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1、1求函数定义域与值域的若干方法 函数定义域与值域的定义给定两个实数集 和 ,若有对应法则 ,使得对 内每一个数,都有唯DMfD一的一个数 与它相对应,则称 是定义在数集 上的函数,数集 称为yf函数 的定义域, 所对应的数 称为 在点 的函数值常记作 ,全体函fxyx)(xf数值的集合 )(),()( MDfDf 称为函数 的值域 .f1.函数的定义域的求法在函数解析式的研究中,必需考虑数值计算是否合理,常遇到的考虑是:(1)对分式:分母不为 0;(2)对偶次根式:被开方式大于 0;(3)对于对数:真数大于 0(底数中若含有自变量时,还要考虑底数大于 0,且底数不等于 1) ;(4)对于三角函
2、数:正弦、余弦函数, xR正切、余切函数, (k 为整数)2余切、余割函数, (k 为整数)(5)对于反三角函数:必须有arcsinarcosyxyx、 1,必须有e、 x如果涉及到几个方面时,就可解不等式组,求出定义域.对于实际问题或几何问题,必须使实际问题或几何问题有意义.1.1 整式函数的定义域整数函数 的定义域为一切实数,例如 =2x+4 和 = 的()yfxy2379x定义域都是一切实数.21.2 分式函数的求法用分式表示的函数 的定义域的求法可以由 解出 值来.即()fxyg()0gx其定义域是使分母的值不为 0 的所有实数.例 1 求函数 的定义域.2415yx分析:函数 是 形
3、式的分式函数 ,因此该函数的定2()fxyg义域为满足 的所有 的取值.215x0解:由 得 ,知 ,所以函数的定0)5(3x5,3x且义域为: (,3)(,),点评:本题关键是了解分式函数的定义域为满足分母不为 0 的所有 的解x集1.3 无理函数的定义域用无理式表示的函数 的定义域的求法:()nyfx(1)当 为奇数,且 表示整式时, 为任何实数;x(2)当 为偶数时,由不等式 解出 的范围.n()0f例 2 求函数 的定义域.53yx分析:无理函数 中 为偶数,因此只需满足 ,2xn2530x解出 为所求.x解:由 解得 或 ,所以函数的定义域为: 2530x312x1(,)点评:函数
4、的定义域为 的所有 的集合.253yx2530xx例 3 求函数 的定义域.13分析:无理函数 的定义域要满足无理函数 与xxy21 1xy都成立,即xy210且3解:由 解得 所以函数的定义域为 : 102xx且 21x21,点评:本题解题的关键是明白满足函数 的所有 应满足函xxy213数 的同时同样也满足 所以函数 的定义域为函13xy 2xy数 与函数 的交集.2xy1.4 对数函数的定义域对数函数 (其中 但 )的定义域的求法,由不等式log()ayfx0a1解出 的范围.()0fx例 4 求函数 的定义域 .lyx分析:函数 为对数函数 形式,我们知道对数函数gllog()ayfx
5、定义域 其中 ,因此只需解出()0fx()fxl0lg10x解:由 , , 得 ,所以函数的定义域为:l0l1x( 1, +)点评:本题关键是了解 的定义域为 的 取值,所以lg()fx()0f的定义域为 的 的集合.lgyx01.5 三角函数的定义域(1)正弦函数 和与弦函数 的定义域都是一切实数.sinyxcosyx(2)函数 的定义域可由 ( 为整数)解出.ta()f()2fk(3)函数 的定义域可由 ( 为整数)解出.coyxx例 5 求函数 的定义域.tan(1)分析:函数 的定义域可由 ( 为整数)解出,在yfx()2fxk函数 中 ,因此只需解出 即可ta()yx( 1解:由 得
6、 ,所以函数 的定义域为:12k()xkxzy4|1()2xkxz点评:函数 的定义域可由 ( 为整数)解出,由tan(yf()2fxk所以tan()yx)x1x例 6 求函数 的定义域.cot(4y分析:函数 的定义域可由 ( 为整数)解出,在函数)fx()fxk中 ,因此要求原函数定义域只需解出 即可.ct()yx(f 4xk解:由 解得 ,所以函数 的定义域为:4k()4xkzy.|()xkz点评:函数 的定义域可由 ( 为整数)解出,由cot(yfx()fxk所以 .cot()4yx)41.6 反三角函数的定义域(1)反三角函数 的定义域可由 解出.arcsin()yfx()1fx(2
7、)反余弦函数 的定义域可由 解出.o例 7 求函数 的定义域.2lgarcsin(3)xy分析:可以看出分式函数 的定义域应同时满足函数2logarcsin(3)xy与 且分母 ,我们知道反三角函数arcsin(3)yx2logyx0的定义域可由 解出,对数函数 (其中f()1flog()ayfx但 )的定义域由不等式 解出 的范围,因此原函数的定义域01x只需解出方程组 , , 即可3x0解:由 , , 知 ,且 ,所以函数的x42x3定义域为: . 24,3|x51.7 幂函数的定义域方幂函数 的指数是无理数或含有变数时,若使这方幂有意义,必须ayx使幂的底数为正.例 8 函数 的定义域为
8、30x例 9 函数 的定义域为2xy1.8 复合函数的定义域设在 中, 的定义域为 , 的定义域为 ,则(),()yfugx()fuU()gxX得定义域为 ,即()fgx*X=|,()xx且例 10 设 的定义域为 ,求下列函数的定义域;()fu0,1U(1) ;(2) ;(3) .2(fxlnx()xfe解:(1) ,知定义201101x或域为: ,)(,(2) l ,知定义域为:ln1uxnlxexe(1,e(3) ,知函数定义域为:01xxe0(,0点评:对于以上 3 小题中,原函数 的定义域分别为(1) (2) ()fu2)fx(3) 的内函数 的值域.(ln)fx()xfe2()xl
