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1、提高课堂效率的有效途径之一谈数学教师的“基本功”,刘国强 （2014.10.16）,辽宁省孙燕鹏小学数学名师工作室的启示,前瞻性 示范性 研究性 专业性 实效性 延续性,数学教师的“三项基本功”,1.善于举例； 2.善于提问； 3.善于比较与优化。,一、“善于举例”与数学教学,从“什么是数学”谈起？ 一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：the science of patterns） 数学所反映的并不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。,具体结论,“善于举例”的两个涵义： （1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？ （2）如何能够帮
2、助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？,1.什么是“适当的例子”？,标准之一：相对于学生的可接受性； 标准之二：典型性，即是能为相应的数学抽象提供必要的基础。 这方面的一个基本事实：举例并非一件易事。,例1 “范例教学法”（R. Davis),为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装有豆子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。 教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这样一个算式。 教师接着提问：（1） 现在口袋里的豆子与一开始相比是变多还是变少了？（2） 少了多少
3、？ ,相关的分析,这些实物和动作对于学生来说都是十分熟悉的。 与纯粹的“推门砖”不同，这一实例在此并可说起到了“认知基础”的作用：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则。这也就是指，借助于这一实例学生即可顺利地作出相应的发现。如借助所说的实例学生显然就可顺利地实行 4 - 10、5 8等运算，而无须依赖对相应法则的机械记忆。,2.如何帮助学生由实例抽象出相应的数学概念？,关键：去情境。 这方面的一个重要手段：比较。 这事实上也可被看成数学中的“分类”的一个基本意义。,例2 自然数的认识,我们应当如何对这样一些图片进行分类：它们分别是摆在一起的2个苹果、3个苹果、2个橘子、3个橘子
4、，2个梨、3个梨，,例3 “圆的认识”的教学,教师在教学中是否有必要同时提及多种不同的画圆方法，如圆规画圆、体育教师以自己为中心绕圈画圆、以及利用绳子在黑板上画圆，等等。,例4 “认识分数”与变式,引入：“分蛋糕”。教师并通过简短讨论引出了这样一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。” 问题：如何以“变式理论”为指导设计教学从而帮助学生较好掌握分数的本质？,（1） 分割的对象显然未必一定要是蛋糕，而也可以是纸片或别的什么东西；对于分割对象的外形我们也不应作任何限制：它们既可以是圆形，也可是方形或任何其它形状。,（2）对分割方法也可作出一定变化。如就长方形纸片的分割而言，可以横着折
5、，也可以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个“正例”以外，我们也应引入一定的“反例”，如按照中位线分割的梯形等 。,（3）作为进一步的抽象，我们又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，乃至2/3，3/4，。如果仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述，这也就是指，除去分割的对象与方法以外，我们也应对“平均分成两份”中的“两份”以及所说的“每份”作出适当变化。,（4）这事实上也可被看成“非标准变式”的一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕容易看出，这一变化事实上就意味着我们已经将分析的着眼点由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体之间的
