随机变量与分布列习题[整理]

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1、随机变量及分布列 1已知随机变量 2 0,XN，若(2)P Xa，则(2)P X的值为（） A. 1 2 a B. 2 a C. 1a D. 1 2 a 2已知随机变量，若，则的值为（） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3已知， ，则的值为（） A. 10 B. 7 C. 3 D. 6 4集装箱有标号为1，2，3，4，5，6 且大小相同的6 个球，从箱中一次摸出两个球，记下并放回，如果两球之积 是 4 的倍数，则获奖. 若有 4 人参与摸奖，恰好有3 人获奖的概率是（） A. B. C. D. 5甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0 的小球为 1 个，标号为

2、 1 的小球 2 个，标号为 2 的小球 2 个. 从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1 的概率为_ 6设随机变量服从正态分布，则 _ 7某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3 次，那么其中恰有1 次通过的概率是（） A. B. C. D. 8从1，2，3，4， 5，6，7 中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数 均为奇数”，则（） A. B. C. D. 9班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析 . （）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分

3、别是多少； （）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：60 65 70 75 80 85 90 95， ，； 物理成绩由低到高依次为：72 77 80 84 88 90 93 95， ， ， ，若规定90分（含90分）以上为优秀，记为 这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求的分布列和数学期望 . 10某品牌汽车的4S店，对最近 100 份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示. 已知分 9 期付 款的频率为 0.4 ；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3 期付款，其利润为1 万元；分 6 期或 9 期付款， 其利润为 2 万元；分 12 期付款，其利润为3 万元. 付款方式分 3

4、 期分 6 期分 9 期分 12 期 频数2020a b （1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3 为顾客，求事件A： “至多有 1 位采用分 6 期付款“的概率P A； （2）按分层抽样方式从这100 为顾客中抽取5 人，再从抽取的5 人中随机抽取 3 人，记该店在这3 人身 上赚取的总利润为随机变量，求的分布列和数学期望E. 11某公司有,A B C D E 五辆汽车，其中,A B 两辆汽车的车牌尾号均为1. ,C D 两辆汽车的车牌尾号均 为 2，E车的车牌尾号为6，已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，,A B E 三辆汽车每天出车

5、的概 率均为 1 2 ，,C D 两辆汽车每天出车的概率均为 2 3 ，且五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车 限行规定如下： 车牌尾号0 和 51 和 62 和 73 和 84 和 9 限行日星期一星期二星期三星期四星期五 （1）求该公司在星期一至少有2 辆汽车出国的概率； （2）设 X 表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X 的分布列及期望 . 12拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展某校的一个社会实践调查小组，在 对该校学生进行 “是否有明显拖延症” 的调查中， 随机发放了 110 份问卷 对收回的 100 份有效问卷进行 统计，得到如下22列联

6、表： 有明显拖延症无明显拖延症合计 男352560 女301040 合计6535100 （）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40 份女生问卷中抽取了8 份问卷，现从这8 份问卷中 再随机抽取 3 份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X，试求随机变量X的分布列和数学期望； （）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确 的P的值应为多少？请说明理由 附：独立性检验统计量 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 独立性检验临界值表： 2 0 P Kk 0250150100050025 0 k132320722706384150

7、24 13某高校数学系2016年高等代数试题有6 个题库，其中 3 个是新题库（即没有用过的题库），3 个是旧 题库（即至少用过一次的题库） ，每次期末考试任意选择2 个题库里的试题考试. （1）设 2016 年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望； （2）已知 2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017 年期末考试时恰好到1 个新题库的概率 14某市举行的“国际马拉松赛” ，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动，抽奖盒中装有6 个大小相同的小球，分别印有“快乐马拉松”和“美丽绿城行”两种标志，摇匀后，参加者每次从盒中同 时抽取两个小球（取出后不再放回） ，若抽到的两

8、个球都印有“快乐马拉松”标志即可获奖并停止取球； 否则继续抽取， 第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有 抽中不获奖活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有快乐马拉松的小球？”主持人说：“我只 知道第一次从盒中同时抽两球，不都是美丽绿城行标志的概率是 （1）求盒中印有“快乐马拉松”小球的个数； （2）若用表示这位参加者抽取的次数，求的分布列及期望 15为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员. 从符合条件的600 名 志愿者中随机抽取100 名，按年龄作分组如下：20,25) , 25,30) , 30,35)， 35,40

