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1、,第三节 全微分,一 全微分的概念,二 可微的必要和充分条件,三 全微分在近似计算中的应用,一 全微分的概念,如图,,一边长分别为x、y的长方形金属薄片,,受热后在长和宽两个方向上都发生变化,分别为x、y,那么,该金属薄片的面积A改变了多少?,A称为面积函数A=xy的全增量,,由两部分组成:,x,y的线性部分,当(x,y) (0,0)时,是一个比,高阶无穷小。,定义 设函数 在点(x,y)的某个邻域内有定义,点(x+x,y+y)在该邻域内,如果函数 在点(x,y)的全增量,可以表示为,其中A,B与x,y无关,,0时比高阶的无穷小。,则称函数 在点,(x,y)处可微,,称函数为在点(x,y),处
2、的全微分,记作dz,即,显然,dzz,是当,二 可微的必要和充分条件,定理(可微的必要条件),如果函数 在点(x,y)处可微,则它在该点处必连续,且它的两个偏导数都存在,并且,证明:,由函数 在点(x,y)处可微有,所以,即,注意:此命题不可逆。即若两偏导数都存在,也不能保证函数 在点(x,y)可微。,讨论函数:,由以前的讨论可知,在点(0,0)处它的两个偏导数都存在,可该函数在此点却不连续,不连续肯定不可微。,定理(可微的充分条件),如果函数 的两个偏导数 在点(x,y)都存在且连续,则该函数再给点可微。,以上有关概念和定理均可以退到三元及三元以上的函数中去。,由于自变量的微分等于自变量的微
3、分,故二元函数 的全微分习惯上可写为,类似地,三元函数 的全微分为,例1 求函数 的全微分。,解:先求函数的两个偏导数:,所以,例2 求函数 在点(2,-1)的全微分。,解:,所以,例3 设函数 在点(0,0)有增量x=0.2,y=0.3,求全微分dz。,解:,所以,此题可理解为:在点(0,0)处x,y分别有增量x=0.2,y=0.3时,函数也产生增量z,并且zdz=1.8。,三 全微分在近似计算中的应用,应用的公式:,例4 设一金属圆柱受压变形后,底面半径由原来的20cm变到20.1cm,高由原来的40cm减少到39.5cm,求该金属体体积变化的近似值。,解:,设圆柱体的底面半径为r,高为h,体积为V,则有,所以,其中r=20,h=40,r=0.1,h=-0.5,由公式(1)得,即金属体受压后体积减少了125.6cm3。,由公式(1)还可得,例5 计算 的近似值。,解:,构造函数 ,则,取,则,所以,例5 设一金属圆柱受压变形后,底面半径由原来的20厘米变到20.1厘米,高由原来的40厘米减少到39.5厘米,求该金属体体积变化的近似值。,解:如下图所示。,设圆柱体的底面半径为r,高为h,体积为V,则有,此时,其中r=20,h=40,r=0.1,h=-0.5,故有,即金属体受压后体积减少了125.6cm3。,