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1、第三章 简单随机抽样,2,本章要点,简单随机抽样是抽样中最基本、最成熟、也 是最简单的抽样设计方式，是所有概率抽样方法 发展、比较的基础。 要求熟练掌握简单随机抽样的抽样方式和样本抽选方法； 熟知总体均值、总体总值和总体比例的简 单估计； 掌握样本量的确定。,3,从三皇五帝时的黄帝算起，直到1911年清王朝灭亡，中国经历了数千年的漫长历史时期，在这漫长的历史长河之中，先后经历了83个王朝，出现了559位帝王。在封建皇朝，臣下叩见皇帝时，先要三呼万岁，这万岁二字，等于是皇帝的尊称，其实真是莫大的讽刺。有史以来，皇帝总是要比普通人短命得多，而且大都是开国的皇帝比较长寿，越到后来，就越是短命。 研究
2、目的：为了估计我国历史上的这559位 帝王的平均寿命,拟采用简单随机抽样方式 从历代帝王中抽选三十位作为样本。 问题1：如何实现简单随机抽样？ 问题2：如何做出具有一定可靠程度的区间估计？,帝王寿命的抽样估计,4,第一节 抽样方式,5,简单随机抽样也称纯随机抽样。 （Simple Random Sampling) 对于容量为N的总体，抽取样本量为n的样本，若全部可能的样本被抽中的概率都相等，则称这样的抽样为简单随机抽样。,一、什么是简单随机抽样,例：从全班100名学生中选出10人作为代表参加座谈会， 将每个学生的姓名写在同样质地、同样大小的纸条上，投入一个纸箱中充分混合均匀。然后从纸箱中一张接
3、一张共抽出10张纸条。这10张纸条和其他任何10张纸条，被抽中的机会都一样。,6,根据抽样单位是否放回可分为 放回简单随机抽样（重复抽样） 不放回简单随机抽样（不重复抽样）,7,（一）放回简单随机抽样（重复抽样）,重复抽样一般是考虑样本单位的顺序的， 可能的样本为 个，每个样本被抽中的概率 为,随机抽取 样本单位,调查 观测,放回 总体,继续随 机抽取,特点：每次抽取都是从N个总体单位中抽取， 同一个单位有可能在同一个样本中重复出现,8,例：用重复抽样方法（考虑顺序） 从5个人（年龄为34，38，42，46，50岁）中随机抽取2人构成样本, 样本个数为 个，如下: （34,34） （34,38
4、） （34,42） （34,46） （34,50） （38,34） （38,38） （38,42） （38,46） （38,50） （42,34） （42,38） （42,42） （42,46） （42,50） （46,34） （46,38） （46,42） （46,46） （46,50） （50,34） （50,38） （50,42） （50,46） （50,50） 每个样本被抽中的概率都是1/25,52=25,9,（二）不放回简单随机抽样（不重复抽样）,不重复抽样一般是不考虑样本单位顺序的。 样本个数： 每个样本被抽中的概率为 。,随机抽取 样本单位,调查 观测,继续抽 取下一个,特点：即
5、同一个单位不能在样本中重复出现。,10,例：用不重复抽样方法（不考虑顺序） 从5个人（年龄为34，38，42，46，50岁）中随机抽取2人构成样本共 个样本。所有可能样本为：,每个样本被抽中的概率都是1/10,（34,38） （34,42） （34,46） （34,50） （38,42） （38,46） （38,50） （42,46） （42,50） （46,50）,11,实践中一般多采用不放回简单随机抽样（不考虑顺序），以下讨论如无特别说明，都指这一类简单随机抽样。,由于在重复抽样中一个单位有可能在一套样本中重复多次出现，造成信息的重复，因此， 在样本量一定的条件下，不放回抽样提供的信息量大
