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1、禽流感的地区扩散模型及应急方案【摘要】我们把全部家禽分为易感者、潜伏者、传染者和死亡者 4种类型,分析了它们之间疫病传播的关系,建立了对应的微分方程模型,即高致病性禽流感传播机理的SEID模型，通过对模型进行参数分析，得出了参数在防治禽流感工作中的现实意义。考虑到在SEID模型的假设情况下，最终几乎所有的家禽都死光了，这显然不符合实际情况，我们对此模型做了改进，补充考虑了健康家禽的繁殖率和政府干预致使感染家禽死亡率增加这两个因素。在改进后的模型假设情况下，最终家禽死亡者比例有所降低，健康者趋于一定值，这是比较符合禽流感在实际生活中的传播。以上两个模型均是禽与禽之间的传播，为了说明禽流感对人类的
2、影响，我们进一步建立了禽与人之间病毒传播的模型。在此模型中，为了描述禽流感疫情对人类的影响，我们引入了疫情总指标函数的概念，通过函数的引入，我们简化了诸多因素，建立了一个比较简单的微分方程模型。并利用差分的思想进行了连续函数离散化。由于人类感染禽流感主要是直接接触带病毒的禽类，而人与人之间是不传播的，我们直接用来代替感染者家禽的规模。考虑到已发病的禽类，潜伏期的禽类和死亡的禽类对于人的威胁是不同的，所以我们对此给定不同的权值。以此得到疫情总指标函数.在模型中，我们用时刻的疫情总指标来代替时刻致病家禽的规模，对建立的模型进行定性的分析，我们得到随着禽流感的传播，大部分人都经历了一个由易感者到感染
3、者最后又到移除者转变，最后都变为有免疫的移除者。借助上述模型的建立，我们分析了地方政府的干预行为对疫病扩散的影响,旨在探索遏止疫病蔓延的有效手段。关键词：高致病性禽流感、传播、微分方程、模型、改进模型、应急措施、禽人传播模型一、问题重述与分析最近的甲型流感成为热门话题，因为它的爆发具有全球性。相对的，另一种流感：禽流感更具有威胁性。这种流感被世界卫生组织列为重点监控对象。认为亚洲的东南亚地区，包括我国的广东会成为下次潜在的爆发点。请以广东（或者全球）为考虑的区域，结合禽流感病毒的特性以及人口学等，建立一个禽流感扩散模型，并制定有效应急方案。禽流感是由A型流感病毒引起的一种禽类(家禽和野禽)传染
4、病1它呈世界性地存在和发生,世界动物卫生组织(OIE)将其列为A类动物疾病,我国政府也将其列为一类动物疫病1按照病毒的致病能力,A型禽流感病毒感染家禽可以分为2个不同的类型,即高致病性禽流感和低致病性禽流感。高致病性禽流感通常是由或亚型流感病毒所引起的、禽群死亡率大于70%的流感,高致病性禽流感常可以导致100%的死亡率。具有发病急、传播快、致死率高的特点。许多家禽如鸡、火鸡、珍珠鸡、鹌鹑、鸭、鹅等都可感染发病,其中以火鸡和鸡最为易感,发病率和死亡率都很高,常见的几种家禽中,鸡的发病率为58. 8% ,但如果感染高致病性禽流感病毒,整个鸡群会在2 d内覆灭1鸭的发病率为35. 25% ,可能出
5、现感染病毒后不发病,但一直排毒的情况。禽流感的爆发对养殖业是致命性的打击。二、模型假设根据2004年我国高致病性禽流感疫情以及相关的统计数据,做出以下简化假设:、本模型主要考虑鸡、鸭、鹅3种最常见的家禽,在模型中对这3类家禽不区别看待。不考虑疫病对上面3种家禽以外的动物的传染。禽流感病毒直接感染人类的发生几率很小,已知的发病病例表明感染禽流感的大部分为儿童或老人,还有免疫力和抵抗力较弱且有与病禽密切接触史的,因此也不考虑疫病对人类的传染。、疫点是指病禽所在的禽场(户)或其他的屠宰、经营单位,散养的将病禽所在的自然村作为疫点;疫区是指以疫点为中心,半径3 范围内的区域;受威胁区是指疫区周边5 内
