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1、数值分析 第二章 2当1, 1,2x时，( )0, 3,4f x, 求( )f x的二次插值多项式。 解： 012 012 12 0 0102 02 1 1012 01 2 2021 1,1,2, ()0,()3,()4; ()()1 ( )(1)(2) ()()2 ()()1 ( )(1)(2) ()()6 ()()1 ( )(1)(1) ()()3 xxx f xf xf x xxxx lxxx xxxx xxxx lxxx xxxx xxxx lxxx xxxx 则二次拉格朗日插值多项式为 2 2 0 ( )( ) k k k Lxy lx 02 2 3 ( )4 ( ) 14 (1)(
2、2)(1)(1) 23 537 623 lxlx xxxx xx 6设,0,1, j xjnL 为互异节点，求证： （1） 0 ( ) n kk jj j x lxx (0,1, );knL （2） 0 ()( )0 n k jj j xx lx (0,1, );knL 证明 （1）令( ) k f xx 若插值节点为,0,1, j xjnL，则函数( )f x的n次插值多项式为 0 ( )( ) n k njj j Lxx lx 。 插值余项为 (1) 1 ( ) ( )( )( )( ) (1)! n nnn f Rxf xLxx n 又,knQ (1) ( )0 ( )0 n n f R
3、 x 0 ( ) n kk jj j x lxx (0,1, );knL 0 00 00 (2)()( ) () ( ) ()( ) n k jj j nn jik i kjj ji nn ik ii kjj ij xxlx C xxlx Cxx lx 0inQ又由上题结论可知 0 ( ) n ki jj j x lxx 0 () () 0 n ikii k i k Cxx xx 原式 得证。 7 设 2 ( ),f xCa b且( )( )0,f af b求证： 2 1 max( )() max( ). 8 a x ba x b f xbafx 解：令 01 ,xa xb，以此为插值节点，则
4、线性插值多项式为 10 101 010 ( )()() xxxx L xf xfx xxxx =( )( ) xbxa f af b abxa 1 ( )( )0 ( )0 f af b L x Q又 插值余项为 101 1 ( )( )( )( )()() 2 R xf xL xfx xxxx 01 1 ( )( )()() 2 f xfxxxxx 01 2 01 2 10 2 ()() 1 ()() 2 1 () 4 1 () 4 xxxx xxxx xx ba Q又 21 max( )() max( ). 8 a x ba x b f xbafx 8在 44x 上给出( ) x f xe
5、的等距节点函数表，若用二次插值求 x e的近似值，要使 截断误差不超过 6 10 ，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：若插值节点为 1,ii xx 和 1i x ，则分段二次插值多项式的插值余项为 211 1 ( )( )()()() 3! iii R xfxxxxxx 211 44 1 ( )()()() max( ) 6 iii x R xxxxxxxfx 设步长为h，即 11 , iiii xxh xxh 4343 2 123 ( ). 627 3 3 R xehe h 若截断误差不超过 6 10 ，则 6 2 436 ( )10 3 10 27 0.0065. Rx e h h 9
6、若 44 2 ,. n nnn yyy求及， 解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 2 n n y 44 (1) nn yEy 4 4 0 4 4 0 4 4 0 4 4 ( 1) 4 ( 1) 4 ( 1)2 (21) 2 jj n j j nj j jj n j n n n Ey j y j y j y y 11 44 22 () nn yEEy 1 44 2 24 2 2 () (1) 2 n n n n EEy Ey y 16 74 ( )31,f xxxx求 017 2 ,2 ,2FL及 018 2 ,2 ,2FL。 解：Q 74 ( )31f xxxx 若2 ,0,1
7、,8 i i xiL 则 ( ) 01 ( ) , ! n n f f xxx n L (7) 017 ( )7! ,1 7!7! f fxxxL (8) 018 ( ) ,0 8! f f xxxL 19 求一个次 数不高于4次的多项式P （x），使它满足 (0)(0)0,(1)(1)0,(2)0PPPPP 解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4 的多项式 01 01 01 0,1 0,1 0,1 xx yy mm 11 3 00 2 01 0 0101 2 ( )( )( ) ( )(1 2)() (12 )(1) jjjj jj Hxyxmx xxxx x xxxx xx 2 10
8、1 1010 2 ( )(1 2)() (32 ) xxxx x xxxx x x 2 0 2 1 ( )(1) ( )(1) xx x xxx 2232 3( ) (32 )(1)2Hxx xxxxx 设 22 301 ( )( )() ()P xHxA xxxx 其中， A为待定常数 3222 (2)1 ( )2(1) P P xxxAxx Q 1 4 A 从而 221 ( )(3) 4 P xxx 解法二 : 采用牛顿插值，作均差表： i x)( i xf 一阶均差二阶均差 0 1 2 0 1 1 1 0 -1/2 ,)(,)()()( 210101000 xxxfxxxxxxfxxxp