6、于放回抽样，其抽样效率更高。,12,二、简单随机样本的抽选方法,首先要将总体 N 个单位从1到 N 编号，每个单位对应一个号； 然后从所编的号中随机抽号，如果抽到某个号，则对应的那个单位入样，直到抽够 n 个单位为止。 具体方法： （一）抽签法 （二）随机数法,13,（一）抽签法,当总体不大时采用。用同质均匀的材料制作N个签，并充分混合。,按这两种方法抽到的n个单位的样本是等价的， 每个样本被抽到的概率都等于,全样本抽选法,逐个抽选法,一次抽取一个签但不放回，接着抽下一个签，直到抽够n个签为止，签上号码所对应的单位入样,从N个签中一次抽取n个，这n个签上的号码即为入样的单位号码,方法,14,随
7、机数法,利用随机数表进行抽选,利用随机数骰子进行抽选,利用摇奖机进行抽选,利用计算机产生的伪随机数进行抽选,（二）随机数法,当总体较大时采用。,15,1、利用随机数表进行抽选。 随机数表是一张由0，1，2，9这十个数字组成的表，一般常用的是五位数的随机数字表。 10个数字在表中出现的顺序是随机的，每个数字都有同样的机会被抽中。 抽选时，可根据总体容量N的位数决定在表中随机抽取相邻的几列数字。,随机数表,若N=99，n=10，哪些单位入样？,若N=830，n=8，哪些单位入样？,若N=327，n=8，哪些单位入样？,17,N m 1N10 1 11N100 2 101N1000 3,随机数骰子是
8、均匀材料制成的正20面体，09共10个数字随机出现在20个面上，每个数字出现2次。根据需要选取一定骰子数m，规定每种颜色的骰子所代表的位数。 例如，选用红、黄、蓝3种颜色的骰子，规定红色骰子出现的数字表示百位数，黄色骰子出现的数字表示十位数，蓝色骰子出现的数字表示个位数。所有m个骰子的数字均为0时，表示10m。,2、利用随机数骰子抽选,18,3、利用摇奖机进行抽选,各类彩票的抽奖活动通常是利用摇奖机来完成的，我们也可以借助这一方法完成简单随机样本的抽取,19,4、利用计算机产生的伪随机数进行抽选,大多数统计软件都有现成的产生随机数的程序,利用计算机产生的随机数具有快捷、方便的特点。 但是利用计
9、算机产生的随机数是伪随机数，并不能 保证其随机性，通常产生的伪随机数有循环周期。,一般不建 议使用此种方法！,20,第二节 总体均值与总体总值 的简单估计,21,春秋晋文公29岁、战国秦孝公56岁、秦朝秦始皇49岁、新朝王莽68岁、东汉光武帝刘秀63岁、东汉顺帝刘保30岁、西汉哀帝刘欣25岁、魏文帝曹丕39岁、昭烈帝刘备61岁、吴大帝孙权71岁、西晋武帝司马炎55岁、东晋成帝司马衍22岁、南朝顺帝李淮12岁、金章宗完颜达葛40岁、元世祖忽必烈79岁、北朝孝庄帝元子攸24岁、隋炀帝杨广49岁、唐太宗李世民51岁、唐武宗李炎32岁、南唐后主李煜42岁、北宋赵匡胤49岁、北宋英宗赵曙35岁、南宋宁宗
10、赵扩57岁、辽太祖耶律阿保机55岁、元太祖铁木真65岁、元文宗图帖木尔28岁、明太祖朱元璋70岁、明熹宗朱由校23岁、清圣祖玄烨68岁、清光绪帝载恬37岁。 如何根据以上数据，以95%的概率保证程度，对我国559位帝王的平均寿命作出估计？,从我国历史上的559位帝王中用随机数表选取了以下三十位，他们的寿命如下:,帝王寿命的抽样估计,22,有关指标与符号,23,一、总体均值的简单估计,（一）简单估计量的定义,总体均值 的简单估计量为样本均值：,24,（二）简单估计量 的期望与方差,对于简单随机抽样（不放回）， 是 的无偏估计，即有,f= n/N 为抽样比；1-f 为有限总体校正系数。,的方差 ：
11、,由于每个单位的入样概率都是n/N，不放回简单随机抽样是等概率抽样。,25,是 的无偏估计 。,样本方差 是总体方差S2的无偏估计量，所以,由于总体方差S2未知，需用样本方差 估计它。,26,（三）放回简单随机抽样的简单估计,对于放回简单随机抽样（考虑顺序）， 是 的无 偏估计,由于每次抽取时总体中任一单位都有1/N的概率被抽中，考虑样本单位顺序的放回简单随机抽样也是等概率抽样。,由于N往往很大，N-1N，所以,27,由于样本方差,是总体方差 的无偏估计量，所以,可得到 的无偏估计量,28,这说明除非 n=1，否则在相同的样本量下，放回简单随机抽样的方差总是大于不放回的方差，即它的抽样效率一般
