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1、三重积分和多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去 . 类似于第三节,我们先定义一个R3中集合的可求体积性 . 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广 . 这里将不再赘述. 一、 引例 设一个物体在空间R 3 中占领了一个有界可求体积的区域V，它的点密度为zyxf,， 现在要求这个物体的质量假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V分割为若干个 可求体积的小区域 n VVV,., 21 ， 其体积分别是 n VVV,., 21 ， 直径分别是 n ddd,., 21 ， 即,|sup| iiVQWWQd, (i=1,2, ,n ） , |WQ| 表 示
2、W, Q两 点 的 距 离 设 ,.,max 21n ddd，则当很小时，zyxf,在 i V上的变化也很小可以用这个小 区域上的任意一点 iii zyx,的密度 iii zyxf,来近似整个小区域上的密度，这样我们可 以求得这个小的立体的质量近似为 iiii Vzyxf,，所有这样的小的立体的质量之和即为 这个物体的质量的一个近似值即 iiii n i VzyxfM, 1 当0时，这个和式的极限存在，就是物体的质量即 iiii n i VzyxfM,lim 1 0 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割， 再求和，最后取极限所以我们也可以得到下面一类积分
3、 二、 三重积分的定义 设zyxf,是空间 3 R中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数， 将 V 任意分割 为若干个可求体积的小闭区域 n VVV,., 21 ， 这个分割也称为V 的分划，记为 P: n VVV,., 21 . oo ji VV(空 , ji), 其体积分别是 n VVV,., 21 ，直径分别是 n ddd,., 21 设 ,.,max 21n ddd,或记为 |P|. 在每个小区域中任意取一点 iiii Vzyx,，作和 iiii n i Vzyxf, 1 (称为 Riemann 和)，若当0时，这个和式的极限存在，则称其极 限为函数zyxf,在区域V上的 三重积
4、分 ，记为 V dVzyxf,并称函数zyxf,在 区域V上可积zyxf,称为 被积函数 ,x,y,z 称为 积分变量 ., V 称为 积分区域 . 特别地，在直角坐标系下，可以记为 V dxdydzzyxf, 我们同样可以引入Darboux 大,小和 来判别可积 , 也有同样的结论(略). 1. 若zyxf,是有界闭区域V上的连续函数，则函数zyxf,在区域V上可积 2. 若zyxf,=1 时, V Vdxdydz的体积 . 3. 若zyxf,在有界闭区域V上的间断点集合是0 体积时 , zyxf,在V可积 . 三重积分有着与二重积分类似的性质下面简单叙述一下 可积函数的和（或差）及积仍可积
5、. 和（差）的积分等于积分的和(差 ) 可积函数的函数k倍仍可积 . 其积分等于该函数积分的k倍 设是可求体积的有界闭区域，zyxf,在上可积，分为两个无共同点的可 求体积的闭区域 21, 之并，则zyxf,在 21, 上可积，并有 VdzyxfVdzyxfVdzyxf 21 , 等等 . 三、三重积分的计算 方法同二重积分一样, 我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成. 1.利用直角坐标系计算三重积分 先给一个结论. 定理12.14若函数zyxf,是长方体V=a,b c,d e,h上的可积 , 记 D= c,de,h, 对任意 xa,b, 二重积分 D dydzzyxfxI
6、,)( 存在 , 则 b aD b a dxdydzzyxfdxxI,)(记为 D b a dydzzyxfdx,) 也存在 , 且 h e d c b aD b aV dzzyxfdydxdydzzyxfdxVdzyxf,. 这时右边称为三次积分或累次积分, 即三重积分化为三次积分. 证明分别中 a,b, c,d, e,h 插入若干个分点 x y z e h z 图 12-4-1 bxxxxa n210 ; dyyyyc m210 ; hzzzze s210 作平面 ixx , j yy, kzz ,(i=0,1,2,n; ,j i=0,1,2,m; k=0,1,2,s,)得到 V 的一个分
7、 划 P. 令, 111kkjjiiijk zzyyxxv(i=1,2, ,n; ,j i =1,2,m; k=1,2,s,), ijk M, ijk m分别是zyxf,在 ijk v上的上 , 下确界 .那么在, 11kkjjjk zzyyD上有 kjijk D ikjijk zyMdydzzyfzym jk ),( 其中 xi ,= xi - xi-1 , yj ,= y j - y j -1 , zk ,= zk - zk-1 , (i=1,2,n; ,j i =1,2,m; k=1,2,s,). )(),(),( , i D i kj D i Idydzzyfdydzzyf jk kj
8、i kjiijk n i ii kji kjiijk zyxMxIzyxm ,1, )( 因可积，所以当|P|趋于 0时， Darboux 大,小和趋于同一数，即三重积分. 故定理得证 . 如果 V 如右图 , ezh, z=z 与 V 的截面 面积为 Dz , 不难得到 , 若函数zyxf,在 V 上的可积 , 那么 z D h eV dxdyzyxfdzVdzyxf,. Dz 图 12-4-2 下面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成设函 数),(zyxf在有界闭区域上连 续，我们先讨论一种比较特殊的情况,|, 21 yxzzyxzDyxzyx，其中 xy D
