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1、1.2.2 单位圆与三角函数线,前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0到360角的三角函数的一组公式，,由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法,1.单位圆的概念,一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为 A(1，0)，A/(1，0). 而与y轴的交点分别为 B(0，1)，B/(0，1).,2. 有向线段的概念：,带有方向的线段叫有向线段 ； 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。,如在数轴上，
2、|OA|=3，|OB|=3,设任意角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M； 做PN垂直y轴于点N，,则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.,3. 三角函数线,根据三角函数的定义有点P的坐标为(cos,sin),其中cos=OM，sin=ON.,这就是说，角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.,以A为原点建立y/轴与y轴同向，y/轴与角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T /)，则tan=AT(或AT/),我们把轴上的向量 分别叫做的余弦线、正弦线和正切线.,A,步骤：,1、作直角坐标系和角的终边,2、
3、作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与 x轴正半轴交点为A,3、过P点作 x轴的垂线，垂足为M,4、过A点作 x 轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于T点,5、有向线段MP、OM、AT就为所求,M,归纳,1：凡含有原点的线段，均以原点为起点,2：不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点,例1.分别作出 、 、 的正弦线、余弦线、正切线。,例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.,解：由三角函数线得,sin1sin1.5,cos1cos1.5,tan2tan3,例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0x36
4、0),解：由在y轴上找到y=0.5的点，做x轴的平行线，交单位圆于点P和P两点，由三角函数线知 x1=30, x2=150.,变式：,已知 sinx0.5，求角x的取值范围。,已知(0， )，试证明 sintan .,证明：sin=|ON|=|MP|, =,tan=|AT|，,又,所以,即sintan .,思考与讨论,小结：,1. 给定任意一个角，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。,2. 三角函数线的位置 ：,正弦线为从原点到的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；,余弦线为从原点到的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；,正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段,3. 特殊情况： 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或1。 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。,