9、xp )()()( 210 xxxxxxBxA )2)(1()()2/1)(1(0 xxxBxAxxx 又由 , 1)1 (,0)0(pp 得 , 4 1 , 4 3 BA 所以 .)3( 4 )( 2 2 x x xp 第四章 1. 确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度： 101 2 101 2 1 12 1 2 0 (1)( )()(0)( ); (2)( )()(0)( ); (3)( )( 1)2 ()3 ()/ 3; (4)( )(0)( )/ 2(0)( ); h h h h h f x dxA fhA fA f h f x
10、dxA fhA fA f h f x dxff xf x f x dxh ff hahffh 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项 式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若 101 (1)( )()(0)( ) h h f x dxAfhA fA f h 令( )1f x，则 101 2hAAA 令( )f xx，则 11 0A hAh 令 2 ( )f xx，则 322 11 2 3 hh Ah A 从而解得 0 1 1 4 3 1 3 1 3 Ah Ah Ah 令 3 ( )f xx，则 3 ( )0
11、hh hh f x dxx dx 101 ()(0)( )0AfhA fA f h 故 101 ( )()(0)( ) h h f x dxAfhA fA f h 成立。令 4 ( )f xx，则 45 5 101 2 ( ) 5 2 ()(0)( ) 3 hh hh fx dxx dxh A fhA fA f hh 故此时， 101 ( )()(0)( ) h h f x dxA fhA fA f h 故 101 ( )()(0)( ) h h f x dxAfhA fA f h 具有 3 次代数精度。 （2）若 2 101 2 ( )()(0)( ) h h f x dxAfhA fA f
12、 h 令( )1f x，则 101 4hAAA 令( )f xx，则 11 0A hAh 令 2 ( )f xx，则 322 11 16 3 hh Ah A 从而解得 0 1 1 4 3 8 3 8 3 Ah Ah Ah 令 3 ( )f xx，则 22 3 22 ( )0 hh hh f x dxx dx 101 ()(0)( )0AfhA fA f h 故 2 101 2 ( )()(0)( ) h h f x dxA fhA fA f h 成立。 令 4 ( )f xx，则 22 45 22 64 ( ) 5 hh hh f x dxx dxh 5 101 16 ()(0)( ) 3 A
13、 fhA fA f hh 故此时， 2 101 2 ( )()(0)( ) h h f x dxAfhA fA f h 因此， 2 101 2 ( )()(0)( ) h h f x dxAfhA fA f h具有 3 次代数精度。 （3）若 1 12 1 ( )( 1)2 ()3 ()/ 3f x dxff xf x 令( )1f x，则 1 12 1 ( )2( 1)2 ()3()/ 3f x dxff xf x 令( )f xx，则 12 0123xx 令 2 ( )f xx，则 22 12 2123xx 从而解得 1 2 0.2899 0.5266 x x 或 1 2 0.6899 0
14、.1266 x x 令 3 ( )f xx，则 11 3 11 ( )0f x dxx dx 12 ( 1)2 ()3 ()/ 30ff xf x 故 1 12 1 ( )( 1)2 ()3()/ 3f x dxff xf x 不成立。 因此，原求积公式具有2 次代数精度。 （4）若 2 0 ( )(0)( )/ 2(0)( ) h f x dxh ff hahffh 令( )1f x，则 0 ( ), h f x dxh 2 (0)( )/ 2(0)( )h ff hahffhh 令( )f xx，则 2 00 22 1 ( ) 2 1 (0)( )/ 2(0)( ) 2 hh f x dx
15、xdxh h ff hahffhh 令 2 ( )f xx，则 23 00 232 1 ( ) 3 1 (0)( )/ 2(0)( )2 2 hh f x dxx dxh h ff hahffhhah 故有 332 11 2 32 1 12 hhah a 令 3 ( )f xx，则 34 00 2444 1 ( ) 4 1111 (0)( )/ 2(0)( ) 12244 hh f x dxx dxh h ff hhffhhhh 令 4 ( )f xx，则 45 00 2555 1 ( ) 5 1111 (0)( )/ 2(0)( ) 12236 hh f x dxx dxh h ff hhf
16、fhhhh 故此时， 2 0 1 ( )(0)( )/ 2(0)( ), 12 h f x dxh ff hhffh 因此， 2 0 1 ( )(0)( )/ 2(0)( ) 12 h f x dxh ff hhffh 具有 3 次代数精度。 7。若用复化梯形公式计算积分 1 0 x Ie dx，问区间0,1应多少等分才能使截断误差不超过 6 10 ？ 解： 采用复化梯形公式时，余项为 2 ( )( ),( , ) 12 n ba Rfh fa b 又 1 0 x Ie dxQ故( ),( ),0,1. xx f xefxeab 22 1 ( )( ) 1212 n e Rfhfh 若 6 10fRn ，则当对区间0,1进行等分时， 1 ,h n 故有 12 10 6 e n因此，将区间476 等分时可以满足误差要求 第五章 2. 用改进的欧拉方法解初值问题 , 1)0( ; 10, y xyxy 取步长 h=0.1 计算，并与准确解 x exy21 相比较。 近似解准确解近似解准确解 0.1 1.11
