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1、第九章、习题课,一、二重积分的计算,1. 在直角坐标系中，,2. 在极坐标系中,二、三重积分的计算,1. 在直角坐标系中，,2. 在柱坐标系中,3. 在球坐标系中,三、重积分的应用,几何应用：曲面的面积,物理应用：质心、转动惯量、,对质点的引力,四、利用对称性计算重积分,1. 二重积分,若 D 关于 x 轴对称，,为“对称的一半”,（1）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 y 为奇函数，即,（2）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 y 为偶函数，即,四、利用对称性计算重积分,1. 二重积分,若 D 关于 y 轴对称，,为“对称的一半”,（1）若在 D 中，f ( x, y ) 关于
2、 x 为奇函数，即,（2）若在 D 中，f ( x, y ) 关于 x 为偶函数，即,四、利用对称性计算重积分,1. 二重积分,若 D 关于直线 y = x 对称，即,即被积函数中，x 和 y 对换， 二重积分值不变。,该对称性又称坐标轮换法。,四、利用对称性计算重积分,2. 三重积分,若 关于 xoy 面对称，即,（1）若在 中，f ( x, y, z ) 关于 z 为奇函数，即,（2）若在 中，f ( x, y, z ) 关于 z 为偶函数，即,为“对称的一半”,同理有 关于 xoz, yoz 面对称的结论,四、利用对称性计算重积分,2. 三重积分,若 关于 z 轴对称，即,（1）若在 中
3、，f ( x, y, z ) 关于 x, y 为奇函数，即,（2）若在 中，f ( x, y, z ) 关于 x, y 为偶函数，即,为“对称的一半”,同理有 关于 x或 y 轴对称的结论,四、利用对称性计算重积分,2. 三重积分,若 关于原点对称，即,（1）若在 中，f ( x, y, z ) 关于 x, y, z 为奇函数，即,（2）若在 中，f ( x, y, z ) 关于 x, y, z 为偶函数，即,为“对称的一半”,五、重点内容,（1）二重积分中二次积分的交换次序；,（2）利用极坐标计算二重积分；,（3）利用对称性计算二、三重积分；,（4）三重积分在直角坐标系中“先二后一” 的计算
4、方法；,（5）曲面面积、质心及转动惯量的计算（元素法）,例1：设,则有,同时关于 yoz , xoz 面对称,例2：设,则有,例3：计算,其中 D 由直线 y = x , y = 1 , 及x = 1 所围平面区域,解,例4：计算,解,因为 D 关于直线 y = x 对称，所以,例4：计算,解,因为 D 关于直线 y = x 对称，所以,例5：,解1。,例5：,解1。,由对称性可得,例5：,解2。,由对称性,所以,例5：,解2。,所以,解得,例5：,解2。,例6：,解1：采用柱面坐标系,例6：,解2：采用“先二后一”法,例6：,解2：采用“先二后一”法,例7：,解：画图。,薄片关于 轴对称,几何应用：曲面的面积,物理应用：质心、转动惯量、,对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,六、小结,练 习 题,练习题答案,
