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1、【例题】如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OM AB，且 OM 平分NOC 若 BOC=4 NOB ，求MON 的度数 【分析】 遇到类似“BOC=4 NOB ”这样条件，常设 NOB=2x ， BOC=8x （目的为了计算和书写方便，也为了更好理解，是常法强烈建议），则有 CON 6x，再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到MON=0.5 CON=3x ， BOM= MON+ NOB=3x+2x=90， 求出 x 的值，进一步即可得 MON 的度数 【解】 设 NOB=2x ， BOC=8x ， 则 CON= COB BON =8x 2x=6x. OM 平分CON ， MON=0
2、.5 CON=3x ， OM AB， AOM=90 ， BOM= MON+ NOB =3x+2x=90， 解得 x=18 0， MON=3x=3 18 =54 ， 即 MON 的度数为 54 【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直 的定义、角平分线的定义是解题的关键，同时务必要注意解题规， 几何书写入门 必须严格掌握 【练习】 如图，已知 AB、CD 相交于点 O，OB 平分COE，OFAB 于 O， （1）若EOF=120 ，求 AOD 的度数； （2）若BOE=1/4 EOF，求DOE 的度数 【解】 （1） OFAB，BOF=90 又 EOF=120 BO
3、E=EOFBOF=30 OB 平分 COE BOC=BOE=30 AOD=BOC BOC=30 ； （2）设BOEx,则EOF=4x BOF= EOFBOE =4x x=3x. BOF=90 ， 3x=90 ，解得 :x=30 OB 平分COE， COE=2 BOE=2x=60 DOE=180 COE=120 【例题】 如图，直线 EF，CD 相交于点 O，OAOB，且 OC 平分AOF， (1)若AOE=40 ，求 BOD 的度数； (2)若AOE= ，求 BOD 的度数 (用含的式子表示 )； (3)从(1)(2) 的结果中能看出 AOE 和BOD 有何关系？ （1） AOE+ AOF=1
4、80 （邻补角的定义）， AOF=180 AOE， 180 0400140 ； 又OC 平分AOF， FOC=0.5 AOF=70 ， EOD= FOC=70 （对顶角相等）； 而BOE= AOB AOE=50 ， BOD= EOD BOE=20 ； （2） AOE+ AOF=180 ， （邻补角的定义） AOF=180 AOE=180 ； 又OC 平分AOF， FOC=0.5 AOF=90 0.5， EOD= FOC=90 0.5 （对顶角相等）； 而BOE= AOB AOE=90 ， BOD= EODBOE=0.5 ； （3）从（ 1）（2）的结果中不难观察出： AOE=2 BOD 【反思
5、】利用对顶角、邻补角的概念和性质， 熟练掌握对顶角相等、 垂直的定义、 角平分线的定义是解题的关键，注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门 书写必须严格规 . 【练习】 O 为直线 DA 上一点， OB OF，EO 是AOB 的平分线 （1）如图（ 1），若AOB=130 ，求 EOF 的度数； （2）若AOB= ， 90 180 ，求 EOF 的度数； （3）若AOB= ， 0 90，请在图（ 2）中画出射线 OF，使得（ 2）中 EOF 的结果仍然成立 【解答过程】 （1）EO 是 AOB 的平分线， AOB=130 ， AOE0.5 AOB 65 0. OBOF， BOF=90 ，
6、AOF= AOBBOF =130 90 =40 ， EOF= AOEAOF =65 40 =25 ； （2） AOB= ， 90 180 ， EO 是AOB 的平分线， AOE=0.5 AOB0.5， BOF=90 ，AOF= 90， EOF= AOEAOF =0.5 （ 90） =90 00.5； （3）如下图示， AOB= ， 0 90， BOE= AOE=0.5 ， BOF=90 ， EOF= BOFBOE =90 00.5 【试题】 如图， AB CD，AE 平分BAD ，CD 与 AE 相交于 F， CFE= E求 证：AD BC 【分析】 可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满
7、足关于AD BC 的条 件：错角2 和E相等. 证明： AE 平分BAD， 1= 2， AB CD， 1= CFE CFE= E， 2= E， AD BC 【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用 【拓展】 如图， AB CD，AE 平分BAD ，CD 与 AE 相交于 F， CEF= F求 证：AD BC 【分析】 可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD BC 的条 件：错角2 和E相等. 证明： AE 平分BAD， 1= 2， AB CD， 1= CFE CEF= F， 2= E， AD BC 【反思】 注意体会拓展与原题 (试题容和解答过程 )的区别与联系
8、，再结合图形思 考，展开想象，探寻动与静的规律与联系. 【例题】已知：如图，点 B 在直线 AC 上，BE 和 AD 交于 F 点，A= ADE， C= E （1）若EDC=3 C，求C 的度数 （2）求证： BECD （1） A= ADE， AC DE， EDC+ C=180 ， 又 EDC=3 C， 4 C=180 ， 即C=45 ； （2）ACDE， E= ABE， 又 C= E， C= ABE， BE CD 【反思】 (1)要能回答出上面每一步推理的根据，特别要注意逻辑顺序. (2)本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时应注意判定与性 质的区别，不可用错 【拓展】 已知：如图
