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1、函数的连续性,14 5 函数的连续性,函数的连续,函数的间断,初等函数的连续性,解：,1、,2、,(1,2),从图象上看， 在 处“连续”， 在 处“间断”。,图象：,图象：,例1、A 设 ，求适合下列条件的函数的改变量（增量）。 （1） 由1变到1.2 （2） 由1变到0.8 （3） 由1变到,（2）,（3）,解：,（1）,练习1、A 求函数 ，当 ， 时的改变量。,解： 的初值为1，终值为1.5,那么称函数 在点 处连续，点 称为函数 的 连续点。,2、函数在一点处的连续性,定义 如果,（1）函数 在 处及其近旁有定义；,（2） 存在；,（3）,解： 根据定义的三个步骤进行验证：,（1）
2、的定义域是 ，故 在 及其附近有定义， ;,（2）,所以,（3）,因此 在 处连续。,符合定义的三个步骤。,（2）,（3）,所以 时， 在 处连续。,解：由定义的三个步骤进行验证：,（1）,1,-1,x,y,0,（2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处 及其左（或右）近旁有定义，如果 （或 ），那么称函数 在 左连 续（或右连续）。,（1）如果函数 在开区间 内每一点都连续， 称函数 在 内连续。,3、函数在区间上的连续性,如果 在开区间 内连续，且在右端点 处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在 闭区间 上连续。,连续函数的图象是一条连续不间断的曲线。,二、 函数的间断点,如果函数
3、在 处不连续，那么称函数 在 处是间断的，并称点 为函数 的间断点或不连续点。,由函数 在 处连续的定义知，当函数 有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。,定理1 基本初等函数在其定义域内都是连续的。,例如：,（1）函数 在 处无定义 所以 是该函数的间断点。,(3),函数 ，在 处有定义， 且 ， 但 所以 是该函数的间断点。,例4 B 已知函数 问函数 有无间断点。,解：点 处可能间断，分三步验证。,（1） 在 及其附近有定义，且,（2）,不存在,所以，函数 在 处间断。,三、初等函数的连续性,1、定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。,2、由函数连续的定义，如果函数 在 处连续，
4、 有,3、分段函数只可能在分段点处间断。,例5 B 求,解： 设 因为 是初等函数，其定义域为 ，而 根据初等函数连续性的定理 得到函数在 处连续，,练习3,A 讨论下列函数在给定点处的连续性。,（1） 在 处,（2） 在 处,解： ，,解：,所以 ， 在 处连续,所以， 不存在， 在 处间断。,B 求下列 函数的间断点,（3）,（4）,解： 为初等函数，在定义域内连续 ， ，定义域为 间断点为,解： 不是初等函数，分段点 且,因为 所以， 在 处间断。,B （5）求极限,解：初等函数在定义区间内连续，函数 定义域为 所以，,1、判断函数连续的三步： （1）函数在 及附近有定义，求 （2）求 （3）比较 与 是否相等,四、小结,2、初等函数在定义区间内都是连续的。,3、分段函数在分段点处可能连续也可能间断。,五、作业 P13（教与学） 14-5,A 6（1）（2）（5） 8（1）（2）（3）（4） B 3 4 8（6）（7）（8）（9） C 6（6） 7 8（10）（11）（12）,返回第一单元目录,
