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1、第十二章微分方程 12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x2 (c 的任意常数 )是y=2x 的特解。( ) 2.y=(y) 3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（） 二、填空题 1. 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。 2.函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3.积分曲线y=(c 1+c2x)e x2 中满足yx=0=0, yx=0=1 的曲线是。 三、选择题 1下列方程中是常微分方程 （A） 、x
2、2+y2=a2 (B) 、 y+0)( arctan x e dx d (C)、 2 2 x a + 2 2 y a =0 （D） 、y=x 2+y2 2.下列方程中是二阶微分方程 （A） （y）+x2 y +x 2=0 (B) (y) 2+3x 2y=x3 (C) y+3y+y=0 (D)y-y 2=sinx 3.微分方程 2 2 dx yd +w 2y=0 的通解是 其中 c.c1.c2均为任意常数 （A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c1coswx+c2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4.C 是任意常数，则微分方程y= 3 2 3y的一个特解
3、是 （A）y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 3 (D)y=c(x+1) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1 22 CCxy（其中C为任意常数）2. xx eCeCy 3 2 2 1（其中21,CC为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始 条件。 12-2可分离变量的微分方程 一、求下列微分方程的通解 1 sec 2.tacydx+sec2ytanxdy=0 2 (x+xy 2)dx-(x2y+y)dy=0 3 (e
4、 x+y -ex)dx+(e x+y -ey)dy=0 4y=cos(x-y).( 提示令 .x-y=z) 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解 1 cosydx+(1+e -x)sinydy=0. y x=0= 4 2.1. 1 sec 2 32 x yxdxdy y x 三 、设 f(x)=x+ x 0f(u)du,f(x) 是可微函数，求 f(x) 四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连 线。 五、船从初速v0=6 米/秒而开始运动， 5 秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求 船速随时间变化的规律。 12-3齐次方程 一、求下列齐
5、次方程的通解 1 yx-xsin0 x y 2 (x+ycos) x y dx-xcos x y dy=0 二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 1xy ax dy =x 2+y2 yx=e=2e 2.x2dy+(xy-y 2)dx=0y x=1=1 三、求方程： （x+y+1 ）dx=(x-y+1)dy 的通解 四、设有连结点O(0， 0)和 A（1， 1）一段向上凸的曲线孤AO对于AO上任一点 P（x，y）,曲线孤与PO 直线段 OP 所围图形的面积为x2，求曲线孤AO的方程。 12.4 一阶线性微分方程 一、求下列微分方程的通解 1.xy+y=xe x 2.y+ytanx=sin2x
6、 3.y+ x x y x sin1 4. y eyx y dx dy 3 二、求下列微分方程满足初始条件的特解 1ycosy+siny =x y 4 0 x 2.(2x+1)e yy 2ey=4 y0 0 x 三、已知f(),曲线积分 b a dyxfdx x y xfx)()(sin与路径无关，求函数f(x). 四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率 减少， 且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速 度与时间的关系。 五、 求下列伯努利方程的通解 1y+xy x 1 2y5 2. xy+y-y 2lnx=0 12
7、-4全微分方程 一、求下列方程通解 1cos(x+y 2)+3ydx+2ycos(x+y2)+3xdy=0 2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0 3.eydx+(xe y-2y)dy=0 二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解 1 ydx-xdy+y 2xdx=0 2 y(2xy+e x)dx-exdy=0 三、 xy(x+y)-f(x)ydx+f(x)+x 2ydy=0 为全微分方程，其中函数 f(x) 连续可微， f(0)=0, 试求函 数 f(x) ，并求该方程的通解。 12-7 可降阶的高阶微分方程 一、求下列各微分方程的通解 1y=xsinx 2. y-
