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1、Fracture Mechanics,第三章 应力场强度因子断裂理论,齐俊林,目录,一 复变函数和弹性力学相关知识回顾 二 断裂力学平面问题的求解和Westergaard函数(1939年) 三 双向拉伸的I型裂纹问题 四 单向拉伸的I型裂纹问题 五 II型、III型裂纹的应力场和位移场 六 应力强度因子断裂判据 七 I型裂纹顶端塑性区及KI的塑性修正 八 埋藏裂纹和表面裂纹的应力强度因子 九 复合型裂纹的脆性断裂 十 确定应力强度因子的计算方法 十一 例题,应力场强度因子断裂理论-4,一 复变函数和弹性力学相关知识回顾 (一) 复变函数相关知识回顾,1 复数,应力场强度因子断裂理论-5,一 复
2、变函数和弹性力学相关知识回顾 (一) 复变函数相关知识回顾,2 复变函数：定义、导数、积分,应力场强度因子断裂理论-6,一 复变函数和弹性力学相关知识回顾 (一) 复变函数相关知识回顾,3 解析函数,应力场强度因子断裂理论-7,一 复变函数和弹性力学相关知识回顾 (一) 复变函数相关知识回顾,4 解析函数的性质,应力场强度因子断裂理论-8,一 复变函数和弹性力学相关知识回顾 (二) 弹性力学相关知识回顾,1 平面应力与平面应变状态,应力场强度因子断裂理论-9,一 复变函数和弹性力学相关知识回顾 (二) 弹性力学相关知识回顾,2 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件,应力场强度因子断
3、裂理论-10,一 复变函数和弹性力学相关知识回顾 (二) 弹性力学相关知识回顾,3 求解方法：按位移求解、按应力求解,应力场强度因子断裂理论-11,二 断裂力学平面问题的求解和Westergaard函数(1939年),1 研究思路从弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。,应力场强度因子断裂理论-12,2 常体力情况下，按应力求解平面应变与平面应力问题：,具体的边界条件,1) 控制方程,应力场强度因子断裂理论-13,2) 求解方法,找出一个应力函数(Airy应力函数)，
4、该函数满足问题 的边界条件，满足双调和方程，即,则,(平面应力),(平面应变),应变,位移,应力场强度因子断裂理论-14,3 Westergaard函数(1939年),证明,应力场强度因子断裂理论-15,应变,位移,应力场强度因子断裂理论-16,三 双向拉伸的I型裂纹问题,应力场强度因子断裂理论-17,应力场强度因子断裂理论-18,(平面应力),(平面应变),裂纹延长线上应力的近似解与精确解的相对误差,若将r/a=0.02代入上式，可求出相对误差为-1.5。即近似解比精确解要小1.5，这个精度是足够高的，所以一般认为当r0.02a时，上述近似解是可以适用的。,应力场强度因子断裂理论-19,应力
5、场强度因子断裂理论-20,四 单向拉伸的I型裂纹问题,应力场强度因子断裂理论-21,四 单向拉伸的I型裂纹问题,应力场强度因子断裂理论-22,比较双向拉伸的I型裂纹问题：,单向拉伸的I型裂纹问题：,可忽略,应力场强度因子断裂理论-23,五 II型、III型裂纹的应力场和位移场,1 II型（无限大平板中心穿透裂纹）,II型裂纹问题的Westergaard应力函数的形式为,应力分量表达式：,位移分量的表达式：,(满足双调和方程),应力场强度因子断裂理论-24,Boundary condition：,应力场强度因子断裂理论-25,Boundary condition：,应力场强度因子断裂理论-26,
6、应力分量表达式：,位移分量的表达式：,II型裂纹应力强度因子,应力场强度因子断裂理论-27,2 III型（无限大平板中心穿透裂纹）,位移条件：,应变（几何方程）：,应力（物理方程）：,应力场强度因子断裂理论-28,代入平衡方程：,位移函数是调和函数，设为,则应力为,应力场强度因子断裂理论-29,Boundary condition：,应力场强度因子断裂理论-30,应力分量表达式：,位移分量的表达式：,III型裂纹应力强度因子,应力场强度因子断裂理论-31,六 应力强度因子断裂判据,1 应力强度因子,(平面应力),(平面应变),(平面应力),(平面应变),应力场强度因子断裂理论-32,应力场公式
7、的特点：,(1)裂纹尖端附近区域的应力分布是r和的一定函数关系，与无限远处的应力和裂纹长无关。 (2)在裂纹尖端，即r0处，应力趋于无限大，应力在裂纹尖端出现奇异点。 (3)应力强度因子KI在裂纹尖端是有限量，应力与KI 成正比。,x , y , xy x , y , xy,应力场强度因子断裂理论-33,一般情况下（表8.1）：,裂纹尺寸(裂纹长或深),形状系数(与裂纹大小、位置等有关),名义应力(裂纹位置上按无裂纹计算的应力),量纲、与应力集中因子的区别,2 K和G的关系（以恒位移为例）,2,在裂纹表面，,裂纹（2a）延长线上的应力:,裂纹（2a+2a）表面的垂直位移:,作用力:,张开位移:
