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1、学案7 对 数 函 数,返回目录,1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中 叫做对数的底数, 叫做真数. (2)几种常见对数,x=logaN,a,N,考点分析,返回目录,logaN,10,lgN,e,lgN,2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 = ; = (a0,且a1).,N,N,3.对数函数的图象与性质,(0,+),R,(1,0),1,0,y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,返回目录,4.反函数 指数函数y=ax与对数函数 互为反函数,它们的图象关于直线 对称.,返回目录,y=x,y=logax,返回目录
2、,考点一 对数式的运算,计算:,【分析】利用对数定义求值;利用对数的运算性质.,【解析】 (1)解法一:利用对数定义求值. 设 =x,则,题型分析,返回目录,解法二:利用对数的运算性质求解. (2)原式=,【评析】 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质,并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.,返回目录,对应演练,计算下列各式的值:,返回目录,(2)原式=,返回目录,(1)原式=,(3)原式,返回目录,返回目录,考点
3、二 对数函数的图象,当x(1,2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,则a的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2 D.(0, ),【分析】 此不等式不是一般的不等式,无法直接求解,但可利用数形结合画出函数的图象,使y=logax的图象在x(1,2)上位于y=(x-1)2的图象上方.,返回目录,【解析】设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax.要使当x(1,2)时,不等式(x-1)21时,如图,要使在(1,2)上, f1(x)=(x-1)2的图象在 f2(x)=logax 的下方,只需f1(2)f2(2), 即(2-1)2loga2. loga21,1a2
4、. 故应选C.,【评析】对于较复杂的不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体做法是:对不等式变形,不等号两边对应两函数.在同一坐标系中作出两函数图象,比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数,来确定参数的取值或解的情况.,返回目录,返回目录,对应演练,已知不等式logaxlogbx0logcx,则（ ） A.0c1ba B.0ba1c C.0c1ab或0ab1c D.0c1ab或0ba1c,D(设三个函数y=logax,y=logbx，y=logcx,由已知条件，若x1时，三个函数的图象关系如图（1）所示，此时有0c1ab.,返回目录,若0x1时，则三个函数的图象关系如图（
5、2）所示，此时有0ba1c. 故应选D.),返回目录,返回目录,考点三 对数函数的性质,已知函数f(x)=logax(a0,a1),如果对于任意x3,+)都有|f(x)|1成立,试求a的取值范围.,【分析】当x3,+)时,必有|f(x)|1成立,可以理解为函数|f(x)|在区间3,+)上的最小值不小于1.,【解析】当a1时,对于任意x3,+),都有f(x)0. |f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3,+)上为增函数, 对于任意x3,+),有f(x)loga3. 因此,要使|f(x)|1对于任意x3,+)都成立. 只要loga31=logaa即可,1a3. 当0a1时,对于x3,+)
6、,有f(x)0,|f(x)|=-f(x). f(x)=logax在3,+)上为减函数, -f(x)在3,+)上为增函数. 对于任意x3,+)都有|f(x)|=-f(x)-loga3.,返回目录,【评析】本题属于函数恒成立问题,即为x3,+)时,函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.,因此,要使|f(x)|1对于任意x3,+)都成立, 只要-loga31成立即可, loga3-1=loga ,即 3, a1. 综上,使|f(x)|1对任意x3,+)都成立的a的取值范围是
7、(1,3 .,返回目录,返回目录,对应演练,已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-,1- 上是 单调递减函数.求实数a的取值范围.,令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=(x- )2-a- , 由以上知g(x)的图象关于直线x= 对称且此抛物线开口向上. 函数f(x)=log2g(x)的底数21,在区间(-,1- 上是减函数, g(x)=x2-ax-a在区间(-,1- 上也是单调减函数,且g(x)0. 1- a2-2 g(1- )0, (1- )2-a(1- )-a0, 解得2-2 a2.故a的取值范围是a|2-2 a2.,返回目录,即,返回目录,考点四 对数函数的综合应用,
8、已知函数f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x). (1)求f(x)的定义域; (2)求f(x)的值域.,【分析】求函数定义域应是使原式有意义的 x的取值范围.,0 x-10 p-x0 由得a1,由得x1,f(x)的定义域是(1,p).,返回目录,【解析】 (1)f(x)有意义时,有,(2)f(x)=log2(x+1)(p-x),返回目录,当 , 即p3时, 0 , 2log2(p+1)-2 当 1，即1p3时， 0 1+log2(p-1),综合可知： 当p3时，f(x)的值域是(-, 2log2(p+1)-2; 当1p3时，f(x)的值域是(-,1+log2(p-1).,
9、【评析】本题关键是对p的分类讨论.,返回目录,对应演练,函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x+1)=f(x-1)成立.已知当x1,2时,f(x)=logax. (1)求x-1,1时,函数f(x)的表达式; (2)求x2k-1,2k+1(kZ)时,函数f(x)的解析式; (3)若函数f(x)的最大值为 ,在区间-1,3上,解关于x的不等式f(x) .,（1）f(x+1)=f(x-1),且f(x)是R上的偶函数， loga(2+x),x-1,0 loga(2-x), x0,1.,f(x+2)=f(x)=,返回目录,返回目录,(2)当x2k-1,2k时，f(x)=f(x-
10、2k)=loga( 2+x-2k),同理，当x2k, 2k+1时， f(x) =loga (2-x+2k). loga(2+x-2k),x2k-1,2k loga(2-x+2k),x2k,2k+1(kZ). (3)由于函数以2为周期,故考查区间-1,1. 若a1,loga2= ,即a=4. 若0a1,则loga(2-1)= ，矛盾，舍去, a=4. 由(2)知所求不等式的解集为(-2+ ,2- ) ( , 4- ).,f(x)=,返回目录,1.指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别. 2.在解决问题的思路和方法上,要注意与指数进行比较. 3.比较两个幂值的大小是一种常见的题型,也是一类容易做错的题目.解决这类问题时,首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同,可利用指数函数的单调性;如果指数相同,可利用图象(如下表).,返回目录,同一坐标系下的图象关系,y=ax与y=bx,y=logax与 y=logbx,y=ax与 y=bx,y=logax与 y=logbx,当底大于1时,底越大,图象越靠近坐标轴;当底小于1大于0时,底越小,图象越靠近坐标轴,如果底数、指数都不同，则要利用中间变量.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
