观测误差与误差传播律课件

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1、1观测误差与误差传播律,观测就有误差。例如对某未知量（角度、边长、高差）进行重复观测（多余观测）两次以上，会发现互有差异，观测误差是不可避免的。测量平差就是以包含误差的观测数据为研究对象，探索所含误差的规律，从而采取一定的数学手段消除或减弱其影响，以得到未知量的最优估值。本章主要从观测误差的统计规律入手，引出测量中常用的“精度”概念，详细讨论测量平差中的最基本公式误差传播律，给出其在测量中的应用实例，同时给出权的定义以及常用的定权方法。,1.1 观测误差与测量平差的任务 1.1.1 误差来源（观测条件、主要来源） 产生观测误差的原因很多，主要有以下三个方面： 1.测量仪器 2.观测者 3.外界

2、条件,1.1.2 观测误差的分类 根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为粗差、系统误差和偶然误差三类。 1.粗差 粗差是一种大数量级的观测误差，是离群误差，超限的观测值中往往含有粗差。 粗差产生的原因较多，主要是作业员疏忽大意或失职而引起的，如大数被读错、读数被记错等。 在观测中应尽可能避免出现粗差。行之有效的防止和发现粗差的方法有：1)进行必要的重复观测即多余观测；2)采用必要而又严格的检核、验算方式；3)遵守国家测绘机构制定的各类测量规范和细则，一般也能起到防止粗差的作用。 经典测量平差不考虑粗差，含有粗差的观测值不能采用，一旦发现，该观测值必须舍弃或重测。 近代平差采用抗差估

3、计，即粗差定位与剔除。,2.系统误差 在相同的观测条件下作一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么这种误差就称为系统误差。 角度观测中的2c、指标差；边长观测中的尺长改正数；高差观测中的i角 系统误差一般具有累积的作用，它对成果质量的影响也特别显著。在实际工作中，应该采用各种方法来消除系统误差，或者减弱其对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。一种方法是利用科学的操作程序，例如在进行水准测量时，使前后视距相等，以消除视准轴与水准管轴不平行对观测高差所引起的系统误差；另一种方法是利用公式改正，如对量距用的钢尺预先进行检定，求出

4、尺长误差的大小，然后对所量的距离进行尺长改正，以消除由尺长误差引起的量距系统误差。 经典测量平差中不考虑系统误差 近代平差中采用附加系统参数的平差等方法,3.偶然误差 在相同的观测条件下作一系列观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，其大小和符号没有规律，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。 举例： 粗差、系统误差和偶然误差在观测过程中总是同时产生的。当消除或减弱了系统误差、发现并剔除粗差以后，偶然误差就居于主导地位，此时的误差为随机变量，观测误差呈现出偶然的性质。但是偶然误差是不可避免的，如何处理这些只带有偶然误差的观测值（随机变量），是本课

5、程经典测量平差部分所要研究的基础内容，换言之，经典测量平差只研究偶然误差。如果观测值中除偶然误差外，还包含系统误差甚至粗差，这时的数据处理就有一些难度，一般认为属于近代测量平差的范畴。,1.1.3 测量平差的任务 对某个量进行了n 次观测，多测的n-1次，称为多余观测。 多余观测是测量平差的基础，没有多余观测就没有测量平差。通过多余观测必然会发现观测结果之间的不一致，或不符合应有关系而产生的不符值，通过平差数据处理使得观测模型符合数学模型。 多余观测的目的：为了及时检查和发现有无粗差存在，提高成果的质量。例如角度、边长、高差观测。 测量平差的两大任务：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评

6、定观测成果的质量。 在设法消除系统误差、粗差影响的条件下，其基本任务是求待定量的最优估值和评定其精度。人们把这一数据处理的整个过程叫做“测量平差”。测量平差理论是数理统计理论的分支。,1.2 偶然误差的统计性质 经典测量平差就是对一系列只带有偶然误差的观测值进行数据处理。因此首先要对偶然误差的性质进行研究，找出它们对观测值的影响规律。偶然误差是一种随机变量，总体来说具有一定的统计规律。从概率论与数理统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，其数学期望就是它的真值。 设进行了n次观测，得观测值为L1、L2、Ln。假定观测量的真值为 ，由于各观测值都带有误差，有 式左称为真误差，有时简称为误差，其性质

7、为偶然误差。 用矩阵形式表示：,那么偶然误差的统计规律到底怎样呢？我们从无数的测量实践中也发现：在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布确实表现出一定的统计规律性。下面通过实例来说明这种规律性。 例：在某测区，在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，求得358个三角形的闭合差。由于观测值带有误差，故三内角观测值之和不等于其真值180o，闭合差也就是三角形内角和的真误差 (il，2，358) 现将误差出现的范围分为若干相等的小区间，取区间的间隔d为0.20，将这一组误差按其正负号与绝对值的大小，分别统计其出现在某区间内的个数 ，以及误差出现在某区间内的频率 (此处n=358)，其结果

8、列于表1-1中。,表1-1 某测区358个真误差分布情况,频率,个数,从表1-1可以看出，误差的分布情况具有以下特点：1.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的个数多；2.绝对值相等的正、负误差出现的个数相近；3.误差的绝对值不会超过一定的限值（如这里的1.60）。 为了便于对误差分布进行分析和比较，现将另一测区421个三角形内角和的真误差，按上述方法作了统计，其结果列于表1-2。 表1-2中所列的一组真误差，尽管其观测条件不同于表1-1，但也可以看出相似的分布特点。因而，表1-2中的误差分布情况与表1-1内的误差分布情况具有本质上的相同。,表1-2 另一测区421个真误差分布情况,图1-1

