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1、与 函 数 相 联 系 的 图 形 旋 转 问 题 举 例 作 者 ： 春|来 源 ： 东 北 育 才 学 校 初 中 部浏 览 次 数 ：1 02 6次 东 北 育 才 网 校| 2008-12-22 11:01:57 图形的旋转是图形变换的重要容之一, 又是新课程标准明确的重要容。 其有利于培养学生实践与操作能力, 形成空间观念和运动变化意识. 本文列举几道与函数相联系的图形旋转问题，来帮 助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。 一、与一次函数相联系的图形旋转问题 A三角形作旋转 例 1（06）如图1- ，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二
2、象限， 点B、点C在x轴的负半轴上，CAO=30，OA=4。 (1) 求点C的坐标； (2) 如图 1- ，将ACB绕点C按顺时针方向旋转30到ACB的位置，其中AC交直线OA于点E，AB分别交直 线OA、CA于点F、G，则除ABCAOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；( 不再另外添加辅助线) (3) 在(2) 的基础上，将ACB绕点C按顺时针方向继续旋转，当COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。 分析：（ 1）要求点C的坐标只需求出OC长即可；（ 2）根据旋转性质：旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3 对 全等三角形 ；（ 3）问题关键是“其中AC交直线OA于点E”，所以
3、“当COE的面积为时”要注意多解。 解：（ 1）在中， 点的坐标为 （2）， （3）如图 1- ，过点作于点 ， 在中， 点的坐标为直线的 同理，如图1- 所示，点的坐标为 设直线 例 2（08）如图 2，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形, 点A的坐标是（ 0，4），点B在第一象限，点P是x 轴上的一个动点，连结AP，并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD. （1）求直线AB的解析式； （2）当点P运动到点（ ,0 ）时，求此时DP的长及点D的坐标； （3）是否存在点P, 使OPD的面积等于 , 若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
4、图 2- 图 2- 分析：（ 1）要求直线AB的解析式只需知道点A、点 B的坐标即可，点A坐标已知，由已知AOB是等边三角形、AO=AB过 点 B向坐标轴作垂线即可求出点B的坐标；（ 2）因为 ABD是由 AOP旋转而得到的，易证ADP是等边三角形，所以DP 的长即为AP的长；求点D坐标，一般可过点D作 DH x 轴于点 H，但此题不易直接求得线段OH 、DH的长，因而可过点B 作 BG DH于点 G ，并反向延长BG交 y 轴于点 K.（3）由于点P是x轴上的一个动点设点P坐标为（ t ，0），所以分当t 0、 t 0、 t 时三种情况讨论。 解：（ 1）如图 2-，过点B作 BE y轴于点
5、 E，作 BF x轴于点 F. 由已知得BF=OE=2, OF= = 点 B的坐标是 ( ，2) 设直线 AB的解析式是y=kx+b， 则有解得 直线 AB的解析式是y=x+4 (2) 如图 2- ， ABD由 AOP旋转得到， ABD AOP ， AP=AD ， DAB= PAO ， DAP= BAO=60 ， ADP是等边三角形， DP=AP=. （ 2 分） 如图，点B作 BG DH于点 G，并反向延长BG交 y 轴于点 K. 在 Rt BDG中， BGD=90 , DBG=60 . BG=BD cos60=. DG=BD sin60 =. OH=KG=, DH= 点 D的坐标为 (,
6、) (3) 假设存在点P, 在它的运动过程中, 使 OPD 的面积等于 . 设点 P为（ t ， 0），下面分三种情况讨论: t 0 时，如图2- ， BD=OP=t, DG=t, DH=2+t. OPD的面积等于， 解得 , ( 舍去 ) . 点 P1的坐标为 (, 0 ) 当 t 0 时，如图2- ， BD=OP= t, BG= t, DH=GF=2 （ t ）=2+t. OPD 的面积等于， ，解得 , . 点 P2的坐标为 (, 0)，点 P3的坐标为 (, 0). 当 t时，如图，BD=OP= t, DG= t, DH= t 2. OPD 的面积等于， 解得 ( 舍去 ), 点 P4
7、的坐标为 (, 0) 综上所述 , 点 P的坐标分别为P1 (, 0)、P2 (, 0)、P3 (, 0) 、P4 (, 0) B角作旋转 例 3（06）如图 3-，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0 ），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，ODBC 2，DMCDOB60 （1）求直线CB的解析式；（2）求点M的坐标； （3）DMC绕点M顺时针旋转（30 60）后，得到D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），射线MD1交 直线DC于点E，射线MC交直线CB于点F，设DEm ，BFn . 求 m与 n 的函数关系式 图 3- 分析：（ 1）要求直线CB的解析式只需知道点B、C坐
8、标即可；求点C坐标只需过点C作 CG x轴于点 G 。（ 2）求点M的 坐标只需求出线段OM 的长度，由 ODM BMC 即可求得。（ 3）由于DMC绕点M顺时针旋转，点M有两种情况，因而 需分情况讨论。 解：（ 1）BC解析式： y= （2） 略证 ODM BMC 设 OM=x ，22x（5 x）， x1 或 4M（1，0）或（ 4，0） （3）当 M （ 1，0）时， DME CMF ， CF2n，DE m ， 2n2m ，即 m 1 当 M(4，0) 时m 2（2n），即 m 42n 图 3- 图 3- 二、与反比例函数相联系的图形旋转问题 A矩形旋转 例 4（06如图 4- ，在平面直