9、为在xoy平面上的投影， 且)(,|, 21 xyyxybxayxDxy如图 1 我们现在z轴上做积分，暂时将yx,看成是常数把函数zyxf,看作是z的函数， 将它在区间, 21 yxzyxz上积分得到 yxz yxz dzzyxf , , 2 1 , 显然这个结果是yx,的函数，再把这个结果在平面区域 xy D上做二重积分 dxdydzzyxf yxz yxz Dxy , , 2 1 , 在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果若平面区域 xy D可以用不等式 xyyxybxa 21 ,表示，则 dVzyxf, yxz yxz xy xy b a dzzyxfdydx , , 2 1 2
10、 1 , 这个公式也将三重积分化为了三次积分 图 12-4-3 如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算 例 1 计算三重积分xdV，其中 是由三个坐标面和平面1zyx所围的立体区 域 解积分区域如图所示，可以用不等式表示为 yxzxyx10 ,10 , 10， 所以积分可以化为 24 1 4 1 3 1 8 1 1 2 1 1 1 0 234 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 xxx dxxx dyyxxdx xdzdydxxdV x yxx 四、三重积分的积分变换 和二重积分的积分变换一样，有如下的结果: 定理 12.15 设 V 是 uvw 空间 R3中的有界可求
11、体积的闭区域，T：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w),是 V 到 xyz 空间 R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且 Vwvu z z v z u z z y v y u y z x v x u x wvu zyx ),(,0 ),( ),( (称为 Jacobi). 如果 f(x,y,z) 是 T(V)上的可积函数，那么 dudvdw wvu zyx wvuzwvuywvuxfdxdydzzyxf VVT ),( ),( ),(),(),(),( )( 在 R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标. 1. 利用柱面坐标计算三重积分 前面我们可以看到，
12、 由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算同 样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分 设空间中有一点zyxM,，其在坐标面xoy上的投影点M的极坐标为,r，这样 图 12-4-4 x 图 12-4-5 M M(x,y,z) y z 三个数,rz就称为点M的柱面坐标（如图12-4-4） 这里规定三个变量的变化围是 z r 20 0 ， 注意到，当r常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面 当=常数时，表示通过z轴，与平面xoy的夹角为的半平面 当z常数时，表示平行于平面 xoy，与平面xoy距离为z的平面 空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系,
13、 即是 R 3 到 R3的映射 : zz ry rx sin cos 所以其 Jacobi 为, 100 0cossin 0sincos ),( ),( rr r zr zyx 故容易得到 : 如果 f(x,y,z) 是 R3中的有界可求体积的闭区域V 上的可积函数,则 VV dzrdrdzrrfdVzyxf,sin,cos, 其中 ,变换前后区域都用V 表示 . 我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来. 用三组坐标面 311,CzCCr将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代 表性的区域， 如图 12-4-5 所示的区域可以看成是由底面圆半径为drrr和两个圆柱面， 极 角为d和的
14、两个半平面， 以及高度为dzzz和的两个平面所围成的它可以近似的 看作一个柱体，其底面的面积为rdrd，高为dz所以其体积为柱面坐标下的体积元素， 图 12-4-6 图 12-4-7 M 即 dzrdrddV 再利用两种坐标系之间的关系，可以得到 VV dzrdrdzrrfdVzyxf,sin,cos, 在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分 例 2 计算三重积分 dVyx 22 ，其中是由椭圆抛物面 22 4yxz和平面 4z所围成的区域 解如图所示，积分区域在坐标面 xoy上的投影是一个圆心在原点的单位圆所 以44,20 , 10 2 zrr于是 3 2 44 1 0 53 2 0
15、4 4 1 0 2 2 0 222 2 drrrd dzrdrrd dzrdrdrdVyx r 2利用球面坐标计算三重积分 我们知道球面坐标用数,r来表示空间的一个点设有直角坐标系的空间点 zyxM,，点M在坐标面xoy上的投影M，其中|OMr，为x轴到射线OM转 角为向量OM与z轴的夹角如图12-4-7规定三个变量的变化围是 0 20 0r 我们可以看到， 注意到，当r常数时，表示以原点为球心的球面 当=常数时，表示通过z轴的半平面 当常数时，表示以原点为顶点，z轴为中心的锥面 两种坐标系之间的关系如下： cos sinsin cossin rz ry rx 即又是一个即是R3到 R3的映射
16、 .它的 Jacobi 是 ,sin 0sincos cossincoscossinsin sinsinsincoscossin ),( ),( 2 r r rr rr r zyx 由一般的重积分变换公式容易得到: 如果 f(x,y,z) 是 R3中的有界可求体积的闭区域V 上的可积函数,则 VV ddrdrrrrfdVzyxfsincos,sinsin,cossin, 2 , 其中 ,变换前后区域都用V 表示 . 用几何直观的意义可以如下理解: 已知 f(x,y,z) 闭区域 V 上的可积函数. 用三组坐标r常数，常数，常数，将积分区域V 划分为若干个小的区域. 考 虑其中有代表性的区域，此小
