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1、1 2020 年高考文科数学模拟试题及答案 （一） （满分 150 分，考试时间120 分钟） 一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1. 已知集合U 1 ，2，3，4，5，6，7 ，A2 ，3，4，5，B2 ，3，6，7，则A?UB A 4 ，5 B1 ，4，5 C6，7 D1 ，6，7 2. 设复数z满足z 32i i (i是虚数单位 ) ，则复数z对应的点位于复平面内 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知ab，|a| 2，|b| 3 且向量 3a2b与kab互相垂直，则k的值为 A 3 2 B.
2、 3 2 C 3 2 D1 4若 cos 12 1 3，则 sin 5 12 A. 1 3 B. 22 3 C 1 3 D 22 3 5. 下列说法中，正确的是 A命题“若 ba ，则122 ba ”的否命题为“若 ba ，则122 ba ” B命题“存在Rx，使得01 2 xx”的否定是：“任意Rx，都有01 2 xx” C若命题“非 p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题 D命题“若0 22 ba，则0ab”的逆命题是真命题 6. 三个数 6log,7.0,6 7.0 67.0 的大小顺序是 A. 7 .0 7.0 6 66log7.0 B. 6log67.0 7 .0 7
3、 .06 C. 67.0 7.0 7.066log D. 7 .06 7.0 67.06log 7. 某学校美术室收藏有6 幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2 幅，现从中随机抽取2 幅进行展览， 则恰好抽到2 幅不同种类的概率为 A. 5 6 B. 4 5 C. 3 4 D. 2 3 8. 下图虚线网格的最小正方形边长为 1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ） 2 A. 4B. 2C. 4 3 D. 9. 函数y= 2 x sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 10. 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab （0,0ab） 的焦距为4， 其与抛物线 2 3 : 3
4、 Eyx交于 ,A B两 点，O为坐标原点，若OAB为正三角形，则C的离心率为 A. 2 2 B. 3 2 C. 2 D. 3 11. 函数 1 12 fx x 的定义域为M,1g xx的定义域为N，则M N A1, B 1 1, 2 C 1 1, 2 D 1 , 2 12已知，则 A B C D 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。） 13. 命题：“ 0 xR，使得 2 00 1 0 4 xx -”的否定是 _ . 14. 在区间（ 0，4）内任取一实数t ，则 2 1(1logt）的概率是 _. 15. 已知ABC中，5AB，7AC， 2 3 ABC ，则该三角形的面
5、积是_. 3 16. 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab的右顶点为 A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点 . 若| |MNb，则C的离心率为 _. 三、解答题（共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答第22、23 为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题（共60 分） 17 （本试题满分12 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2ccos Bb2a. (1) 求角C的大小； (2) 设角A的平分线交BC于D，且AD3，若b2，求ABC的面积 1
6、8. （本试题满分12 分） 为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一 天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动. “从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或 公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、 低碳生活的理念. 某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下： 联合国世界卫生组织于2013 年确定新的年龄分段：44 岁及以下为青年人，45 岁至 59 岁为中年 人， 60 岁及以上为老年人. 用样本估计总体的思想，解决如下问题： （ 1）估计本市一个18 岁以上青年人每月骑车的平均次数； 4
7、 （ 2）若月骑车次数不少于30 次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不 超过 0.001 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？ 0.001 10.828 19 （本试题满分12 分） 如图，在四棱锥 ABCDP 中, 底面ABCD为四边形， ,ACBD BCCD, PDPB, 平面PAC平面 4,30,32,PCPCAACPBD . (1) 求证： PA 平面ABCD； (2) 若四边形 ABCD中， MBCABBAD,120为PC上 一点，且满足2 MC PM ，求三棱锥 PBDM 的体积 20. （本试题满分12 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy
8、 ab ab 的左右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆C上的一点，若 12 PFPF ，122F F，12 F PF 的面积为 1. （1）求椭圆C的方程； （2） 过 2 F 的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点， 若OE OAOB ，求四边形AOBE 面积的最大值. 21. （本试题满分12 分） 已知函数 2 ( )2ln()f xxaxx aR两个极值 1212 ,x xxx点. （ 1）当5a时，求 21 fxfx； （ 2）当 2 2ae e 时，求 21 fxfx的最大值 . （二）选考题（共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 5
9、分。） 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中 , 以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐 标方程为2sin2 cos0aa；直线l的参数方程为 ty tx 2 2 2 2 2 (t 为参数） . 直线l与曲 线C分别交于,M N两点 . （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若点 P的极坐标为 2,，5 2PMPN，求a的值 . 23 选修 45：不等式选讲 （10 分） 已知函数2123.fxxx （ 1）解不等式6fx; （ 2）记fx的最小值是m, 正实数,a b满足2+2ab abm, 求2ab的最小值 .
