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1、专升本高等数学公式 一、求极限方法： 1、当 x 趋于常数 0 x时的极限： 0 22 00 xx lim(axbxc)axbxc； 0 00 0 0 axbcxd axb lim cxdcxd xx 当 ； 00 00 0 cxd,axb axb lim cxd xx 当但 ； 222 00 2 0 axbx fcxdx e,axbx f lim xx cxdx e 当且 可以约去公因式后再求解。 2、当 x 趋 于常数时的极限： 3、可以使用洛必达发则： 0f (x)f (x)xf(x)g(x) limlim g(x)g (x) xx 当时，与都或 ；对 0 x也同样成立。而且，只 要满足
2、条件，洛必达发则可以多次使用。 二、求导公式： 1、0c；2、 1nn (x)nx；3、 xx (a )a lnx ；4、 xx (e )e ；5、 1 (logx) a xlna 6、 1 (ln x) x ；7、(sin x)cosx；8、(cosx)sin x；9、 2 (tan x)sec x 10、 2 (cot x)csc x；11、(secx)secxtan x；12、(cscx)cscxcot x 13 、 2 1 1 (arcsin x) x ； 14 、 2 1 1 (arccos x) x ； 15 、 2 1 1 (arctan x) x ； 16 、 2 1 1 (a
3、rccot x) x ； 17、(shx)chx； 18 、(chx)shx； 19、 2 (thx)chx； 20、 2 1 1 (arshx) x ；21、 2 1 1 (archx) x ；22、 2 1 1 (arthx) x ； 三、求导法则： ( 以下的 5、7、8 三点供高等数学本科的学员参阅) 1、(u(x)v(x)u (x)v (x)；2、(kv(x)kv (x)； 3、(u(x)v(x)v(x)u (x)v (x)u(x)；4、 2 u(x)u (x)v(x)v (x)u(x) () v(x)v (x) 4、复合函数yf（x）的求导：f =f (u)u (x),u=(x)（
4、 x）其中。 5、莱布尼茨公式： 0 (n )k(nk )(k ) n n (uv)=uv k c 。 6、隐函数求导规则：等式两边同时对x 求导，遇到含有 y 的项，先对 y 求导，再乘以 y 对 x 的导数，得到一个关于y的方程，求出y即可。 7、参数方程 x g(t) y f(t) 的求导： dyf (t) dxg (t) ； 2 2 f (t)f (t) d() d yg (t)g (t) dx dxdx dt ，高阶导数依次类推，分 母总是多一个 dx dt ，这一点和显函数的求导不一样，要注意！ 四、导数应用： 1、单调性的判定：导数大于零，递增；导数小于零，递减。 2、求极值的步
5、骤： 方法一：求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。 方法二：求导、求驻点及使导数不存在的点、判断二阶导在上述点的值的符号，二阶导小于 零，有极大值，二阶导大于零，有极小值。 4、求最值的步骤： 求导、求驻点及使导数不存在的点、 求出上述点处的函数值并进行比较、最大的即是最大值， 最小的是最小值。 5、凸凹的判定：二阶导大于零则为凹；二阶导小于零则是凸。 6、图形描绘步骤： 确定定义域、与x 轴的交点及图形的对称性；求出一阶导、二阶导及各自的根；划分区间 列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点；确定水平及铅直渐近线；根据上述资料描画图 形。 五、积分公式： 1、kdxk
6、xc；2、 1 1 1 xdxxc () ； 3、 1 dx ln x c x ；4、 xx e dx ec ； 5、 1 xx a dxac lna ；6、cosxdxsin xc7、sin xdxcosx c； 8、tan xdxln|cos x| c；9、cot xdxln|sin x| c；10、csc xcot xdxcscx c 11、secxtan xdxsec x c；12、 2 sec xdxtan x c；13、 2 csc xdxcot x c； 14、shxdxchxc；15、chxdxshxc；16、secxdxln |secxtan x | c； 17、cscxdx
7、ln |cscxcot x|c；18、 2 1 1dx arctan x c x ； 19、 2 1 1 dxarcsin x c x ；20、 22 11 0 x dxarctanc,(a) axaa ； 21、 22 11 0 2 ax dxln |c,(a) axaax ；22、 22 1x dxarcsinc a ax ； 23、 2 1arcsinxdxxarcsinxxc；24、 2 1arccosxdxxarccosxxc； 25、 2 1arctanxdxxarctanxlnxc；26、 2 1arccot xdx xarccot x lnxc； 27、udvuvvdu； 六、