9、，点 B 在直线 AC 上，BE和 AD 交于 F 点， A= ADE， DCB= DEB （1）若DCB =3 EDC，求DCB 的度数 （2）求证： BECD 【例题】如图，D、E在 ABC 的边 AB 上，F 点在边 BC 上，已知AGD= ACB， 1= 2求证： CD EF 【拓展 1】如图，D、E在 ABC 的边 AB 所在的直线上， F 点在边 BC 所在直线 上，已知AGD= ACB，1= 2求证： CD EF 【拓展 2】如图，D、E在 ABC 的边 AB 所在的直线 上，F 点在边 BC 所在直线 上，已知AGD= ACB，1= 2求证： CD EF 【拓展 3】如图，D、
10、E在 ABC 的边 AB 所在的直线 上，F 点在边 BC 所在直线 上，已知AGD= ACB，1= 2求证： CD EF 【例题】 如图，A、B、C 三点在同一直线上， D、E、F 也在同一直线上，已知 A= F， C= D，求证 BD CE 【拓展 1】如图， A、B、C 三点在同一直线上， D、E、F 也在同一直线上，已 知A= AFD， C= D，求证 BD CE 【拓展 2】如图， A、B、C 三点在同一直线上， D、E、F 也在同一直线上，已 知CAF= F， C= D，求证 BD CE 【拓展 2】如图， A、B、C 三点在同一直线上， D、E、F 也在同一直线上，已 知CAF=
11、 AFD，C= D，求证 BD CE 【例题】 如图，直线 a b， ACBC， 2=55 ，求 1 的度数 【分析】 1 与2 均不是“三线八角”的角，因此通过a b，想方设法构造“三 线八角”，建立 1、 2 及 ACB 之间的联系，从而求出 2 的度数 . 法一： 如下图示， 法二： （图解）如下图示， 【反思与拓展】 【拓展 1】如图，直线 a b， ACBC， 2=55 ，求 1 的度数（不可用“三 角形角和定理”） 【拓展 2】如图，直线 a b， ACBC，2=55 ，求 1 的度数 8.【例题】 已知，如图， DEAC 于 E， AGF= ABC， 1+ 2=180 ，试判断
12、BF 与 AC 的位置关系，并说明理由 理由： AGF= ABC， BC GF 1= 3； 又 1+ 2=180 ， 2+ 3=180 ， BFDE； AFB AED DEAC， AED90 AFB90 BFAC 【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、错 角、同旁角，并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键解题时要注意 几何语言书写格式与过程，同时要注意思路与正确解答之间的关系. 【拓展 1】已知，如图， DEAC 于 E， AGF= ABC， 1 2，试判断 BF 与 AC 的位置关系，并说明理由 【拓展 2】已知，如图， DEAC 于 E， AGF= AB
13、C， 1 2，试判断 BF 与 AC 的位置关系，并说明理由 【拓展 3】已知，如图， DEAC 于 E， AGF= ABC， BDE BFC，试判断 BF 与 AC 的位置关系，并说明理由 【例题】 如图， CD AB，DCB=70 ， CBF=20 ， EFB=130 ， （1）问直线 EF与 AB 有怎样的位置关系？并加以证明； （2）若CEF=70 ，求 ACB 的度数 【拓展 1】如图， CD AB，DCB=30 ， CBF=20 ， EFB=130 ， （1）问直线 EF与 AB 有怎样的位置关系？并加以证明； （2）若CEF=110 ，求 ACB 的度数 【拓展 2】如图， CD
14、 AB，DCB=80 ， CBF=20 ， EFB=80 ， （1）问直线 EF与 AB 有怎样的位置关系？并加以证明； （2）若CEF=70 ，求 ACB 的度数 【试题】 如图，已知1+ 2=180 ，B= 3，求证： DE BC 【拓展 1】如图，已知12， DBF= DEF，求证： DE BC 【拓展 2】如图，已知12， 4+ DEF180 0，求证： DEBC 【例题】 如图， AB CD，ABE=70 ， DCE=144 ，求 BEC 的度数 【分析】 图中虽有 AB CD，但无法直接得到“三线八角”，因此必须添加“辅 助线”，将已知和所求的角进行联系， 想方设法构造出 “三线八
15、角”的基本图形， 然后根据平行线的性质和判定进行转化.方法有多种：分别说明如下： 法一： 过 E点往右侧作 EFCD，如下图示： 法二： 过 E点往左侧作 EFCD，如下图示： 法三： 过 B 点作 BF CD，交 DC 的延长线于 F，如下图示： 法四： 过 C 点作 CF BE交 AB 的延长线于 F，如下图示： 【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，利用已有的平行线，再构造“三 线八角”是解题的关键，当然如果学了三角形（或多边形）的角和，则解法就更 多了：只要能得到“三线八角”均可得解 【拓展 1】如图， AB CD，ABE=70 ， DCE=54 ，求 BEC 的度数 【拓展 2】
16、如图， AB CD，ABE=35 ， DCE=110 ，求 BEC 的度数 【拓展 3】如图， AB CD，ABE=40 ， DCE=20 ，求 BEC 的度数 【试题】 已知 AB CD， ABE 与 CDE 两个角的角平分线相交于点F （1）如图 1，若E=80 ，求 BFD 的度数 （2）如图 2 中，ABM=1/3 ABF，CDM=1/3 CDF，写出M 与E之间 的数量关系并证明你的结论 （3）若ABM=1/n ABF， CDM=1/n CDF，设 E=m ，直接用含有n，m 的代数式表示写出 M= 【解析】 （1）首先先求出 ABE+ CDE 的度数，方法均有4 种，下面仅提供一种解法： 如下图示，过 E点作 EG CD，因 AB C