8、y=x 3.yy+(y)2=y4. y(1+ex)+y=0 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解 12y=sin2y y 2 0 x y1 0 x 2. xy-ylny+ylnx=0 y2 1x y 2 1 e x 三、函数f(x) 在 x0 二阶导函数连续且f(1)=2 ，以及f(x)-0 )()( 2 1 dt t tf x xf x ,求 f(x). 四、一物体质量为m,以初速度Vo 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求 物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。 12-8 高阶线性的微分方程 一、选择题 1下列方程中为线性微分方程 （A） （y） +xy=x (B)y
9、xyy2 (C) x ey x y x y 2 22 (D)yxyyycos3 2.已知函数y1= 2 21 x x e，y1= 2 21 x x e，y3=e(x- 2 ) 1 x 则 （ A）仅 y1与 y2线性相关（B）仅 y2与 y3线性相关 （ C）仅 y1与 y3线性相关（D）它们两两线性相关 3若 y1和 y2是二阶齐次线性方程，y+p(x)y+4(x)y=0 两个特解， c1c2为任意常数，则 y=c1y1+c2y2 (A) 一定是该方程的通解（B）是该方程的特解 （C）是该方程的解（ D）不一定是方程的解 4下列函数中哪组是线性无关的 （A）lnx, lnx 2 (B)1，l
10、nx (C)x, ln2 x (D)lnx, lnx 2 二、证明：下列函数是微分方程的通解 1y=c1x 2+c2x2lnx(c 1 c2是任意常数 )是方程 x2 y -3x y+4y=0 的通解 2y=c1e -x+c2e x e x 2 (c1c2是任意常数 )是方程 2 x eyy2的通解 三、设 y1(x)y2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且 y1(x)y2(x).y3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为：)()1()()( 3212211 xyccxycxycy 四、试求以y= 1 ( 1 c x ex+c2e -x)+ 2 x e (c1,c2是任意常数 )
11、为通解的二阶线性微分方程。 12-9 二阶常系数齐次线性微分方程 一、选择题 1 以 y1=cosx,y2=sinx 为特解的方程是 （A）0yy(B)0yy(C)0yy(D)0yy 2微分方程20yyy的通解是 （A） xx ececy 2 21 （B） 2 21 x x ececy（C） 2 21 x x ececy(D) xx ececy 2 21 3常微分方程0)( 2121 yyy， （其中 21, 是不等的系数） ，在初始条件 y1x=0=0 0 x y特解是 （A）y=0 (B)y= xx ecec 21 21 (C) 2 21 xy（D） 2 21 )(xy 4 x ey 2
12、是微分方程06yypy的一个特解，则此方程的通解是 （A） xx ececy 3 2 2 1 （B） x exccy 2 21 )( （C） xx ececy 3 2 2 1 （D）)3cos3sin( 21 2 xcxcey x 5 xx ececy 21 是微分方程的通解 （A）0yy（B）0yy（C）0yy（D）0yy 二、求下列微分方程的通解 105yy2044yyy 304yyy4065yyy 501036yyyy5. 02 )4( yyy 三、求下列微分方程满足初始条件的特解 10102yyy1 0 x y2 01x y 203 2 x dt dx dt xd 0 0t x1 0t
13、 x 四、一质量为m 的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大 小成正比（比例系数为k） ，求此质点的运动规律。 12-10 二阶常数非齐次线性微分方程 一、选择题 1 微分方程，形式为的特解 * 2yxyy (A)ax (B)ax+b (C)ax 2 (D)bxax 2 2.微分方程形式为的特解 * 1yeyy x （A）baex （B）baxe x （C）bxae x （D）bxaxe x 3微分方程 x xeuy 2 2的特解 y*形式为 （A） x ebaxx 2 )(（B） x ebax 2 )(（C） x xe 2 （D） x ecbxax 2
14、2 )( 4微分方程xyy2cos4的特解 y *形式为 （A）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x 5.微分方程xxyy 2 sin的特解形式为y*= （A） （ax+b）sin2x (B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos2x （C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f 6.微分方程xeyyy x 5sin54 的特解形式为 （A）xbae x 5sin(B)xcxbae x 5sin5cos （C）xbaxe x 5sin（D）xcxbaxe x 5sin5cos 二、求下列各方程的通解 1 x xeyyy22xyyysin67 3xeyyy x sin524xxyycos 三、求微分方程xyycos9满足0 22 xx yy的特解 四、已知二阶常系数微分方程)2(xyyy有特解xxey x 61 2* ，求 ,的值，并求该方程的通解 五、k为常数。试求 x eykyky 2 2的通解。 六、设 xx dttfxdttfxxf 00 )()(sin)(，其中 f(x) 为连续的数，求f(x) 。 七、一链长18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm，另一边垂下10cm，问整个链子滑过 钉子需要多少时间？