9、) , 40,45 ， 并得到如下频率分布直方图. () 求图中的值，并根据频率分布直方图统计这600 名志愿者中年龄在 30.40) 的人数； () 在抽取的 100 名志愿者中按年龄分层抽取10 名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10 名志愿者中随机选取3 名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3 名志愿者中年龄不低于35岁的 人数为 , 求的分布列及数学期望. 16一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种 药物痊愈的概率分别为. 现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4 位该病毒的感染者组成，其中2 人 试用甲种抗病毒药物，2

10、 人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病 毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”. （1）求一个试用组为“甲类组”的概率； （2）观察 3 个试用组，用表示这3 个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望. 17某班为了提高学生学习英语的兴趣，在班举行英语写、说、唱综合能力比赛，比赛分为预赛和决赛2 个阶段，预赛为笔试，决赛为说英语、唱英语歌曲，将所有参加笔试的同学（成绩得分为整数，满分100 分）进行统计，得到频率分布直方图，其中后三个矩形高度之比依次为4:2:1 ，落在的人数为12人 （）求此班级人数； （）按规定预赛成绩不低于90 分的选手参加决赛，

11、已知甲乙两位选手已经取得决赛资格，参加决赛的 选手按抽签方式决定出场顺序 （i ）甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率； （ii ）记甲乙二人排在前三位的人数为，求的分布列和数学期望 182017 年 1 月 1日，作为市打造“千园之城”27个示性公园之一的泉湖公园正式开园. 元旦期间，为了 活跃气氛，主办方设置了水上挑战项目向全体市民开放. 现从到公园游览的市民中随机抽取了60 名男生和 40 名女生共 100 人进行调查，统计出100 名市民中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况， 具体数据如图表： （1）根据条件完成下列2 2 列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1% 的情况下

12、愿意接受挑战与性别有关？ 愿意不愿意总计 男生 女生 总计 （2）水上挑战项目共有两关，主办方规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关 后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加每一关的每一次挑战通过的概率均为 1 2 ，记甲通过的关数为X ， 求 X 的分布列和数学期望. 参考公式与数据： 2 0 P Kk0.10.050.0250.01 0 k 2.7063.8415.0246.635 2 2 n adbc K abcdacbd . 19在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6 名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们 的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎

13、叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最 后一位选手的成绩，知识告知大家，如果某位选手的成绩高于90 分（不含90 分） ，则直接“晋级” （1）求乙班总分超过甲班的概率； （2）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90 分，乙班第六位选手的得分是97 分， 请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况； 主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2 个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期 望 20一个袋中装有大小相同的球10 个，其中红球8 个，黑球2 个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1 个. 求： （1）连续取两次都是红球的概率； （2）如果取出

14、黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4 次，求取球次数的概率 分布列及期望 . 21甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6 局还没有分出胜负则 判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛. 比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛相互 独立 . 求： （1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜 的概率 . 22若随机变量 2 2,3XN，且1P XP Xa，则 5 21 xaax x 展开式中 3 x 项的系数是 _ 23在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，

15、则_ 24某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布, 已知，估计该班学生数学成绩在120 分以上 的有_人. 25某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.03 2) ，为使该厂生产的产品有 95% 以上的合格率， 则该厂生产的零件 尺寸允许值的围为_ 26已知正态总体的数据落在区间(3， 1) 里的概率和落在区间(3,5) 里的概率相等，那么这个正态总体的数学 期望为 _ 27若随机变量的分布列如下表： 0 1 x P 1 5 p 3 10 且 E（） 1.1 ，则 D（） _ 28设 p 为非负实数，随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P 1 2 pp 1 2 则 E（

16、X）的最大值为 _，D（X）的最大值为 _ 2912 个同类型的零件中有2 个次品，抽取3 次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，以表示取出次品 的个数，则的期望值( )E= 参考答案 1A 【解析】由题意有正态密度函数的图象关于直线0 x对称 , 正态密度函数的图象与x轴围成的面积为1, 所以有 1 (2)(2)1 2 P XP Xa, 选A. 2B 【解析】 。故选 B 。 3A 【解析】由题意得。故选 A。 4B 【解析】获奖的概率为，记获奖的人数为，所以 4 人中恰好有3 人获奖的概率为，故选 B. 5 【解析】记“一个标号是”为事件 , ”另一个标号也是”为事件，所以。 6 【解析】依题意有. 7A 【解析】次独立重复实验，恰好发生一次的概率为. 点睛： 本题主要考查独立重复试验和二项分布