求函数极限的方法6

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1、第 1 页 （共 16 页）摘要：求解函数极限是高等数学的一个重要内容，本文主要探讨一元函数和二元函数极限的求法，详细介绍了一些常用的方法和技巧。并对一些例题进行了解析和说明。关键词：一元函数；二元函数；极限函数极限的求解是高等数学的基本运算，也是学生必备的基本技能，并且函数极限和以后许多章节的知识相联系，例如：导数的计算、定积分、曲线积分、幂级数等，它是我们学好后序章节知识的基础。因此，掌握其求解方法对以后的学习至关重要。函数的极限求解方法灵活多变，不易掌握，是高等数学的一个难点。本文就一元函数极限和二元函数极限的求法进行探讨，希望对学习高等数学的同学能有所帮助。1 一元函数极限的求法1.1

2、 用定义求一元函数极限1.1.1 趋于 时的函数极限xa定义 1：函数 在点 的空心邻域内有定义， 是一个确定xfaA的数，若对任意的正数 ，存在 ，使得当 时，都有00ax则称 趋向于 的极限存在，且为 ，记作 .,Axfx xflim下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意 的值是如何确定的，它和 有什么关系。例 1 证明 42lim1x证 0， 成立，解得 。1x1x2取 于是存在 0 ,有 。,2,2:42故 。4li1x注：一般 的取值要依赖于 ，但它不是由 唯一确定的。在上第 2 页 （共 16 页）例中还可以把 取的更小一些。这取决于函数式放缩的程度。1.1.2

3、趋向 时的函数极限x定义 2：设 为定义在 上的函数， 为定值，若对任给f,aA正数 ，存在正数 (a ), 使得当 时有 。则称MxMxf函数 当 时以 为极限，记作 fxlim或 。fxA A趋向于 时的函数极限的定义与定义 2 相似，只要把定义中x的 改为 即可。M下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法。例 2 证明 =nlim231解析 这是一个关于自变量 n 趋向于无穷大的函数极限，n 相当于定义中的 ，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数x极限。证 ，当 ，2365123nn ,065,n03232n有 ， ，n 19222 1,maxN当 时，有 故 = 。n,231n

4、nlim231利用定义法求函数极限时要注意：（1）在上面的式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便。但要注意这种放大必须要“适度” ，这样才能根据给定的 来1 确定 N，同时要注意此题中的 N 不一定非要是整数，只要是正数即可。（2）函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极第 3 页 （共 16 页）限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律。用定义法求函数极限较麻烦，一般不用。洛比达法则是比较常用的求函数极限的方法。1.2 用洛比达法则求未定式极限我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比形式的极限统称为未定式极限 ，记作 型或 型，其它能化成这两种极限形式的函数20极限也称为未定式极

5、限。对求解未定式极限来讲，洛比达法则是一种便捷而有效的方法。使用时要注意和其它方法结合，使求解过程简洁化。洛比达法则有以下几种形式：1.2.1 型或 型0对于这两种类型的未定式极限，直接用洛比达法则。下面是针对这两种极限形式的洛比达法则。（1） 型未定式函数极限0若当 时， 。 的值存在，0x0,xgf xgfx0lim且为 (可以是无穷大)。 在点 的某空心邻域内 、 都可A0xxf导，且 0 。那么 xg Agffxx00limli（2） 型未定式函数极限若当 时， 。 的值存在0xxgf, xgfx0li且为 (可以是无穷大)。 在点 的某空心邻域内 、 都A0fxg第 4 页 （共 1

6、6 页）可导，且 0。 那么 xg Axgfxf00limli例 3 求极限 x23lim0解析 当 时，分子趋向于 0，分母趋向于 0，这是一个型极限，可直接用洛比达法则。 0解 由洛比达法则， = x23lim02313li0InInxx注：若使用了洛比达法则后，分子分母导数之比依然符合洛比达法则，则可继续使用洛比达法则，直到求出函数极限值为止。例如：。61lim6li31lim0020 xxx eee1.2.2 其它类型的未定式极限其它是类的未定式（1）对于 型的函数极限，要先把这种类型的极限化成 0 0型或 型极限。若 为 ，那么可将 化成xgf0xgf（ ） 或者 （ ） ，然后用洛

7、比达法则求解。xgf10xf1例 4 求极限 Inx2lim0解 用恒等变形， ， 这是一个 型的极限，再用洛xI21比达法则求解。 = .xIn2lim002lim1lili 0200 xxIx（2） 对于 、 、 型的未定式极限，要先对底函数取对数，1第 5 页 （共 16 页）将其化为 型或 型，再用洛比达法则求解。0例 5 求极限 （ ）.xsin0lm0解析 ，对 x 取对数，使函数变为 的形式。i, 0然后利用上题的方法求解。解 = ，其中xsin0l0lxxInesi 0limxInsxI1li0201limx= 故 =e =1。lim0x xxsin0l0在运用洛比达法则时，应