12、比不放回简单随机抽样的低。,根据抽样设计效应定义：,放回简单随机抽样的 为：,29,【例3.1】在某区10000户家庭中，按简单随机抽样抽取400户，调查每个月的人均伙食费（单位：元）。经计算： 若对该地区平均每人每月的伙食费做估计，则抽样标准误是多少？,30,1、计算估计量 和样本方差 2、计算抽样标准误 3、计算置信区间 （1）根据给定的 1- ，找到相应的 t 值 （2）计算抽样极限误差 （3）确定总体均值的估计区间,估计总体均值的步骤,【例3.2】为了估计我国历史上的这559位帝王的平均寿命,随机选取了以下三十位,他们的寿命如下:,春秋晋文公29岁、战国秦孝公56岁、秦朝秦始皇49岁、
13、新朝王莽68岁、东汉光武帝刘秀63岁、东汉顺帝刘保30岁、西汉哀帝刘欣25岁、魏文帝曹丕39岁、昭烈帝刘备61岁、吴大帝孙权71岁、西晋武帝司马炎55岁、东晋成帝司马衍22岁、南朝顺帝李淮12岁、金章宗完颜达葛40岁、元世祖忽必烈79岁、北朝孝庄帝元子攸24岁、隋炀帝杨广49岁、唐太宗李世民51岁、唐武宗李炎32岁、南唐后主李煜42岁、北宋赵匡胤49岁、北宋英宗赵曙35岁、南宋宁宗赵扩57岁、辽太祖耶律阿保机55岁、元太祖铁木真65岁、元文宗图帖木尔28岁、明太祖朱元璋70岁、明熹宗朱由校23岁、清圣祖玄烨68岁、清光绪帝载恬37岁。 如何根据以上数据，以95%的概率保证程度，对我国559位帝
14、王的平均寿命作出估计？,32,【例3.3】 从某区400户个体户饮食店中简单随机抽取10进行月营业额调查，样本资料如下：,要求在95的概率保证下，估计全体饮食店月均营业额.,33,总体总值为总体均值的N倍，即,所以，总体总值的简单估计量就是N倍的样本均值，即,二、总体总值的简单估计,34,的无偏估计为,简单估计量的性质,35,【例3.4】 从某区400户个体户饮食店中简单随机抽取10进行月营业额调查，样本资料如下：,要求在95的概率保证下，估计全体饮食店的月营业总额。,36,第三节 总体比例的简单估计,37,设总体中有N个单位，其中符合规定特征的单位数为 ；不符合规定特征的单位数为 。,具有某
15、种特征的单位比例为：,不具有该种特征的单位的比例为：,对总体比例的估计就是对总体均值估计的特例， 对总体中具有规定特征的单位的总个数 的估计是对总体总值估计的一个特例。,一、问题的提法,38,总体方差为：,39,二、总体比例的简单估计量及其性质,设样本容量为 n，其中具有某种特征的有 个 样本比例 （样本均值） 样本比例 p 是总体比例 P 的简单估计量；,总体中具有某种属性的单位数 的简单估计量是,40,估计量的性质：,1、 p是 P的无偏估计。即有：,2、 p 的方差为：,3、 的无偏估计量是 ，即,41,当 都比较大时，可依正态分布给出 及 的 近似置信区间为：,42,【例3.5】某超市
16、新开张一段时间之后，为改进销售服务环境，欲调查附近几个小区居民到该超市购物的满意度。该超市与附近几个小区的居委会取得联系，在总体中按简单随机抽样抽取了一个200人的样本，调查发现对该超市购物环境表示满意或基本满意的居民有130位。 现要估计对该超市购物环境持肯定态度居民的比例，并在置信度95%下，给出估计的置信区间。,43,【例3.6】Do you believe first-sight love？ 要求在95.45的概率保证程度下，估计大学生中相信一见钟情的人所占比重。,44,【例3.7】某高校一学生调研小组对本专业400名学生的手机消费情况进行了抽样调查，简单随机不重复调查了50名学生，所得资料如下：,要求在95.45的概率保证下，估计该专业学生中月消费额在80元以上的学生人数。,45,第四节 样本量的确定
