求函数定义域与值域若干方法

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1、1求函数定义域与值域的若干方法 函数定义域与值域的定义给定两个实数集 和 ，若有对应法则 ,使得对 内每一个数，都有唯DMfD一的一个数 与它相对应，则称 是定义在数集 上的函数，数集 称为yf函数 的定义域， 所对应的数 称为 在点 的函数值常记作 ，全体函fxyx)(xf数值的集合 )(),()( MDfDf 称为函数 的值域 .f1.函数的定义域的求法在函数解析式的研究中，必需考虑数值计算是否合理，常遇到的考虑是：（1）对分式：分母不为 0；（2）对偶次根式：被开方式大于 0；（3）对于对数：真数大于 0（底数中若含有自变量时，还要考虑底数大于 0，且底数不等于 1） ；（4）对于三角函

2、数：正弦、余弦函数， xR正切、余切函数， （k 为整数）2余切、余割函数， （k 为整数）（5）对于反三角函数：必须有arcsinarcosyxyx、 1，必须有e、 x如果涉及到几个方面时，就可解不等式组，求出定义域.对于实际问题或几何问题，必须使实际问题或几何问题有意义.1.1 整式函数的定义域整数函数 的定义域为一切实数，例如 =2x+4 和 = 的()yfxy2379x定义域都是一切实数.21.2 分式函数的求法用分式表示的函数 的定义域的求法可以由 解出 值来.即()fxyg()0gx其定义域是使分母的值不为 0 的所有实数.例 1 求函数 的定义域.2415yx分析：函数 是 形

3、式的分式函数 ，因此该函数的定2()fxyg义域为满足 的所有 的取值.215x0解：由 得 ，知 ,所以函数的定0)5(3x5,3x且义域为: (,3)(,),点评：本题关键是了解分式函数的定义域为满足分母不为 0 的所有 的解x集1.3 无理函数的定义域用无理式表示的函数 的定义域的求法：()nyfx（1）当 为奇数，且 表示整式时， 为任何实数；x（2）当 为偶数时，由不等式 解出 的范围.n()0f例 2 求函数 的定义域.53yx分析：无理函数 中 为偶数，因此只需满足 ，2xn2530x解出 为所求.x解：由 解得 或 ，所以函数的定义域为: 2530x312x1(,)点评：函数

4、的定义域为 的所有 的集合.253yx2530xx例 3 求函数 的定义域.13分析：无理函数 的定义域要满足无理函数 与xxy21 1xy都成立，即xy210且3解：由 解得 所以函数的定义域为 : 102xx且 21x21，点评：本题解题的关键是明白满足函数 的所有 应满足函xxy213数 的同时同样也满足 所以函数 的定义域为函13xy 2xy数 与函数 的交集.2xy1.4 对数函数的定义域对数函数 （其中 但 ）的定义域的求法，由不等式log()ayfx0a1解出 的范围.()0fx例 4 求函数 的定义域 .lyx分析：函数 为对数函数 形式，我们知道对数函数gllog()ayfx

5、定义域 其中 ，因此只需解出()0fx()fxl0lg10x解：由 ， ， 得 ，所以函数的定义域为：l0l1x（ 1， +）点评：本题关键是了解 的定义域为 的 取值，所以lg()fx()0f的定义域为 的 的集合.lgyx01.5 三角函数的定义域（1）正弦函数 和与弦函数 的定义域都是一切实数.sinyxcosyx（2）函数 的定义域可由 （ 为整数）解出.ta()f()2fk（3）函数 的定义域可由 （ 为整数）解出.coyxx例 5 求函数 的定义域.tan(1)分析：函数 的定义域可由 （ 为整数）解出，在yfx()2fxk函数 中 ，因此只需解出 即可ta()yx( 1解：由 得

6、 ，所以函数 的定义域为：12k()xkxzy4|1()2xkxz点评：函数 的定义域可由 （ 为整数）解出，由tan(yf()2fxk所以tan()yx)x1x例 6 求函数 的定义域.cot(4y分析：函数 的定义域可由 （ 为整数）解出，在函数)fx()fxk中 ，因此要求原函数定义域只需解出 即可.ct()yx(f 4xk解：由 解得 ，所以函数 的定义域为：4k()4xkzy.|()xkz点评：函数 的定义域可由 （ 为整数）解出，由cot(yfx()fxk所以 .cot()4yx)41.6 反三角函数的定义域（1）反三角函数 的定义域可由 解出.arcsin()yfx()1fx（2

7、）反余弦函数 的定义域可由 解出.o例 7 求函数 的定义域.2lgarcsin(3)xy分析：可以看出分式函数 的定义域应同时满足函数2logarcsin(3)xy与 且分母 ，我们知道反三角函数arcsin(3)yx2logyx0的定义域可由 解出，对数函数 （其中f()1flog()ayfx但 ）的定义域由不等式 解出 的范围，因此原函数的定义域01x只需解出方程组 ， ， 即可3x0解：由 ， ， 知 ，且 ，所以函数的x42x3定义域为： . 24,3|x51.7 幂函数的定义域方幂函数 的指数是无理数或含有变数时，若使这方幂有意义，必须ayx使幂的底数为正.例 8 函数 的定义域为