8、定积分性质： 1、 bb aa kf(x)dxkf(x)dx；2、 bbb aaa f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 3、 bcb aac f(x)dxf(x)dxf(x)dx；4、 b a dxba；5、 ba f(x)dxf(x)dx ab ； 6、 b a f(x)dxf()(ba),(a,b)； 7、udvuvvdu； 8、 x a (f(t)dt)f(x)；9、 0 2 0 x a f(x)dx a x a f(x)dx 是偶函数 是奇函数 ； 10、 bbb udv(uv) |vdu aa a ；11、 b f(x)dxlimf(x)dx aa b ； 12、 cb f
9、(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dx ac ab ； 七、多元函数 1、N维空间中两点之间的距离公式： 1212,n,n p(x x . x ),Q(yy . y )的距离 2、多元函数zf(x,y)求偏导时， 对谁求偏导， 就意味着其它的变量都暂时看作常量。 比如， z x 表示对 x 求偏导，计算时把y 当作常量，只对x 求导就可以了。 3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即 22 zz x yy x 。 4、多元函数zf(x,y)的全微分公式： zz dzdxdy xy 。 5、复合函数zf(u, v),u(t), v(t)，其导数公式： dzz duz dv
10、 dtu dtv dt 。 6、隐函数 F(x,y)=0的求导公式： X y Fdy dXF ，其中 xy F ,F分别表示对x,y 求偏导数。 7、求多元函数z=f(x , y)极值步骤： 第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y 的值 第二步：求出 000000 xxxyyy f(x ,y )A,f(x ,y )B,f(x ,y )C 第三步：判断AC-B 2 的符号，若 AC-B 2 大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值， 当 A大于零是极小值；若AC-B 2 小于零则无极值；若AC-B 2 等于零则无法判断 8、双重积分的性质： （1）( , )
11、( , ) DD kf x y dkf x y d （2）( , )( , )( , )( , ) DDD f x yg x y df x y dg x y d (3) 12 ( ,)( , )( , ) DDD f x y df x y df x y d (4) 若( , )( , )fx yg x y，则( , )( , ) DD f x y dg x y d （5） D ds，其中 s 为积分区域 D的面积 （6）( ,)mf x yM，则( , ) D msf x y dMs （7）积分中值定理：( , )( , ) D f x y dsf，其中( , )是区域 D中的点 11、双重积
12、分总可以化简为二次积分（先对y，后对 x 的积分或先对x，后对 y 的积 分形式） 22 11 ( )() ()( ) ( , )( ,)( , ) PxPybd DaPxcPy f x y ddxf x y dydyf x y dx，有的积分可以随意选择积分 次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过 积分区域和被积函数来确定 12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分， 就把另外的变量都看成常量， 可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法 八、排列组合及概率公示 1、排列数公式：(1)(2)(1) m nPn nnnm。当
13、m n 时称作 全排列，且其排列总数的计算公式是(1)(2)1n nn，简记作 n! 。 2、组合公式： (1)(2)(1) ! m mn nm m Pn nnnm C Pm 。 特殊的，记1 n n C。另有 mn m nn CC，故记 0 1 n C。 3、互斥事件：不能同时发生的事件。互斥事件A、B中有一个发生的事件记作A+B ，其概率 等于事件 A、B概率之和，即 P（A+B ）P（A）+P（B） 。 相互独立事件：有 A，B两个结果，且 A事件的发生与否与B事件是否发生没有关系。两 个事件同时发生记作AB ，其概率是()( ) ()p ABp A p B。 相互独立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是相互独立事件。 4、n次独立重复试验：设A事件发生的概率是p，则 n 次试验中 A事件发生了 k 次的概率是 ()(1) kknk n p ACpp。
