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1、第7章 梁的强度,梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算 弯曲中心的概念 小结,第一节,第二节,第三节,第四节,第五节,第7章 梁的强度,本章研究梁的应力和变形计算，解决梁的强度和刚度计算问题。,梁的一般情况是横截面上同时存在剪力和弯矩两种内力，称作剪力（横力）弯曲。与此相应的截面上任一点处有剪应力和正应力。且剪应力只与剪力Q有关，正应力只与弯矩M有关。,横截面上只有弯矩而没有剪力的弯曲称作纯弯曲。,如图简支梁，AC、DB段为横力弯曲；CD段为纯弯曲。,返回,下一张,上一张,小结,第一节 梁横截面上的正应力,一、实验观察与分析：,为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。,用三关
2、系法：实验观察平面假设；,几何关系变形规律，物理关系应力规律，静力学关系应力公式。,横线仍为直线,但倾斜角度d； 纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短； 横截面相对于纵向伸长区域缩 短，纵向缩短区域伸长。,假设:平面假设变形前 后横 截面保持平面不变；,中性层长度不变的纤维层； 中性轴中性层与横截面的交线。,单向受力假设纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。,返回,下一张,上一张,小结,二、正应力公式的推导：,（一）变形几何关系：,取梁微段dx考虑变形几何关系，得应变规律：,当M0时：y0,0，为受拉区；y0,0,为受压区。,（二）物理关系：,由假设2及虎克定律，梁横截面上的正应力变
3、化规律为：,此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴（z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,0；上下边缘处有ymax，故有max。,返回,下一张,上一张,小结,（三）静力学关系：,中性轴Z必通过形心。,中性轴是截面的形心主轴。,纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法向合力dN=dA。截面上各微内力形成沿X轴的空间平行力系。可简化成三个内力分量：Nx、My、Mz。,式中: Iz截面对其中性轴的惯性矩； M截面上的弯矩； y所求正应力点到中性轴的距离。,纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式,为避免符号错误，计算中各量以绝对值代
4、入，符号依点所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受拉区和受压区；M0,上压下拉；M0，上拉下压。）,纯弯曲梁的变形计算公式,返回,下一张,上一张,小结,正应力公式的使用范围：纯弯曲梁；弹性范围（p）；平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；细长梁的横力弯曲。（一般l/h5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求5。）,例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。,解：（1）计算C截面的弯矩M,（2）确定中性轴位置，并计算惯性矩,（3）求a、b两点的正应力,(4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力 -max,（在截面上下边缘。）,返回,下一张,上一张,小
5、结,例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两点处的正应力。,解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m,(3)求D截面a、b两点的正应力：,(2)确定中性轴位置 和截面惯性矩： 查型钢表 IZ=1660cm4,返回,下一张,上一张,小结,第二节 梁横截面上的剪应力,一、矩形截面梁：,矩形截面梁任意截面上剪力Q都与对称轴重合。对狭长横截面上剪应力的分布规律可作两个假设：,(1)横截面上各点均与该面上Q同向且平行； (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。,从梁微段中取窄条cdmn分析：,返回,下一张,上一张,小结,矩形截面剪应力计算公式：,式中:Q横截面上的剪力； Iz横截面
6、对其中性轴的惯性矩； b所求剪应力作用点处的截面宽度； Sz 所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。,矩形截面：,沿截面高度按抛物线规律变化。,由剪切虎克定律G，知剪应变沿截面高度也按抛物线规律变化，引起截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。,返回,下一张,上一张,小结,二、其它形状截面的剪应力：,1. 工字形截面梁：,工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。,1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。,式中:Q横截面上的剪力； h1腹板高度； Iz 截面对z轴惯性矩； d腹板厚度； Szmax中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩； （对于型钢，Szma
7、x：Iz 的值可查型钢表确定）,故中性轴处有最大剪应力,2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布，计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在“剪应力流”的规律。,Sz欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩；o翼缘厚度。,返回,下一张,上一张,小结,2. T字型截面：,T字型截面与工字型截面相似，最大剪应力仍发生在截面中性轴上。其腹板上应力为：,3. 圆形及环形截面：,圆形与薄壁环形截面其最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，并沿中性 轴均匀分布，其值为： 圆形截面,薄壁环形截面,式中：Q截面上的剪力 A1、A
8、2圆形、薄壁环形截面的面积,所有开口薄壁截面的剪应力均符合“剪应力流”规律。,返回,下一张,上一张,小结,例7-3：矩形截面简支梁如图,已知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm,q=3kN/m.试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最大剪应力.,解：1、求剪力：QA=3kN,2、求K点剪应力：,3、求最大剪应力：,返回,下一张,上一张,小结,例7-4 倒T形截面外伸梁如图, 已知： l=600mm,b=30mm,P1=24kN, P2=9kN, y1=72mm, Iz=573cm4, 试求 梁横截面上的最大剪应力。,解：1. 求最大剪力： Qmax15kN, 在CB梁段。,2.