8、30x例 9 函数 的定义域为2xy1.8 复合函数的定义域设在 中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，则(),()yfugx()fuU()gxX得定义域为 ，即()fgx*X=|,()xx且例 10 设 的定义域为 ，求下列函数的定义域；()fu0,1U(1) ；(2) ；(3) .2(fxlnx()xfe解：（1） ，知定义201101x或域为： ,)(,（2） l ,知定义域为：ln1uxnlxexe(1,e（3） ，知函数定义域为：01xxe0(,0点评：对于以上 3 小题中，原函数 的定义域分别为(1) (2) ()fu2)fx(3) 的内函数 的值域.(ln)fx()xfe2()xl

9、nx(3)xe2.函数值域的求法一般说来，函数的值域受其定义域的制约，几种常见的基本初等函数的值域如下：（1）常数函数 ，值域为一个值 c 的集 即 yc()是 常 数 yc（2）幂函数 （n 为正整数）的值域为：2x0,)（3）指数函数 ，值域为：(0,1)ya(6（4）对数函数 值域为：log(0,1)ayx（ -， +）（5）正弦函数 ，余弦函数 ，值域为：sincosyx1,（6）正切函数 ，余切函数 ，值域为：tayxt()（7）正割函数 ,余割函数 ,值域为：seccysx,求函数值域的基本方法主要有：观察法、三角函数法、反函数法、换元法、配方法、不等式发、判别式法、单调性法、数形

10、结合法.2.1 观察法： 有些函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.如函数 的值域为 .21yx1|02y2.2 三角函数法：利用三角函数的有界性求值域.例 1 求函数 的值域.2sinxy分析：我们可以看出函数 中 可以用 表示，由2sinxyiy可以解出 的取值范围 .sinx解：原函数关于 的方程：sinx113yyy所以函数的值域为： .,3点评：本题关键是用 表示 ，再用 的有界性求 的范围.ysinxsixy2.3 反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域.形如 的函数值域可用此法.cxdyab

11、(0)例 2 求函数 的值域.312分析：函数 是形如 的函数，因此要求其值域只xycxy()a需求其反函数，解出该反函数定义域即为所求.解：去分母的 ， 得 ，即 ， 所以321x3(1)2yx7213()yx再由 得 所以函数 的值域为：01yy(,1)(,)点评：本题也可采用分离变量求解即： .32x132x2.4 换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如 （ 、b、c、d 均为常数，且yaxbca0）的函数常用此法求值域.ab例 3 求函数 的值域.241yx分析：函数 是形如 （ 、b、c、d 均为常yaxbca数，且 0）的函数

12、，我们只需令 用 表示函数ab10tt可以得到 （ ） ，在解出该函数的值域即可 .241yx24y解：设 ， 则 所以 tx2xt24yt得 ,所以值域为： .2()(0),y(,4点评：本题关键是去除函数 的根号，用 再解出21x10tx，即可用 来表示 的函数 .xtx例 4 求函数 的值域.21y分析：通过观察函数的值域我们可以看出 ，即 ，可以考210x1x虑三角代换 得 即可解出原函数cos,0xcosinsi()4y的值域.解：因为 所以 设 ， 则211,xcos,0x,因为 , 所以 , 所以cosinsi()4y054, 所以 ,所以函数值域为： .2i()142sin()

13、121,28点评：本题用代数代换 不能取出根号，考虑21tx用三角代换较易.2101,xx2.5 配方法：二次函数或转化为形如 F(x)= 类的函数的值域问题，均2()afxbfc可以用配方法，而后面的函数要注意 的范围.例 5 求函数 的值域.23yx分析：函数 可以通过配方得到 解除原函数的213()6yx值域.解：因为 , 所以 得值域为： .213()6x23,)1点评：本题关键是将函数 配方 .2yx23()6yx2.6 不等式法： 利用基本不等式： 用此法求函数值域时，32ababca、要注意条件“一正二定三相等”如：利用 求某些函数值域时应满足2三个条件：（1） ；（2） 为定值

14、（3）取等号条件 .三0,或 ab条件缺一不可.例 6 求函数 的值域.139(0)yx分析：由 知 而 为定值，满足不等式法条件，利0x,19x用不等式 ，有 .2abx2.6解： ,而 ,所以 ,所139()yx19x.xmax36y以函数的值域为： .,3例 7 设 ，求函数 的值域.02xsincoyx分析：我们由已知 可知 ，满足不等式法的条件，x0,sx9又由函数 = ， =1 利用不等式sincoyx2sincox22sincox可以得到 .2ab2i 21()解：因为 ， 所以 ，所以 ，又0xsin0,cosxsincoyx0因为 = ，所以函数 y 的值域为：sincoy2sinco221()x.1(0,2点评：原函数用不等式法证明时应首先检验其是否满足条件，如果不满足时不能用不等式法证明.2.7 判别式法：把已知函数解析式经过变形，转化为关于 x 的一元二次方程，因为 x 是实数，所以判别式 ，解此不等式便得到函数的值域.但由于函数本身的特殊0性，还必须对函数本身进行具体分析.应用判别式求函数的值域应当注意，由于函数的变形可能产生值域的扩大或缩小.例 8 求函数 的值域.21xy分析：函数 的定义域为 且可以通过去分母转化为关于 x 的一2xR元二次方程 ，再用判别式法求出函数的值域.2(1)()(1)0yy解：去分母的 ，即2xx2(1)()(1)0yxy