6、关系，后者并就意味着对于分数本质更为深入的认识。,例5 “认识方程”与变式理论,教学中的常态：人们已经普遍地认识到了这样一点，即在“认识方程”的教学中我们必须同时引入一定的正例和反例，从而帮助学生很好掌握方程的概念，特别是这样两个要素：（1）含有求知数；（2）是一个等式。,相关的练习,具体判断以下一些式子是否为方程： 6+x=14, x3=20, 60-48=12, 8+x, y-28=35, 5y+320,应有的思考,但是，我们在此是否也应有意识地去引入一些“非标准变式”？就方程的认识而言，我们又应引入哪些“非标准变式”？,（1）我们不仅应当将4x+7 = 35变形为4y+7 = 35，而且
7、也可使用一些更为复杂的符号表达式、乃至基本些的特殊的符号：如将4x+7 = 35变形为4（2r+1）+7 = 35，以及4*+7=35，等等。,一些相关的问题,“学生能顺利辨认方程就是认识方程了吗？” “学生能流利地说出方程的定义就是理解方程了吗？”（引自吴正宪老师的相关报告） 核心：“淡化形式，注重实质。”（陈重穆）,（2）除去上面所提到的各个例子以外，我们还应有意识地引入另外一些“变式”，如6=14-3x，6+x=14-7x，25+x= y-28，等等。 关键：借此即可促进学生由“程序性观点”向“结构性观念”的转变，后者正是“方程方法”的核心。,一个相关的事实,学生在实际求解方程的过程中何
8、以会经常出现如下的“规律性错误”： 如在求解3x-13=5时，学生往往会写出如下的算式： 3x-13=5 =5+13 =18 =183 =6， ,小结：如何帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？,关键：通过适当的变化与比较帮助学生掌握相关概念的本质。,新的重要发展：由“变式理论”到“多元表征理论”,传统的研究：主要集中于如何帮助学生很好地掌握概念的本质（单一性）。 新的认识：更加强调概念内在表征的多元性，以及各方面的必要互补与思维的灵活性,一些相关的提法,布鲁纳（1964）的三种形式：动作的、图像的，和符号的； Lesh & Laudan（1983）的“五个维度”：实物操作，图像，日常语言，
9、符号语言、现实情景。,3.具体的教学建议,（1）形象化描述与符号表征的必要互补： 我们在教学中不仅应当高度重视学生的实际操作与情境设置，还应重视适当的举例，语言说明（表述，比喻，感受，给出自己的定义等）与图象表示（概念的视觉化）等多个方面。,（2）日常语言与数学语言的必要互补,教学中不应停留于严格的数学语言，而应高度重视如何能用日常语言对相关内容作出解释，包括要求学生用自己的语言说出对数学概念的理解，甚至是感受。 关键：我们既应对学生的非正规解释持接受与理解的态度，同时又应注意维护数学的正式意义。,例6 正方形的认识,教师：“什么是正方形？” 学生：“方方正正就是正方形。” 教师：“什么是方方
10、正正？” 学生：“就是四边相等。” 教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？” 学生：“不是，因为它不正。”,教师又在黑板上画一个长方形，问：“这是否正方形？” 学生：“不是！因为这个图形不方。” 教师将学生回答得正确的结论写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。,（3）操作性认识与结构性认识的必要互补,当前应当特别加强的环节：由“操作性认识”向“结构性认识”的必要过渡。 相关的论述：“对概念教学，课改以后更为强调概念的生成，这是正确的。但不能忽视对概念本身的分析，这可是基本功。”（陈永明，2008）,更为一般的分析,概念教学的不同环节：（概念的）生成、分
11、析与组织。 相关的论述：“为了理解一个概念，一般说，一是正反举例；二是扣住定义的关键词语；三是注意特殊情况；四是与有关概念进行比较，找出概念的区别和联系。” （陈永明，2008）,相关的经验,“我提倡一题一课，一课多题一节数学课做一道题目，以一道题为例子讲解、变化、延伸、拓展，通过师生互动、探讨、尝试、修正，最后真正学到的是很多题的知识。”（李成良，2010）,小结：更为一般的主张,“双基教学”的必要发展： 基本技能，不应求全，而应求变； 基础知识，不应求全，而应求联。,二、“善于提问”与数学教学,1 . “问题”对于数学和数学教学的特殊重要性。 （1）“问题”可以被看成数学研究活动的实际出发
