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1、二次函数知识点一、二次函数概念:1二次函数的概念:一般地,形如 ( 是常数, )的函2yaxbca何0a数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零二次函数的定义域是全体实数0abc何2. 二次函数 的结构特征:2yx 等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是 2xx 是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项abc何abc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式: 的性质:2yaxa 的绝对值越大,抛物线的开口越小。2. 的性质:2yaxc上加下减。3. 的性质:2yaxh左加右减。的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性
2、质0a向上 0何轴y时, 随 的增大而增大; 时,0xyx0x随 的增大而减小; 时, 有最y小值 0向下 何轴时, 随 的增大而减小; 时,随 的增大而增大; 时, 有最xx大值 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0a向上 0c何轴y时, 随 的增大而增大; 时,0xyx0x随 的增大而减小; 时, 有最y小值 c向下 何轴时, 随 的增大而减小; 时,随 的增大而增大; 时, 有最x0x大值 的符号 开口方 顶点坐 对称 性质4. 的性质:2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤:方法一: 将抛物线解析式转化成顶点式 ,确定其顶点坐2yaxhk标 ;hk何 保持抛物线
3、的形状不变,将其顶点平移到 处,具体平移方2yaxhk何法如下: 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0 Ca+b+c0(第 9 题) (第 12 题) (第 15 题)10(2008,威海)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像过点 A(1,2),B(3,2),C(5,7)若点 M(2,y 1),N(1,y 2),K(8,y 3)也在二次函数 y=ax2+bx+c 的图像上,则下列结论中正确的是( )Ay 10)交 x 轴A,B 两点,交 y 轴于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 E,点 B 的坐标为(1,0)(1)求抛物线的对称轴及点 A 的坐标;(2
4、)过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P,你能判断四边形 ABCP是什么四边形?并证明你的结论;(3)连接 CA 与抛物线的对称轴交于点 D,当APD=ACP 时,求抛物线的解析式18(2006,重庆)如图所示,m,n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根,且mn,抛物线 y=x 2+bx+c 的图像经过点 A(m,0),B(0,n)(1)求这个抛物线的解析式;(2)设(1)中抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D 的坐标和BCD 的面积;(3)P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PHx 轴,与抛物线交于点 H,若直线 BC把PCH 分成面
5、积之比为 2:3 的两部分,请求出点 P 的坐标19(2006,太原市)某地计划开凿一条单向行驶(从正中通过)的隧道,其截面是抛物线拱形 ACB,而且能通过最宽 3m,最高 3.5m 的厢式货车按规定,机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度 AB 和拱高 OC20(2005,河南省)已知一个二次函数的图像过如图所示三点(1)求抛物线的对称轴;(2)平行于 x 轴的直线 L 的解析式为 y= 254
6、,抛物线与 x 轴交于 A,B 两点在抛物线的对称轴上找点 P,使 BP 的长等于直线L 与 x 轴间的距离求点 P 的坐标21(2005,吉林省)如图 576 所示,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图像与x轴交于 A,B 两点,其中 A 点坐标为(1,0),点 C(0,5),D(1,8)在抛物线上,M 为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式;(2)求MCB 的面积22(2005,长春市)如图所示,过 y 轴上一点 A(0,1)作 AC 平行于 x 轴,交抛物线 y=x2(x0)于点 B,交抛物线 y= 2x2(x0)于点 C;过点 C 作CD 平行于 y 轴,交抛物线 y=x2于点 D
7、;过点 D 作 DE 平行于 x 轴,交抛物线y= 14x2于点 E(1)求 AB:BC;(2)判断 O,B,E 三点是否在同一直线上?如果在,写出直线解析式;如果不在,请说明理由答案12x1 2(1,8) 31 4答案不唯一(略) 5365m4+ 7 74 82080 9C 10B 11 B 12D 13D14B 15B 16D17(1)对称轴是直线 x=2,A 点坐标为(3,0)(2)四边形 ABCP 是平行四边形(3)ADECDP, PED= 12ADEPAE,1 2= 3tt,t= 3将 B(1,0)代入 y=ax2+4ax+t 得 t=3a,a=抛物线解析式为 y= 3x2+ 4x+
8、2 318(1)y=x 24x+5(2)C(5,0),D(2,9) S BCD =15(3)设 P(a,0),BC 所在直线方程为 y=x+5PH 与直线 BC 的交点坐标为 E(a,a+5)PH 与抛物线 y=x 24x+5 的交点坐标为 H(a,a 24a+5)若 EH= 3EP则(a 24a+5)(a+5)= 3(a+5),则 a= 32或a=5(舍)若 EH= 23EP,则(a 24a+5)(a+5)= 23(a+5),则 a= 3或a=5(舍)P( 2,0)或( 3,0)19如图所示,由条件可得抛物线上两点的坐标分别为 M( 32,4),N(2, 7),设抛物线的表达式为 y=ax2
9、+c,则94,7.2ac解这个方程组,得,76514acy= 27x2+ ,当 x=0 时,y= ,C(0, 6514),OC= 当 y=0 时, 27x2+ =0,解得 x= 652A( 65,0),B( ,0),AB= 所以,抛物线拱形的表达式为 y= 27x2+ 6514隧道的跨度 AB 为 65m,拱高 OC 为 m20(1)设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c根据题意,得31645cab,解得163abc即 y=x 2+6x3=(x3) 2+6抛物线的对称轴为直线 x=3(2)解得点 B(3+ 6,0)设点 P 的坐标为(3,y),如图,由勾股定理,得 BP2=BC2+PC2,
10、即 BP2=(3+ 63) 2+y2=y2+6L 与 x 轴的距离是 54,y 2+6=( ) 2,解 y= 3所求点 P 为(3, )或(3, 24)21(1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,根据题意得058abc,解得45abc所求抛物线的解析式为 y=x 2+4x+5(2)C 点坐标为(0,5),OC=5,令 y=0则x 2+4x+5=0,解得 x1=1,x 2=5B 点坐标为(5,0),OB=5y=x 2+4x+5=(x2) 2+9,顶点 M 的坐标为(2,9)过点 M 作 MNAB 于点 N,则 ON=2,MN=9S MCB =S 梯形 OCMN+SBNM S OBC = 12(5+9)2+ 129(52) 1255=1522(1)A(0,1)B 点纵坐标为 1,1=x 2,x0,x=1,B(1,1),AB=1C 点纵坐标为 1,1= 4x2,x 2=4,x0,x=2C(2,1),BC=1,AB:BC=1:1(2)D 点的横坐标为 2,D 在 y=x2上,则 D(2,4)E 点的纵坐标为 4,E 在 y= x2,则 E(4,4)过 O(0,0),B(1,1)的直线解析式为 y=xE(4,4)在这条直线上,所以 O,B,E 三点在同一条直线上,并且直线解析式为 y=x