10、6 参考答案 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7. B 8.B 9. D 10.C 11.B 12.A 二、填空题 13. 21 0 4 xRxx， 14. 1 2 15. 15 3 4 16. 2 3 3 三、解答题 17. 解： (1) 由已知及余弦定理得2c a 2 c 2 b 2 2ac 2ab, 整理得a 2 b 2 c 2 ab, 所以 cos Ca 2 b 2 c 2 2ab ab 2ab 1 2， 又 0C， 所以C2 3 ， 即角C的大小为 2 3 . (2) 由(1) 知C2 3 ，依题意画出图形 在ADC中，ACb2，AD3， 由正弦定理得si
11、n CDA ACsin C AD 2 3 3 2 2 2 ， 又ADC中，C 2 3 ， 所以CDA 4 ， 故CAD 2 3 4 12. 因为AD是角CAB的平分线， 所以CAB 6 ， 所以ABC为等腰三角形，且BCAC2. 所以ABC的面积 S 1 2BC ACsin 2 3 1 2 22 3 2 3 2 . 7 18. （1）估计本市一个18 岁以上青年人每月骑车的平均次数为 . （）根据题意，得出如下列联表 骑行爱好者非骑行爱好者总计 青年人700 100 800 非青年人800 200 1000 总计1500 300 1800 根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.001 的前提
12、下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关. 19证明：设OBDAC，连接PO. ,BDACCDBCO为BD的中点 .又BDPOPDPB,. 平面PAC平面PBD, 平面PAC平面POPBD,BD平面PAC. 又PA平面BDPAPAC,. 在PCA中，由余弦定理得， 4 2 3 32421216302 222 COSACPCACPCPA,2PA ACPAPCACPA, 222 . 又PAOACBD,平面 ABCD (2)由2 MC PM , 可知点 M 到平面 PBD的距离是点C到平面PBD的距离的 3 2 , BCDPPBDCPBDM VVV 3 2 3 2 又PA平面ABCD，点P到平面BCD的
13、距离为PA，由 (1) 得2PA. 在四边形ABCD中，BCABBAD,120, 及 (1)O为BD中点，AOBD, 得ABD为等腰 三角形， 故 2 33 , 2 3 , 3,60COBOBCBAC, 8 则 1133 39 3 2 22224 BCD SBDCO 32 4 39 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 PASVV BCDBCDPPBDM 20. （1）由题设 22 12 4PFPF，12 1 1 2 PFPF， 所以 22 1212 12 2 22 PFPFPFPF PFPF a 2 . 又1c， 所以 22 1bac .C的方程为 2 2 1 2 x y. （2）由题设
14、AB不平行于 x轴，设 AB： 1xmy，联立 2 2 1 2 x y， 得 22 2210mymy. 2 810m， 2 122 21 , 2 mm y y m . 因为 OEOAOB ，所以四边形AOBE为平行四边形， 四边形AOBE面积 12 2 AOB SSyy 2 2 2 2 221 2 2 1 2 1 1 m m m m . 因为 2 2 1 12 1 m m ，当且仅当0m时取等号，于是四边形AOBE面积的最大值为 2 . 21. （1） 2 222 ( )2 xax fxxa xx （0 x） 当5a时， 2 252(21)(2) ( ) xxxx fx xx （0 x） 由
15、( )0fx ，得 1 0 2 x或2x；由 ( )0fx ，得 1 2 2 x ( )f x 在 1 (0) 2 ,及(2,)上单调递增，在 1 (2) 2 ,上单调递减， 1 1 2 x， 2 2x 21 15115 ()()(4102ln 2)(2ln)4ln 2 4224 f xf x 9 （2）( )fx 的两个极值点 1 x， 2 x是 2 22 ( )0 xax fx x 即方程 2 220 xax 的两个根， 12 2 a xx， 12 1x x 又 2 11 220 xax， 2 22 220 xax 2 11 22axx， 2 22 22axx 22 21222111 ()
16、()(2ln)(2ln)f xf xxaxxxaxx 2222 222111 (22)2ln(22)2lnxxxxxx 22 1221 2ln2lnxxxx 22 122 121 2ln xxx x xx 122 211 2ln xxx xxx （ 2 1 1 x x ） 令 2 1 x t x ， 1 ( )2lnh ttt t ，则 22 222 1221(1) ( )10 ttt h t tttt 2 2ae e 12 1 2 a xxe e 2 212 12 ()1 () xx e x x e 即 22 1212 12 21 2 xxx x e x xe 12 21 1xx e xxe 即