12、点。 数学发展的基本模式： 问题问题解决新的研究问题,每个数学分支并都具有自己特殊的基本问题，相应的理论正是围绕这些问题得到建立的。 结论：对于问题的很好掌握事实上即应被看成数学学习的一项重要内涵。 “问题”的正确理解：这不应被等同于现实问题，而且，即使就后者而言，也应对此作出必要的抽象，从而使之成为“数学问题”。,（2）从教学的角度看,这也是教学活动能否实现“双中心”的关键。 中国数学教学的一项优秀传统：“教师试图获得一种平衡，教学也就变得既以学生为中心又以教师为中心。”（ 马飞龙， “什么是好的教学？”，人民教育，2009年第8期）,国际上的相关研究,“那些自认为绝对真理的建议，无论认为教
13、学应当完全以学生为中心，还是认为教学应当完全由教师主导，都得不到研究的支持，因此不应当遵循。采取何种教学方法应当根据具体情况来决定。”（美国数学咨询委员会最终报告）,进一步的思考,教学中如何才能真正做到既尊重学生在学习活动中的主体作用，同时又能充分发挥教师的主导作用？,新的实践,“学校想了个办法：让教师写教学内容问题化教案。” “教学内容问题化教案是让老师知道自己该教什么，让学生知道自己想学什么。老师和学生都应以问题为中心进行双向的互动，实现双主体的双互动。”,思考与启示,究竟什么是真正实现“双主体的双互动”的关键所在？ 可能的结论：问题引领！,问题的严重性和紧迫性,这正是我国数学教育特别薄弱
14、的一个环节，即学生提出问题的能力较差。 应当肯定的做法：“2011版课标”中由“双能”到“四能”的发展。,应有的认识,与“解决问题能力”的培养一样，学生“提出问题能力”的提高主要地也依赖于后天的学习，教师更应在这一方面发展重要的示范作用，这也就是指，如果教师本身不善于提出问题，我们显然就很难期望学生在这方面能有较大的提高。,小结,“善于提问”确应被看成数学教师又一项重要的基本功。,2.现状与对策,现实中的问题：重视课堂提问是中国数学教学的一个重要特色；但在现实中却又普遍存在“问题”多而不精的弊病。 问题：我们应当如何去加以改进？,一项相关的研究（黄爱华）,“即使在倡导以学生为主体的以学定教、先
15、学后教理念引领下的课堂，问题繁、杂、小、碎的现象仍然没有改变，中小学课堂，必须改变目前课堂教学满堂灌、满堂问的教学模式。”（“以大问题为导向的小学数学课堂教学实践与探索”，小学数学教师，2013年第1-2期 ）,判断问题“好坏”的标准之一,我们究竟应当如何去判别问题的“好”与“坏”？ （1）“好的问题”应当具有明显的“引领作用”，这也就是指，我们在教学中不应面面俱到，而应始终突出相应的重要问题和基本问题,具体分析（1）,所谓“重要问题”，在此主要是针对教学内容进行分析的。 相关的论述：“找准了大问题，就意味着教者抓住了课堂的课眼，纲举目必张。”（黄爱华等，同前）,例7 “百分数的意义”的教学（
16、黄爱华）,教学中教师首先要求学生自由地提出各种与百分数直接相关的问题；但与“放任自流”不同，教师通过对学生提出的问题进行梳理归纳出了以下几个问题：,问题1：什么是百分数的意义？ 问题2：百分数有什么好处？ 问题3：在什么情况下用百分数？ 问题4：百分数与分数比较有什么不同？,进一步的建议,我们并应跳出每一节课具体内容的束缚，从更大的范围去进行思考。 回顾：每个数学分支都有自己特殊的基本问题，相应的理论正是围绕这些问题得到建立的。 结论：只有视角大，才能真正找准“大问题”。,具体分析（2）,相对于教学内容的把握而言，这里所说的“基本问题”更为直接地涉及到了数学教育的长期目标，这也就是指，为了实现相应的目标，我们在教学中究竟应当始终突出哪些问题？,从教学的角度看,相应的基本问题： （1）什么？（what） “现在在干什么？”或“准备干什么？”） （2）为什么？ ？”（why）（“为什么要这样作？”）“ （3）如何？ ？”（how）（“这样作了的实际效果如何？”）,从教学的角度看,相应的基本问题： （1）如何能对所得出的结论进行证明，包括作出必要的推广？ （2）我们
