的面间距越大，该晶面上的原子排列越密集，否则越疏。 低指数的晶面面间距较大，高指数的晶面间距则较小。,56,晶