9、nx(3)xe2.函数值域的求法一般说来,函数的值域受其定义域的制约,几种常见的基本初等函数的值域如下:(1)常数函数 ,值域为一个值 c 的集 即 yc()是 常 数 yc(2)幂函数 (n 为正整数)的值域为:2x0,)(3)指数函数 ,值域为:(0,1)ya(6(4)对数函数 值域为:log(0,1)ayx( -, +)(5)正弦函数 ,余弦函数 ,值域为:sincosyx1,(6)正切函数 ,余切函数 ,值域为:tayxt()(7)正割函数 ,余割函数 ,值域为:seccysx,求函数值域的基本方法主要有:观察法、三角函数法、反函数法、换元法、配方法、不等式发、判别式法、单调性法、数形
10、结合法.2.1 观察法: 有些函数的结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.如函数 的值域为 .21yx1|02y2.2 三角函数法:利用三角函数的有界性求值域.例 1 求函数 的值域.2sinxy分析:我们可以看出函数 中 可以用 表示,由2sinxyiy可以解出 的取值范围 .sinx解:原函数关于 的方程:sinx113yyy所以函数的值域为: .,3点评:本题关键是用 表示 ,再用 的有界性求 的范围.ysinxsixy2.3 反函数法:用函数和它的反函数的定义域和值域的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域.形如 的函数值域可用此法.cxdyab
11、(0)例 2 求函数 的值域.312分析:函数 是形如 的函数,因此要求其值域只xycxy()a需求其反函数,解出该反函数定义域即为所求.解:去分母的 , 得 ,即 , 所以321x3(1)2yx7213()yx再由 得 所以函数 的值域为:01yy(,1)(,)点评:本题也可采用分离变量求解即: .32x132x2.4 换元法:运用代数或三角代换,将所给函数转化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.形如 ( 、b、c、d 均为常数,且yaxbca0)的函数常用此法求值域.ab例 3 求函数 的值域.241yx分析:函数 是形如 ( 、b、c、d 均为常yaxbca数,且 0)的函数
12、,我们只需令 用 表示函数ab10tt可以得到 ( ) ,在解出该函数的值域即可 .241yx24y解:设 , 则 所以 tx2xt24yt得 ,所以值域为: .2()(0),y(,4点评:本题关键是去除函数 的根号,用 再解出21x10tx,即可用 来表示 的函数 .xtx例 4 求函数 的值域.21y分析:通过观察函数的值域我们可以看出 ,即 ,可以考210x1x虑三角代换 得 即可解出原函数cos,0xcosinsi()4y的值域.解:因为 所以 设 , 则211,xcos,0x,因为 , 所以 , 所以cosinsi()4y054, 所以 ,所以函数值域为: .2i()142sin()
13、121,28点评:本题用代数代换 不能取出根号,考虑21tx用三角代换较易.2101,xx2.5 配方法:二次函数或转化为形如 F(x)= 类的函数的值域问题,均2()afxbfc可以用配方法,而后面的函数要注意 的范围.例 5 求函数 的值域.23yx分析:函数 可以通过配方得到 解除原函数的213()6yx值域.解:因为 , 所以 得值域为: .213()6x23,)1点评:本题关键是将函数 配方 .2yx23()6yx2.6 不等式法: 利用基本不等式: 用此法求函数值域时,32ababca、要注意条件“一正二定三相等”如:利用 求某些函数值域时应满足2三个条件:(1) ;(2) 为定值
14、(3)取等号条件 .三0,或 ab条件缺一不可.例 6 求函数 的值域.139(0)yx分析:由 知 而 为定值,满足不等式法条件,利0x,19x用不等式 ,有 .2abx2.6解: ,而 ,所以 ,所139()yx19x.xmax36y以函数的值域为: .,3例 7 设 ,求函数 的值域.02xsincoyx分析:我们由已知 可知 ,满足不等式法的条件,x0,sx9又由函数 = , =1 利用不等式sincoyx2sincox22sincox可以得到 .2ab2i 21()解:因为 , 所以 ,所以 ,又0xsin0,cosxsincoyx0因为 = ,所以函数 y 的值域为:sincoy2sinco221()x.1(0,2点评:原函数用不等式法证明时应首先检验其是否满足条件,如果不满足时不能用不等式法证明.2.7 判别式法:把已知函数解析式经过变形,转化为关于 x 的一元二次方程,因为 x 是实数,所以判别式 ,解此不等式便得到函数的值域.但由于函数本身的特殊0性,还必须对函数本身进行具体分析.应用判别式求函数的值域应当注意,由于函数的变形可能产生值域的扩大或缩小.例 8 求函数 的值域.21xy分析:函数 的定义域为 且可以通过去分母转化为关于 x 的一2xR元二次方程 ,再用判别式法求出函数的值域.2(1)()(1)0yy解:去分母的 ,即2xx2(1)()(1)0yxy