9、,图1-2,在n的情况下，把误差区间间隔无限缩小，则可想象到，图1-1及图1-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图1-3所示的两条光滑的曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线，曲线所对应的函数称为概率密度函数。经验证明，偶然误差的频率分布，随着n的逐渐增大，都是以正态分布为其极限的，正态分布是它们的理论分布。 图1-3,通过以上讨论，我们得到偶然误差的4个特性： 1.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；（有界性） 2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；（密集性） 3.绝对值相等的正负误差出现的概率相

10、同；（对称性） 4.偶然误差的数学期望为零。（抵偿性） 由于数学期望的含义就是理论均值，所以换句话说，偶然误差的理论平均值为零。,根据数理统计知识，服从正态分布的随机变量X的概率密度函数为 可写出随机变量的概率密度式为 当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。该曲线关于纵轴左右对称。当中误差不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。例如，图1-3中就是不相等时的两条误差分布曲线。由上述讨论可知，偶然误差是服从N(0, 2)分布的随机变量。,1.3 衡量精度的指标 为了阐述精度的含义，先分析上节中的两个实例。表1-1和表1-2是在不同的观测条件下所得的两组误差的频率分布。

11、如果将表1-1中上三行的正负区间出现频率相加，即得误差出现于-0.60+0.60区间内的频率为0.665，即在表1-1的这组误差中，出现于-0.60+0.60区间内的误差占误差总数的66.5；而绝对值大于0.6的误差，其频率为1-0.6650.335，即占误差总数的33.5。如果对表1-2的误差也如此统计，即知出现在-0.60+0.60区间内的误差占误差总数的49.2，而出现于这一区间以外的误差占总数的50.8。 上述数字说明，表1-1中的误差更集中于其理论均值零的附近，因此这一组误差分布得较为密集，或者说它的离散度小，表明该组观测值精度较高；相对而言，表1-2中的误差分布的较为离散，则表示该

12、组观测值精度较低。因此表1-2中观测值的精度均低于表1-1中的观测值。,从直方图来看，误差分布较为密集的图1-1，其图形在纵轴附近的峰值较高，各长方条构成的阶梯比较陡峭；而误差分布较为离散的图1-2，在纵轴附近的峰值则较低，其阶梯平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线（图1-3）的形态上，即误差分布曲线(I)高而陡峭，而()则低而平缓。 以上阐述还可用“打靶”实验来说明，打靶可以看成是用枪对靶心进行“观测”。如图1-4，甲、乙二人分别对靶心射击，其弹着点分别用“.”和“o”表示。可见甲的弹着点分布密集，因此精度较高；而乙的弹着点分布较离散，精度就较低。这里特别强调，精度是衡量一组观测值集中程度的

13、指标。对于图1-5的情形，丙射击的弹着点（“”）也非常集中，从其密集程度看，说明其射击水平是较高的。至于弹着点的平均位置距靶心较远，则一定是某些因素影响（如准星偏）而产生的系统误差。,图1-4 图1-5,所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，也就是指离散度的大小。离散度越小，则精度越高。如果两组观测成果的离散程度相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。 在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。例如，表1-1中所列的358个观测结果是在相同观测条件下测得的，各个结果的真误差彼此

14、并不相等，但是由于它们所对应的误差分布相同，因此这些观测值彼此是同精度的。 为了衡量观测值的精度高低，当然可以用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。但在实际工作中，这样做比较麻烦，有时甚至很困难，因此人们需要对精度有一个数字的概念。这种具体的数字应该能够反映误差分布的离散度的大小，即应能够反映观测精度的高低，因此称为衡量精度的指标。下面介绍我国常用的3个精度指标。,1.3.1 方差和中误差 随机变量的方差： 误差也是随机变量，则得偶然误差的方差为 ： 因而中误差为：,我们已经知道，不同的将对应着不同形状的分布曲线，同时正态分布曲线具有两个拐点（见图1-6），它们在横轴上的

15、坐标为x，为变量的数学期望。对于偶然误差而言，其数学期望E()0，所以拐点在横轴上的坐标应为 拐 由图可见，愈小，曲线愈为陡峭，误差分布越密集；愈大，则曲线愈为平缓，误差分布越离散。即的大小可以反映精度的高低，故常用中误差作为衡量精度的指标。 方差为真误差平方（2）的数学期望，也就是2的理论平均值。方差和中误差分别为：,实际工作中观测次数n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估(计)值。即 这就是根据一组同精度真误差计算方差和中误差估值的公式。 从式看出，小误差出现得越多，越小，精度就越高。如果有一个真误差显著大时，也会有较大增长，即中误差能够灵敏地反映较大真误差的影响。因

16、此我国及许多其它国家在测量中都采用中误差作为衡量精度的指标。 由于测量中观测次数总是有限的，只能求得方差和中误差的估值，因此在本书以后的叙述中，一般不再强调“估值”的概念，一律简称为“方差”或“中误差” 。,例1-1 设某一角度，用两台经纬仪各观测了9次，其观测值列于表1-3中。该角已用精密经纬仪预先精确测定，其值为50o3354.1。由于非常准确，在此看成该角的真值。试分别求出两台经纬仪的观测值的中误差并比较精度高低。 解：计算过程见表1-3。可见，用第一台经纬仪所得的观测值，其中误差为1.8；用第二台经纬仪所得的观测值，其中误差为2.8。因为12，故第一台经纬仪所得观测值的精度比第二台的高。,表1-3 两台经纬仪观测值及其中误差计算表,中误差作为度量观测精度的“尺子”，在测量规范中形成各种各样的精度控制指标。 规范规定： 一、二、三、四等三角测量的测角中误差分别不得大于0.7 、1.0 、1.8 、2.5； 二、三、四等水准测量每公里高差中数偶然