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1、一、二阶线性微分方程举例,二、线性微分方程的解的结构,12.7 高阶线性微分方程,一、二阶线性微分方程举例,二阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的,其,中,.,如果物体还受到铅直扰力F=Hsinpt的作用,其中,.,则,例1 设有一个弹性系数为c的弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m的物体 给物体一个初始速度v0后 物体在平衡位置附近作上下振动 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比 比例系数为 取x轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点 物体的位置x是t的函数x(t) ,则x(t)所满足的微分方程
2、为,二、线性微分方程的解的结构,简要证明,这是因为,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2),C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2,000,(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2),举例,(1)函数1 cos2x sin2x在整个数轴上是线性相关的 这是因为1-cos2x-sin2x 0,举例,(2)函数1 x x2在任
3、何区间(a b)内是线性无关的 这是因为对任意k1 k2 k3,k1+k2x+k2x2不可能恒为零,二、线性微分方程的解的结构,函数的线性相关与线性无关,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,设y1(x) y2(x) yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1y1(x)k2y2(x) knyn(x)0 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关,对于两个函数 如果它们的比恒为常数
4、 那么它们就线性相关 否则就线性无关,判别两个函数线性相关性的方法,二、线性微分方程的解的结构,函数的线性相关与线性无关,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,设y1(x) y2(x) yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1y1(x)k2y2(x) knyn(x)0 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关,举例,已知cos x与sin x都是方程y+y=0的解 因为比值
5、cos x/sin x=cot x不恒为零 所以cos x与sin x在( )内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程y+y=0的线性无关解 方程的通解为 y=C1cos xC2sin x,举例,已知y1=x与y2=ex都是方程(x-1)y-xy+y=0的解 因为比值ex/x不恒为常数 所以y1=x与y2=ex在( )内是线性无关的 因此y1=x与y2=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的线性无关解 方程的通解为 y=C1xC2ex,如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解 其中C1、
6、C2是任意常数,定理2(齐次方程的通解的结构),如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解 其中C1、C2是任意常数,定理2(齐次方程的通解的结构),如果y1(x) y2(x) yn(x)是方程 y(n)a1(x)y(n1) an1(x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为 yC1y1(x)C2y2(x) Cnyn(x) 其中C1 C2 Cn为任意常数,推论,注,我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程,
7、证明提示,Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x) = Y +P(x)Y+Q(x)Yy*+P(x)y*+Q(x)y* 0f(x)f(x) ,举例,已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y+y=0的通解 y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是非齐次方程y+y=x2的通解,定理3(非齐次方程的通解的结构),设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解 那么 yY(x)y*(x) 是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解,定理4(非齐次方程的解的叠加原理),简要证明 这是因为 y1+y2*P(x)y1*+y2*Q(x)y1*+y2* =y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2* =f1(x)f2(x),设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x) 的特解 那么y1*(x)y2*(x)是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x) 的特解,
