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1、1,MATLAB在概率统计中的应用 1 求平均值 一组数据用x表示 则 mean(x) 为各元素的算术平均 而 sum(x.*p) 为该组数据的加权平均，p为对 应数据的权重 其他命令包括： max, min, median（中位数）, sort（递增排序）, range（级差）， sum（向量x的元素总和 ）, cumsum （向量x的累计元素总和 ）,2,例 测得8组数据为（以 mm计）74.001，74.005，74.003，74.001，74.000，73.998，74.006，74.002。试求样本的均值。 d=74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 7
2、3.998 74.006 74.002 mean(d) 例 设随机变量X的分布律见表 ，求E（X）和E（3 +5 ）的值。 x -2 0 2 Pk 0.4 0.3 0.3 x=-2 0 2; Pk=0.4 0.3 0.3 sum(x.*pk),3,z=3*y+5 sum(z.*pk) 方差和标准差 方差：D(x)=Ex-E(x)2 标准差：(x)=sqrt(D(X) 命令函数：var(x) %方差 var(x,1) var(x,w) std(x) %标准差 std(x,1) %计算列标准差,4,例 对例 1中的样本值d ，求其方差值、样本方差值、标准差、样本标准差的值 解： d=74.0010
3、 74.0050 74.0030 74.0010 74.0000 73.9980 74.0060 74.0020 x1=var(d,1) , x2=var(d), x3=std(d,1) , x4=std(d) x1 = 6.0000e-006 x2 = 6.8571e-006 x3 = 0.0024 x4 = 0.0026,5,例 有15名学生的体重（单位为 kg）为75.0，64.0 ，47.4，66.9，62.2，62.2，58.7，63.5，66.6，64，57.0，61.0，56.9，50.0，72.0。计算此15名学生体重的均值、标准差 解： w=75.0，64.0 ，47.4，6
4、6.9，62.2，62.2，58.7，63.5，66.6，64，57.0，61.0，56.9，50.0，72.0; mean1=mean(w) std1=std(w),6,9.1.6 协方差和相关系数 协方差 cov(x,y)=Ex-E(x)y-E(y) 相关系数 cov(x,y) cov(x,0) cov(x,1) corrcoef(x,y) corrcoef(x) 例 协方差矩阵函数和相关系数函数应用示例。 a=1,2,1,2,2,1 var(a) cov(a) d=rand(2,6) cov1=cov(d) conzhi=cov1(2),7,9.1.7 协方差矩阵 例：c=rand(3,
5、3) cov(c) corrcoef(c) 9.2常用的统计分布量 9.2.1 期望和方差 例 求参数0.12和0.34的 分布的期望和方差。 解： m,v=betastat(0.12,0.34) 例 按规定，某型号的电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品，已知一样品20只，一级品率为0.2，问样品中一级品元件的期望和方差为多少？,8,m,v=binostat(20,.2) 例 求参数为6的泊松分布的期望和方差 m,v=poisstat(6) 9.2.2 概率密度函数 pdf(name,x,a,b,c) 例 计算正态分布N(0，1)下的在点0.7733的值。 pdf(norm,0.7733
6、,0,1) normpdf(0.7733,0,1) 例 绘制卡方分布密度函数在 n分别等于1，5，15的图. clf x=0:0.1:30; y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,:),9,hold on y2= chi2pdf(x,5); plot(x,y2,+) y3= chi2pdf(x,15); plot(x,y3,o) axis(0,30,0,0.21) 9.2.3 概率值函数（概率累积函数） 例 某一公安在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救次数服从参数为 t/2的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计） 求 （1）在某一天中午12时至下午3时没有收到1呼救的概
7、率 （2）在某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率,10,解：poisscdf(0,1.5) poisscdf(0,2.5) 例 设XN（3，） (1)求P22,P X3; (2)确定c使得P Xc= P Xc. P2X5 a1=normcdf(2,3,2) a2=normcdf(5,3,2) p=a2-a1 P -4X10 p=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2),11,P |X|2 p=1- normcdf(2,3,2)+ normcdf(-2,3,2) P X3 p= 1- normcdf(3,3,2) 9.2.4 分值点函数 例 求上例的第(2)
8、问 解: 若要P Xc= P Xc= P Xc=0.5, norminv(0.5,3,2) 例 在假设检验中常用到求分值点的问题,如当 时,求Z(0.05/2)和T(0.05/2,10),12,norminv(0.025,0,1) tinv(0.025,10) 9.3.1 正态分布参数估计 例 假设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为6.0.5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设干燥时间总体服从正态分布。 解:time=6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 ; MUHAT,SIGMAHAT,MUCI,SIGMACI=no
9、rmfit( time,0.05),13,例 分别使用金球和铂球测定引力常数 (1)用金球测定观察值为:6.683,6.681,6.676,6.678,6.679,6.672; (2)用铂球测定观察值为:6.661,6.661,6.667,6.667,6.664. 解:j=6.683,6.681,6.676,6.678,6.679,6.672; b=6.661,6.661,6.667,6.667,6.664; MUHAT,SIGMAHAT,MUCI,SIGMACI=normfit( j,0.1) MUHAT,SIGMAHAT,MUCI,SIGMACI=normfit( b,0.1),14,9.
10、3.2指数最大似然参数估计 例 已知以下数据为指数分布，求它的置信度为0.05的参数的估计值和区间估计。数据为1，6，7，23，26，21，12，3，1，0。 解： a=1，6，7，23，26，21，12，3，1，0; MUHAT,MUCI=expfit(a,0.05) 9.4 区间估计 9.4.1 Gauss-Newton法的非线性最小二乘数据拟合 nlinfit nlinfit(X,Y,MODEL,BETA0) BETA,R,J= nlinfit(X,Y,MODEL,BETA0),15,9.4.2 非线性拟合预测的交互图形工具 nlintool nlintool (X,Y, MODEL,B
11、ETA0,ALPHA) nlintool (X,Y, MODEL,BETA0,ALPHA,XNAME, YNAME) 9.4.3 非线性最小二乘预测的置信区间 nlpredci YPRED, delta=mlpredci(MODEL,INPUTS,XF,J) 9.4.4非线性模型的参数置信区间 nlparci CI=nlparci(X,F,J),16,9.4.5 非负最小二乘 nnls x=nnls(A,b) x,w=nnls(A,b) 9.5 假设检验 9.5.1 单个总体 均值 的检验 例 设某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重量是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其值均
12、为0.5公斤，标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否正常，随机的抽取它所包装的糖9袋，称得净重为（公斤）0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.52，0.515，0.512,17,x=0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.52，0.515，0.512 H,sig=ztest(x,0.5,0.015,0.05,0) 未知时的 检验（t检验法） 例 某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布， 均未知。现测得16只元件的寿命如下所示： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485