9、 求最大剪应力：,在中性轴上。,返回,下一张,上一张,小结,第三节 梁的强度计算,一、梁的正应力强度条件：,为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行梁的强度计算。,危险截面最大应力点所在截面;(等直梁为最大内力截面）,危险点危险截面上的最大应力作用点。,等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。,返回,下一张,上一张,小结,(1)强度校核: (2)选择截面: (3)确定梁的 许可荷载,二、剪应力强度条件：,三、梁的强度计算：,一般情况下，细长梁多为横力弯曲，横截面上同时存在弯矩和剪力，应同时满足正应力和剪应力强度条件
10、。由此可进行三方面的强度计算：,返回,下一张,上一张,小结,例7-5 图示为T形截面的铸铁梁。已知： y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN, a=1m,铸铁许用拉应力+=30MPa,许用压 应力-=60MPa,试校核梁的正应力强度。 解：(1)作出梁的弯矩图,可知: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m (2)梁的两个抗弯截面模量为:,(3)C截面的正应力强度校核: (4)D截面的正应力强度校核: (5)最大拉应力发生在C截面的下边缘处,最大压应力发生在D截面的下边缘处,其值分别为:,返回,下一张,上一张,小结,例7-6：试为图示的施工用钢轨枕木选
11、择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力=15.6MPa,许用剪应力=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。,解:(1)由正应力强度条件设计截面尺寸,(2)校核剪应力强度 (3)按剪应力强度条件重新设计截面,返回,下一张,上一张,小结,例7-7 一外伸梁 如图所示,梁上受集中力P的作用.已知a=25cm,l=100cm,梁由 2.6号工字钢制成,材料的弯曲许用正应力=170MPa,许用剪应力=100MPa, 试求此梁的许可荷载P.,解: 查表得: (1)按正应力强度条件确定P (2)校核剪应力强度 此梁的许可荷载P=52.7kN,返回,下一张,上一张,小
12、结,A相同时，截面 高度尽量大；,四、梁的合理截面：,梁的设计应达到即安全又经济的要求。即要保证梁具有足够的强度，安全工作；又要充分发挥材料的作用，节省材料。,由此可知：与强度有关的材料性质应尽量大；荷载及结构确定的Mmax应尽量小；而提高梁的弯曲强度，主要从提高Wz着手，即选择合理截面形式，使Wz/A的值尽量大。,把大部分面积布置在距中性轴 较远的截面边缘，提高Wz/A的值； Wz/A=(0.27-0.31)h0.167h0.125h; (工字形矩形圆形),使截面两边 同时达到许 用应力；,综合考虑梁的有关刚度、稳定、使用要求及制造工艺等因素。 如：过分强调加大h值，可能使截面侧向失稳；木梁
13、不用工、 环形截面，以避免增加加工费等。,返回,下一张,上一张,小结,第四节 弯曲中心的概念,当外力作用在梁的纵向对称平面内时，梁产生平面弯曲。但截面没有纵向对称轴时，沿形心主轴作用的荷载不产生平面弯曲。,如图槽形截面，P力使梁弯曲；截面上的剪应力流形成扭矩(腹板上的剪力Q和翼缘上的T可求其作用在A点的合力Q，Q与P形成扭矩)使梁扭转；梁产生弯扭组合变形。,若使梁仅产生平面弯曲，P必须作用在过弯曲中心的纵向平面内。,任何形状的截面都存在弯曲中心。弯曲中心的位置与梁所受的荷载无关，只取决于截面的几何形状。,可以证明，弯曲中心位于截面的对称轴上；中线交点；与形心重合。型钢截面的弯曲中心可查有关图表
14、。,弯曲中心梁仅产生平面弯曲时，外力在截面上的作用位置。,返回,下一张,上一张,小结,例7-8 20a工字钢制成简支梁如图所示,已知=150MPa, =95MPa,P=100KN,a=0.32m,l=2m,试对此梁进行强度校核。,解 ： 作M图,Q图。,Mmax=32KM.m Qmax=100KN 查表:Iz=2370cm4 ，W=237cm3，,返回,下一张,上一张,小结,20a工字钢简支梁,校核强度。 已知:=150MPa,=95MPa，=100KN，a=0.32m，l=2m。,M=32KM.m Q=100KN 查表: Iz=2370cm4 ，W=237cm3，,(1) 校核正应力强度：,
15、（2）校核剪应力强度：,(3)校核腹板与翼缘交界处的主应力强度 1)K点的主应力校核,2)加大截面改选20b号工字钢 113MPa = 48.8MPa,返回,下一张,上一张,小结,小结,三、梁的应力：,一、梁的外力（平面弯曲受力特点和变形特点）：,二、梁横截面内力：弯矩M、剪力Q；,绘内力图：直接法求截面内力； M=Mo(PiQ);Q=PiQ。 内力图特征：q=0；q=C； P作用截面；M作用截面。,返回,下一张,上一张,小结,1. 第一类危险点：正应力强度条件：,2. 第二类危险点：剪应力强度条件：,3. 第三类危险点：主应力强度条件： （塑性材料梁）,四、梁的强度计算：,返回,下一张,上一张,小结,
