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1、1,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,2,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,3,2.收敛点与收敛域:,5,例如, 等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,有和函数,6,7,8,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,9,原级数发散.,收敛;,发散;,10,定义:,二、幂级数及其收敛性,下面着重讨论,的情形, 即,11,证明,12,13,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,14,推论,15,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,开区间 叫做幂级数 的收敛区间.,定义: 正数R称为幂级数 的收敛半径.,收敛域可能是,收敛区间是
2、含在收敛域内的最大开区间。,幂级数的收敛域？,幂级数的收敛区间，,16,证明,17,（1）由比值审敛法,18,定理证毕.,19,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例4.求幂级数,所以R=1,20,21,例6 求下列幂级数的收敛区间和收敛域:,22,23,发散,收敛,故收敛区间为（0，1）收敛域为(0,1.,24,25,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,26,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间和收敛域为,27,课堂练习：,的收敛半径 .,28,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2
3、,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,29,30,三、幂级数的运算,定理3. 设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有 :,其中,31,说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如, 设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,32,(收敛半径不变),和函数的分析性质:,(定理4),注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.,33,(收敛半径不变),34,定理4 若幂级数,的收敛半径,(证明见第六节),则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注: 逐项积分时
4、, 运算前后端点处的敛散性不变.,35,36,解: 该级数的收敛半径 R+.,例9.,则,故得,的和函数 .,因此得,设,37,例10.,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发,散,38,和函数的分析性质应用举例:,39,例11. 求级数,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,及,收敛 ,40,因此由和函数的连续性得:,而,及,41,42,43,解,收敛区间(-2,2),44,解,两边积分得,45,解,收敛区间(-1,1),46,例16.,解: 设,则,47,而,故,48,内容小结,1. 求幂级数收敛域的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点
5、的收敛性 .,2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求 .,乘法运算.,49,2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,思考与练习,1. 已知,处条件收敛 , 问该级数收敛,半径是多少 ?,答:,根据Abel 定理可知, 级数在,收敛 ,时发散 .,故收敛半径为,50,2. 在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在 ?,答: 不能.,因为,当,时级数收敛 ,时级数发散 ,说明: 可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,51,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,3. 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,。,答:,52,4. 求极限,其中,解: 令,作幂级数,设其和为,易知其收敛半径为 1,则,53,5. 求下列级数的收敛域及其和函数,54,P215 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3) P257 7 (1), (4) 8 (2), (3),作业,