6、的区域。除此之外为非疫区。本模型只考虑疫点和疫区。、在疫病流行期间,疫点和疫区的家禽总数保持不变,既不考虑新出生和自然死亡,也不考虑迁移(输入和输出)的情况。、全部家禽分为易感者 、潜伏者、传染者和死亡者4类。易感者是指对病毒没有免疫力的健康家禽；潜伏者是指已经感染病毒,但尚未发病的家禽；传染者是指已经感染病毒,且已经发病的家禽；死亡者是指发病死亡的家禽。由于高致病性禽流感几乎没有治愈的可能, 因而假定不存在治愈者。t时刻4 类家禽的数量占家禽总数的比例分别记作、和。再记初始时刻( t = 0)易感者、潜伏者、传染者和死亡者的数量分别为、和。、疫病的传播主要通过3个途径：、传染者有效接触易感者
7、，这里的“有效接触”是指足以致病的接触,例如传染者的排泄物对周边环境和水源的污染，以及传染者通过空气传媒对周围易感者的传染；假设每个传染者每天有效接触家禽的平均数量为。、潜伏者有效接触易感者，例如潜伏者的排泄物对周边环境和水源的污染，以及潜伏者通过空气传媒对周围易感者的传染；假设每个潜伏者每天有效接触家禽的平均数量为。、死亡者有效接触易感者，例如死亡者的尸体对周围环境和水源的污染；假设每个死亡者每天有效接触家禽的平均数量为。、易感者有效接触传染者、潜伏者和死亡者，就有可能转化为传染者或潜伏者， 转化为传染者与潜伏者的数量占被有效接触的易感者总数的比例分别为和。、潜伏者在经过潜伏期后会发病,转化
8、为传染者。每天发病的潜伏者的数量占潜伏者总数的比例为，称为转化率。、传染者会在一段时间内死亡。每天死亡的传染者占传染者总数的比例为，称为死亡率。综上所述, 4类家禽之间的转化关系如图一所示。1 图一：四类家禽之间的转化关系三模型的符号说明：表示区域在时刻易感的家禽占该区域家禽总数的比例。：表示区域在时刻潜伏者的家禽占该区域家禽总数的比例。：表示区域在时刻感染的家禽占该区域家禽总数的比例。：表示区域在时刻移除的家禽占该区域家禽总数的比例。：表示区域在时刻家禽的总数。： 表示每个感染者每天有效接触家禽的数量。： 表示每个潜伏者每天平均有效接触家禽的数量。： 表示每个死亡者每天平均有效接触家禽的数量
9、。：表示每天发病的个体占总潜伏者的比例。：表示每天死亡的个体占总感染者的比例，即为死亡率。：表示在有效接触的过程中转化为感染的家禽占总的有效接触的家禽的比例。则转化为潜伏者的概率为。：表示经人工免疫的个体占总数的比例。四、模型的建立与求解4.1、2005年至2007年全球疫情分析。表一：全球主要疫情感染国家的禽流感疫情统计图国家柬埔寨中国吉布提埃及印尼伊拉克泰国土耳其越南阿塞拜疆合计2005感染病例48002005061098死亡病例450013020190432006感染病例21311855331208115死亡病例280104523405792007感染病例15025420008081死亡
10、病例1309370005055合计感染人数7261431173812698294合计死亡人数71601995254245177死亡率100.00%61.54%0.00%44.19%81.20%66.67%62.50%33.33%34.78%62.50%60.20%从以上表格可以看出这三年中禽流感在世界局部地区传播，虽然在人群中发现了人感染禽流感的病例，但主要禽流感的感染对象为禽类。对于禽流感的发病，相应的地区的死亡率会有很大的差别，从上面可以看出吉布提、越南、土耳其的死亡率都在35%以内。相反例如柬埔寨、印尼的死亡率很高，在80%以上。这主要和当地的医疗技术水平和政府干预措施是相关的。从上面我