9、角坐标系xOy中，矩形OEFG 的顶点 E坐标为 (4 ，0)，顶点 G坐标为 (0，2) 将矩形OEFG 绕点 O逆时针旋转，使点F 落在轴的点N处，得到矩形OMNP ，OM与 GF交于点 A （1）判断 OGA 和 OMN 是否相似，并说明理由； （2）求过点的反比例函数解析式； （3）设（ 2）中的反比例函数图象交EF于点 B，求直线AB的解析式； （4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG 的对称中心，并说明理由 分析：（1）由 OGA= OMN=90 度， AOG= AOG 易知；（2）求过点的反比例函数解析式只需求出点A坐标， 因为矩形OEFG 绕点 O逆时针旋转得
10、到矩形OMNP ，所以 OM=OE=4 ，OG=EF=MN=2，又，所以求AG的长即可；（3）由点 B横坐标为4，根据 （2）中结论易求点B坐标，即可求出直线AB的解析式；（4）看矩形 OEFG 的对称中心（ 4，1）是否满足（2）中所求解 析式即可。 解：（ 1） （2）由（ 1）得 （3） （4）设矩形OEFG 的对称中心为Q，则点 Q坐标为 (2,1) 把代入，得 反比例函数的图象经过矩形的对称中心 B三角形旋转 例 5（06 天门）如图5- ，边长为2 的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。将OAB绕点O 顺时针旋转30后，恰好点A落在双曲线上。 （1）求双曲线
11、的解析式；（2）等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后，A点再次落在双曲线上？ 图 5- 分析：（ 1）根据题意，只需求出OAB绕点O顺时针旋转30后点 A1坐标即可（过A1作 A1C X轴于 C，由直角 OA1C中 A1OC=30度， OA1=OA=2求出 OC 、CA1）；（ 2）可设 A点次落在双曲线的A2处坐标为 (a,)，然后过A2作 A2D y 轴于 D，在 直角 OA1D中利用勾股定理求出a 的值，再利用特殊角的三角函数值求旋转角度。 解：（ 1）设旋转30后， A点到 A1，过 A1作 A1X于 C，在直角 O A1C中，得 OC= ，A A1=1， 所以 A1（， -1），
12、所以反比例函数的解析式为y= （2）设 A点次落在双曲线的A2处，设 A2(a,)，过 A2作 A2 y 于 D， 在直角 OA1D中, 则 a2+, 解得 a1=1 a2=( 舍), 所以 A2OD=,A2OD=30 所以 A1OA2=30 继续按顺时针旋转30后，A点再次落在双曲线上。 例 6（08 义乌）已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图6- ，点A的坐标为（），点B的坐标为（ 6，0）. （1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O， 请直接写出A、B的对称点的坐标； （2）若将三角形沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数的图像上，求a的值； （3）若三角
13、形绕点O按逆时针方向旋转度（）. 当 =时点B恰好落在反比例函数的图像上，求k的值 问点A、B能否同时落在中的反比例函数的图像上，若能，求出的值；若不能，请说明理由. 分析：（ 1）关于y轴对称的图像特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以根据点A、B的坐标可以直接写出对称点的 坐标； （2）三角形沿x轴向右平移a个单位纵坐标不变，由图象的意义可求点A恰好落在图像上的点的坐标，即可求出a 的值； （3）当 =时，易求点B坐标即可 求k的值 。 解：（ 1） （2） （3）相应 B点的坐标是 能当时，相应, 点的坐标分别是， 经检验：它们都在的图像上 C直线旋转 例 7 (06 )在平面直角坐标
14、系中，直线绕点顺时针旋转得到直线直线与反比例函数的图象的一个交点为，试确定反比例 函数的解析式 分析：由直线绕点顺时针旋转得到直线，易知直线的解析式为， 由图象的意义易求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式。 解：依题意得，直线的解析式为因为在直线上， 则即又因为在的图象上， 又因为在的图象上可求得所以反比例函数的解析式为y= 例 8(07) 如图 8- ， 已知直线L：与双曲线交于两点，且点的横坐标为4 （1）求的值； （2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积； （3）直线绕点O旋转与交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面 积为，求点的坐标 分析 : （1）由图象意
15、义根据直线L、点的横坐标为易求点A坐标，继而求出的值； （2）由点的纵坐标为8，可求点坐标，求的面积可转化为易求的、几个规则图形的面积的 和与差： 可过点 C、A分别作轴的垂线，垂足为E、F，所以的面积 =OEC的面积 +梯形 AFEC- AOF的面积； （3）可分为当L 绕点 O逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论。因为不与点A重合因而分 0 4 和 4 讨论，由于为顶点组成的四边形是平行四边形，因而由所给面积可求点P坐 标。 解： (1) 点A横坐标为 4 , 当 = 4时， = 2 . 点A的坐标为（ 4 ，2 ）. 点A是直线与双曲线（k0）的交点 , k = 4 2 = 8 . (2)
16、 解：如图8- ，过点C、A分别作轴的垂线，垂足为E、F， 点C在双曲线上，当= 8 时， = 1 . 点C的坐标为 ( 1, 8 ).图 8- 点C、A都在双曲线上 , S COE = SAOF = 4 。 SCOE + S梯形 CEFA = SCOA + SAOF. S COA = S梯形 CEFA. S梯形 CEFA = （ 2+8） 3 = 15 , SCOA = 15 . （3）当 L 绕点 O逆时针旋转时反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 , OP=OQ，OA=OB . 四边形APBQ是平行四边形 . S POA =S平行四边形 APBQ = 24 = 6. 设点P的横坐标为（ 0 且） , 得P ( ,) . 过点P、A分别作轴的垂线，垂足为E、F， 点P、A在双曲 2 线上， SPOE = SAOF= 4 . 则 0 4， S POE+ S梯形 PEFA= S POA + SAOF,
