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1、一般观念的思维引领作用人民教育出版社章建跃在教师培训中，我比较喜欢讨论一些数学教学的一般性问题。例如：数学知识的“体系”的涵义是什么？给出数学定义之前，为什么总是要给一些具体实例？为什么要对数学对象进行分类？分类的标准从哪里来？什么叫性质？如何才能更好地让学生学会发现性质？等等。遗憾的是，许多老师的回应是：“我的任务是要让学生更好地掌握书本上的知识，你说的这些为什么是数学家的事，是教材编写者的事。”“那么怎样才算掌握了呢？”老师的回答是：学生会解题。“这些为什么与学生掌握知识没有关系吗？”老师说：从来没有考虑过。原来如此！难怪学生的数学学习费时费力而效果不佳。这种不问“为什么”的教学，把原本最
2、讲道理的数学搞成了“不讲理的学问”，使原本最容易学的学科变成了最令人惧怕、生厌的学科！那么，到底如何在数学教学中讲这个“理”呢？我认为，关键是要有“一般观念”的引领。首先，数学教材的体系结构遵循了“一定之规”，一般按“背景（实际背景、数学背景）定义（内含、表示）分类（以要素为标准）性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）联系（应用）”的逻辑展开。这个系统具有一般意义，是科学研究的“基本之道”。教师以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是“讲理”的关键之一。其次，有效的数学学习需要两个基本条件：一是好的学习素材，二是有效的研究思路和方法。为学生提供典型而丰富的学习素
3、材，让学生展开独立思考，并在思考的方向和思想方法上作适当引导，是“讲理”的又一关键。关于学习素材，我们已有多次讨论。这里着重谈思路和方法的引导问题。显然，思路与已有知识经验相关。但没有数学思想的知识经验只是一种僵化教条，并不能用来发现新的东西。这里的数学思想，关键是具有普遍意义的一般观念。例如，平面图形中，三角形是最简单的，而圆是最完美的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用。得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到了研究几何图形的一个典范对其他几何对象的研究都可以循着这样的思路展开，同时还得到了一个“工具”，因为我们往往利用三角形的性质去分析其他几何图形的
4、性质。三角形性质的研究思路和方法是：以它的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究。显然，这是一般观念指导下的研究。对于圆，同样可以通过研究它的要素（圆心、半径或直径、弧、弦、圆心角、圆周角）之间的相互联系而获得它的性质。如果用解析几何的方法对圆和三角形进行研究，那么我们就可以得到三角函数的基本性质和三角定律（边角之间稳定的联系）。这里的“一般观念”是：“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接
5、反应。”于是，单位圆上以 A(1,0)为起点作逆时针方向的单位速率运动的动点，其 x， y 坐标是时间 t 的函数，就是余弦函数 cost 和正弦函数sint。自然地，它们的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述。这里，圆的几何性质是学生熟知的，但把它与正弦、余弦函数联系起来，得到关于三角函数性质的研究思路，则是以“它们的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述”为向导的。数学教学的根本任务是发展学生的思维能力，说到底就是要使学生在面对问题时总能想到办法。注重一般观念的思维引领作用，可以提高思维的系统性、结构性，有效克服“做得到但想不到”的尴尬，使数学的发现更具“必然性”，是实现上述育人目标的重要途径。2015-01-16 人教网
