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1、二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函2yaxbca何0a数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全体实数0abc何2. 二次函数 的结构特征：2yx 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项abc何abc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性
2、质0a向上 0何轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最y小值 0向下 何轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最xx大值 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0a向上 0c何轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最y小值 c向下 何轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最x0x大值 的符号 开口方 顶点坐 对称 性质4. 的性质：2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐2yaxhk标 ；hk何 保持抛物线
3、的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方2yaxhk何法如下： 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0 Ca+b+c0(第 9 题) (第 12 题) (第 15 题)10（2008，威海）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点 M（2，y 1），N（1，y 2），K（8，y 3）也在二次函数 y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（ ）Ay 10）交 x 轴A，B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（2
4、）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P，你能判断四边形 ABCP是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，当APD=ACP 时，求抛物线的解析式18（2006，重庆）如图所示，m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且mn，抛物线 y=x 2+bx+c 的图像经过点 A（m，0），B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于点 H，若直线 BC把PCH 分成面
5、积之比为 2：3 的两部分，请求出点 P 的坐标19（2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，其截面是抛物线拱形 ACB，而且能通过最宽 3m，最高 3.5m 的厢式货车按规定，机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度 AB 和拱高 OC20（2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为 y= 254
6、，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点在抛物线的对称轴上找点 P，使 BP 的长等于直线L 与 x 轴间的距离求点 P 的坐标21（2005，吉林省）如图 576 所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像与x轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（1，0），点 C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB 的面积22（2005，长春市）如图所示，过 y 轴上一点 A（0，1）作 AC 平行于 x 轴，交抛物线 y=x2（x0）于点 B，交抛物线 y= 2x2（x0）于点 C；过点 C 作CD 平行于 y 轴，交抛物线 y=x2于点 D
7、；过点 D 作 DE 平行于 x 轴，交抛物线y= 14x2于点 E（1）求 AB：BC；（2）判断 O，B，E 三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由答案12x1 2（1，8） 31 4答案不唯一（略） 5365m4+ 7 74 82080 9C 10B 11 B 12D 13D14B 15B 16D17（1）对称轴是直线 x=2，A 点坐标为（3，0）（2）四边形 ABCP 是平行四边形（3）ADECDP， PED= 12ADEPAE，1 2= 3tt，t= 3将 B（1，0）代入 y=ax2+4ax+t 得 t=3a，a=抛物线解析式为 y= 3x2+ 4x+
8、2 318（1）y=x 24x+5（2）C（5，0），D（2，9） S BCD =15（3）设 P（a，0），BC 所在直线方程为 y=x+5PH 与直线 BC 的交点坐标为 E（a，a+5）PH 与抛物线 y=x 24x+5 的交点坐标为 H（a，a 24a+5）若 EH= 3EP则（a 24a+5）（a+5）= 3（a+5），则 a= 32或a=5（舍）若 EH= 23EP，则（a 24a+5）（a+5）= 23（a+5），则 a= 3或a=5（舍）P（ 2，0）或（ 3，0）19如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为 M（ 32，4），N（2， 7），设抛物线的表达式为 y=ax2
9、+c，则94,7.2ac解这个方程组，得,76514acy= 27x2+ ，当 x=0 时，y= ，C（0， 6514），OC= 当 y=0 时， 27x2+ =0，解得 x= 652A（ 65，0），B（ ，0），AB= 所以，抛物线拱形的表达式为 y= 27x2+ 6514隧道的跨度 AB 为 65m，拱高 OC 为 m20（1）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c根据题意，得31645cab，解得163abc即 y=x 2+6x3=（x3） 2+6抛物线的对称轴为直线 x=3（2）解得点 B（3+ 6，0）设点 P 的坐标为（3，y），如图，由勾股定理，得 BP2=BC2+PC2，
10、即 BP2=（3+ 63） 2+y2=y2+6L 与 x 轴的距离是 54，y 2+6=（ ） 2，解 y= 3所求点 P 为（3， ）或（3， 24）21（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，根据题意得058abc，解得45abc所求抛物线的解析式为 y=x 2+4x+5（2）C 点坐标为（0，5），OC=5，令 y=0则x 2+4x+5=0，解得 x1=1，x 2=5B 点坐标为（5，0），OB=5y=x 2+4x+5=（x2） 2+9，顶点 M 的坐标为（2，9）过点 M 作 MNAB 于点 N，则 ON=2，MN=9S MCB =S 梯形 OCMN+SBNM S OBC = 12（5+9）2+ 129（52） 1255=1522（1）A（0，1）B 点纵坐标为 1，1=x 2，x0，x=1，B（1，1），AB=1C 点纵坐标为 1，1= 4x2，x 2=4，x0，x=2C（2，1），BC=1，AB：BC=1：1（2）D 点的横坐标为 2，D 在 y=x2上，则 D（2，4）E 点的纵坐标为 4，E 在 y= x2，则 E（4，4）过 O（0，0），B（1，1）的直线解析式为 y=xE（4，4）在这条直线上，所以 O，B，E 三点在同一条直线上，并且直线解析式为 y=x