8、该注意以下问题：洛比达法则中的求导是分别对分子和分母求导，而不是对整个式子的求导。倘若最后所得的极限不存在，并不代表函数无极限，可以换用其它方法求函数极限。在运用时要注意洛比达法则所要求的条件。1.3 用代换法求函数极限洛比达法则成功的解决了未定式极限的问题，但有时函数比较复杂，若使用洛比达法则较麻烦，这时可以将函数用其它形式的函数等价代换，化繁为简，这就是用代换法求极限。1.3.1 换用马克劳林公式求函数极限马克劳林公式 ：3132 0!0!0 nnxfxffxfxf 例 6 420sincolimxex解 首先将下列初等函数化成马克劳林公式， = ， 5420!1cosxx2xe54208

9、1x第 6 页 （共 16 页），50sinx代入得 = 。420sincolimxex12012lim4540xx注：在应用马克劳林公式时，要用相同幂次数的 来代换，这x样函数才能化繁为简。1.3.2 利用等价无穷小代换法求函数极限当 时，有下列常用的一组等价无穷小： 0x， ， ， ， ， sintaxarcsinxIn1xex1 ， ， ， 。xco12Ix11n例 7 xInxsicolm20解 这个函数极限用洛比达法则求较复杂，直接用等价无穷小替换，代入得 = 。xInx1sicol20 21lim20x注：只有当因式相乘或相除时才能用等价无穷小代换，若相加或相减时不能随意代换，否则

10、，可能得出错误的结论 。41.4 利用一些变形技巧求函数极限对于连续函数，在应用某些法则时，往往需要先对函数做一些变形，采用怎样的变形，要根据具体的函数确定，常用的变形方法有分子分母有理化法 、添加中介元素法及通分法。51.4.1 分子分母有理化法对于带根式的函数，我们通常将带根式的那一部分进行有理化，消去根号，再求解。第 7 页 （共 16 页）例 8 求 xx13lim0解 ，将分母有理化。01, x= xx13li0 xx 13li0= = =3。xlim20 21.4.2 添加中介元素法有时在函数式中添加一些中介元素，将函数式进行合理变形，再利用一些常见的函数极限，例如： ， 等 。1

11、sinlm0xexxli6可以使求解函数极限变得易如反掌。例 9 求极限 xx3sinlm0分析 利用 ，添加中介元素 。1ix解 = 。xx3sinl031sinlm3sinl00 xx1.4.3 通分法 求解 型极限通常将分母进行通分，以消去分母中的零因子，从而解出函数极限。例 10 求极限 31limxx解析 时， 。这是 型极限。将分31, 母通分，划去分母中的零因子。第 8 页 （共 16 页）解 原式= = =33211limxxx 321limxx211lixx= =21lixx注：要根据函数极限的特征，运用合适的变形技巧。1.5 用夹逼准则求函数极限夹逼准则 ：若 有 且7,0

12、aUx,xhgxf则 。.limlibhxfaabgxli注：在运用夹逼准则时，要对函数式进行合理放缩。例 11 求极限 nnn 22 11li 解 0 ，又 22 n12，01limn故由夹逼准则知 =0。 nnn 22 11lim1.6 运用其它技巧求函数极限“他山之石可以攻玉” ，在求函数极限时，我们还可应用其它章节的知识，将函数极限赋予新的意义，找到新的解题途径。1.6.1 利用定积分的定义求函数极限定义： ，其中 表示被积函数， 是iiTba xfdxf10lmxf x积分变量， 是积分下限， 是积分上限。 是积分区间。如果我bba,们把 区间分成 个小区间。 表示被分割后的某个小区

13、间的长b,nix第 9 页 （共 16 页）度， 。 是在 上任取的一点， 表示其函数1iiixi1,ixif值。当分割细度 T 无限小时， 与区间长度 乘积的总和趋向于ifix在 上的积分。若能将和式函数化为积分形式，则就能利用xfba,定积分来求极限，关键是要仔细观察函数特点 ，确定积分函数和8积分区间。例 12 求极限 nnnn 2si23sii2si1lm解析 这是一个和式极限，由它的形式，我们可联想到定积分的相关知识。 。利用 。2sin,1xfxi dxfnkfn10122lim解 原式= =2.1101 |cosiilmxdkn 1.6.2 利用收敛数列的性质求函数极限若一个数列

14、是正项数列或负项数列，并且它是收敛的。那么它具有如下性质 ：若 ，则 时， 。我们可利用收敛91na0na数列的这个性质解决一些函数极限的问题。例 13 求 nn2!5lim解 令 ， 则 ，那么nna!25lim1na125lien收敛，从而 =0。1n nn2!5li1.6.3 利用积分和求导计算函数极限对于幂级数形式的函数极限，一般用逐项求导和逐项求和的方第 10 页 （共 16 页）法。例 14 求 1321limnnaa 解 令 则 ，考虑级数 。,x1nx，故此级数收敛，且收敛1lili1nann域为 ，令 ，并设,121nnxxS， 那么 1nxf xdtdtf nn 1100，则 ， ),(21