11、们可以定性的得出结论，在一定的医疗水平和政府的干预措施下，该疫情是可以得到有效地预防和控制的。2从全球总的疫情来看06年疫情是高峰期，全球平均死亡率为60.20%,该表格大致反映了当前的全球面对疫情所表现出来的总体形势。总体的感染病例和死亡病例呈现出了先增长，然后下降的态势。说明人们随着对疫情的了解，采取相应的应急措施，疫情初步得到了控制。4.2、禽流感在禽类中流行传播的微分方程模型。在该模型中，我们考虑模型中有易感者、感染者、移出者、潜伏者四部分组成，即由假设（4）显然有： （1）由于该种病毒的传染性极高，我们考虑，对于每次的有效接触，使得其转化为致病者的比例为有效接触数的倍，转化为潜伏者的
12、比例为其总数的。其中每个感染者每天有效接触数为，每个潜伏者每天的有效接触数为。故满足如下微分方程： （2）对于潜伏者其一部分转化为感染者，其中每天发病的个体占潜伏者的比例为；同时也会有易感者转化而来，易感者每天转化而来的量，由可知为，故可得： （3）对于感染者可由潜伏者和易感者转化而来，由上面的内容可知易感者转化为感染者的数量为，潜伏者转化为感染者的数量为，感染者转化为移除者,即表示致死的数量为，故可有如下微分方程： （4） 对于那些感染致死的个体有如下微分方程： （5）由于不能获得一次禽流感爆发中不同时期家禽感染数量的确切统计数字,这里只能依照现有对疫情的了解,假设数据进行数值计算。设初始状
13、态易感者、感染者、潜伏者、死亡者的比例分别为： 初始的总群体数量为。设感染者、潜伏者、死亡者的有效接触数量分别为：，设有效接触的过程中转化为感染的家禽占总的有效接触的家禽的比例为：。该模型可化为如下： （6）4.3、模型求解及参数分析。4.3.1、模型的求解根据上述假定的参数值，我们运用编程对模型求解，画出各个变量随时间的变化图如下： 图二：模型中各变量随时间变化情况从图二可以看出:（1）由初值单调减少,至t = 3时已经接近于零。事实上,从方程( 2)可以看出,， 因此s ( t)单调减少, 又s ( t) 0有界,于是存在,由图三可以看出=0.（2）由初值增长至t = 2时达到最大值,然后
14、减少趋向于零。由方程（3），当，即时, e ( t)达到最大值。也就是说,当新增潜伏者的数量等于转化成传染者的潜伏者的数量时, 潜伏者的数量最多。（3）i ( t)由初值增长至t = 2时达到最大值,然后减少趋向于零。i ( t)的情况与e ( t)相似,由方程( 4)可知,当时, i ( t)达到最大值。（4）d ( t)由初值单调增长,开始时增长速度加快,至t46时有一拐点, 此后增长速度减慢, 趋向于1。由方程(5) ，并且由前面分析, i ( t)先增加后减少, 因此也先增加后减少,即d ( t)先上凸而后下凸, 拐点满足等式。上面的分析说明,在模型假设的情况下,易感者的数量持续下降,到第3 d已经接近于零,潜伏者和传染者的数量都是先增加再减少,在第2 d达到峰值,此后逐渐递减到零,而死亡者的数量一直增加,增加速度先加快后减慢,最终几乎所有的家禽都死亡了。4.3.2、参数分析由于模型缺少实际数据,参数的值无法估计,因此只能定性地分析参数的作用。4.3.2.1、对参数的讨论当从2时，增大为
