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1、9.7 方向导数与梯度,教学要求：理解方向导数和梯度的概念；并掌握它们的计算方法.,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,偏导数表示的是函数沿着坐标轴方向的变化率，而现实生活中还需要研究函数沿某一指定方向的变化率-方向导数,二、方向导数的定义,函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向 上的方向导数。,与
2、l 同方向的单位向量为,则射线 l 的参数方程为,记为,问题1：方向导数与偏导数的关系？,问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是 什么？如何计算方向导数？,方向导数就是函数在点 处沿方向 l 的变化率。,注： 1. 方向导数表示的是函数沿某一方向的变化率,2. 方向导数是一个数,问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是 什么？如何计算方向导数？,函数沿任意方向 l 的方向导数存在，且,其中，,是 l 的方向余弦。,证明：,其中,定理：如果 z = f (x , y ) 在点 可微，则,考虑函数在方向 l 上的增量,令,计算可微函数方向导数的步骤,（1）确定给定方向 l 的方向余弦
3、：,即与 l 同方向的单位向量。,（2）计算偏导数,（3）利用公式计算,解：,方向 l 即为,l 的方向余弦即为与 l 同方向的单位向量,解,由方向导数的计算公式知,故,x 轴方向夹角为 的方向射线 l 的方向导数,并问在怎样的方向上此方向导 数有,（1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？,解,由方向导数的计算公式知,例2 求函数,在点（1，1）沿与,x 轴方向夹角为 的方向射线l的方向导数,并问在怎样的方向上此方向导 数有,（1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？,故,解,由方向导数的计算公式知,例2 求函数,在点（1，1）沿与,x 轴方向夹角为 的方向射线l的方向导数,并问在怎
4、样的方向上此方向导 数有,（1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？,故,对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点,处沿方向,的方向导数定义为,例3,求,解,因为函数可微分,且,故,解：,对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向 曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。,令,则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为,对于封闭的二次曲面，,指向外侧，,则指向内侧，,处的指向外侧的法向量，求函数,令,故,又,处的指向外侧的法向量，求函数,解：,的方向余弦，即与 同方向的单位向量为,故,又,处的指向外侧的法向量，求函数,解：,三、梯度的概念,沿不同方
5、向的方向导数一般来说是不同的。,问题：方向导数中有没有最大的？如果有，是沿哪个方向？,并称,为 z = f ( x , y ) 在 D 内的梯度场。,梯度与方向导数的关系,是 l 的方向余弦，,为最大值。,结论,函数在梯度方向上的方向导数最大，,或者说函数在梯度方向上的增加速度 （变化率）最快（最大）。,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,解,由梯度计算公式得,故,例8,求函数,哪个方向的方向导数最大?,最大值是多少?,解,由,得,从而,最大值是,作业：习题8-7: 1, 4, 5, 7,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等值线,梯度为等高线上的法向量,梯度与等值线、方向导数的关系,等值线的画法,例如,梯度与等高线的关系：,