8、,做功:,（平面应力）,（平面应变）,裂纹闭合所做的功等于裂纹张开释放的应变能：,II型裂纹：,III型裂纹：,对于型裂纹，如果假设裂纹也沿其延长线扩展，用上述方法 可得到与I型裂纹相同的GII与KII的对应关系。但实验表明型裂纹扩展的真实方向并非沿裂纹延长线方向，而是沿与原裂纹成6470的方向。所以按沿裂纹延长线方向扩展求得的GII与KII的对应关系没有实际意义。,应力场强度因子断裂理论-38,3 裂纹体断裂韧性,应力场强度因子增加到某一临界值，使裂纹顶端区域内足够大的体积内都达到使材料分离的应力而导致裂纹的迅速扩展，这时的应力场强度因子的临界值称为断裂韧性。,应力场强度因子断裂理论-39,
9、断裂韧性,应力场强度因子断裂理论-40,应力强度因子和裂纹体断裂韧性区别,应力强度因子KI是由载荷及裂纹体的形状和尺寸决定的量，是表示裂纹尖端应力场强度的一个参量，可以用弹性理论的方法进行计算； 断裂韧度KIC是材料具有的一种机械性能，表示材料抵抗脆性断裂的能力，由试验测定。,应力场强度因子断裂理论-41,实验与理论分析表明，材料的断裂韧度随试件厚度B的增加而下降，如图所示：,应力场强度因子断裂理论-43,应力场强度因子断裂理论-44,应力场强度因子断裂理论-45,4 裂纹体脆性断裂的K准则,(1) 确定构件允许承担的最大应力为,(2)确定构件中允许存在的最大长度的裂纹为,(3)求出所用材料必
10、须具备的断裂韧性值，为选材提供依据,1955年，G. R. Irwin提出,应力场强度因子断裂理论-46,应用应力强度因子判据对裂纹体进行断裂分析前的基础工作,(1) 准确掌握构件的伤情：裂纹的形状、尺寸、位 置。(无损探伤 NDT) (2) 对缺陷进行简化：裂纹的模型。 (3) 测定材料的平面应变断裂韧度。,能量准则(G准则)和应力强度因子准则(K准则)并不总是等效的,对于平面问题和反平面问题，裂纹的前缘是一条沿厚度方向的直线，裂纹前缘上各点的K值相同，随着外荷载的增加同时到达KIC(若不考虑表面层平面应力影响的话)，此时G准则和K准则是等效的。 对于三维裂纹问题，沿裂纹前缘各点的K值，一般
11、不相等，且K与G无简单关系。按K准则，当裂纹前缘中Kmax=KIC时，裂纹可能扩展，但按G准则，裂纹扩展总有一定面积，因而必须知道裂纹扩展后的形状才能计算能量释放率。所以对于三维裂纹问题，G准则和K准则一般并不等价。相对而言，K准则偏于安全，实际应用中，用K准则比较方便。,应力场强度因子断裂理论-48,七 I型裂纹顶端塑性区及KI的塑性修正,应力场强度因子断裂理论-49,1 塑性区的形状及尺寸,屈服准则：,单向应力状态、复杂应力状态 Tresca准则、Mises准则、区别 主应力、非主应力、应力变换,应力场强度因子断裂理论-50,裂纹顶端附近任一位置处的主应力为：,应力场强度因子断裂理论-51
12、,Tresca准则：,Mises准则：,平面应力,平面应变,平面应力,平面应变,应力场强度因子断裂理论-52,应力场强度因子断裂理论-53,应力场强度因子断裂理论-55,两种判据在裂纹前沿得到的塑性区宽度(非真实)是一致的：,应力场强度因子断裂理论-56,2 塑性变形的驱动力及塑性区真实宽度,在裂纹延长线上(x轴上)剪应力分量为零，因此x轴上的应力就是主应力，其值为,有效屈服应力：在某种应力状态下产生屈服的最大主应力,应力场强度因子断裂理论-57,塑性约束系数：有效屈服应力与单向拉伸屈服应力之比,(平面应变考虑表面平面应力的影响),应力场强度因子断裂理论-58,平面应力,应力场强度因子断裂理论
13、-59,应力场强度因子断裂理论-60,3 KI修正（等效模型法）,引起应力松弛的两种原因：,裂纹尖端产生塑性变形 裂纹扩展,等效 模型法：,假设裂纹尖端的应力松弛不是由产生塑性变形引起的，而是裂纹扩展引起的，裂纹体仍然处于弹性状态,有效裂纹长度a*：,当裂纹尺寸由a增加到a*=a+ry时引起的应力松弛，相当于裂纹长度为a而由于塑性变形引起的应力松弛,应力场强度因子断裂理论-61,小范围屈服条件下：,应力场强度因子断裂理论-62,处理方法对于其它形状裂纹体同样适用 处理方法是粗略的,应力场强度因子断裂理论-64,何时对KI进行修正,应力场强度因子断裂理论-66,八 埋藏裂纹和表面裂纹的应力强度因
14、子,穿透裂纹： 表面裂纹：半椭圆片状 深埋裂纹：椭圆片状或圆形片状,绝大多数薄板和壳体的断裂常常是在裂纹不穿透板厚的情况下发生的。对于大型锻铸件和焊接结构，裂纹或类似裂纹的缺陷也多数存在于构件的内部或表面。因此，埋藏裂纹及表面裂纹的分析是断裂力学的一个重要内容。这一类问题属于三维裂纹问题，理论解比较复杂。,应力场强度因子断裂理论-67,无限体内椭圆形片状埋藏裂纹的应力强度因子,裂纹最危险部位（裂纹边界短轴处）的应力强度因子的计算公式：,Irwin解：,应力场强度因子断裂理论-68,半椭圆形片状表面裂纹的应力强度因子,（浅裂纹）,（深裂纹）,Irwin解：,应力场强度因子断裂理论-69,小范围屈
15、服条件下塑性区修正,（浅裂纹）,（脆性材料深裂纹）,（韧性材料深裂纹）,（埋藏裂纹）,应力场强度因子断裂理论-70,九 复合型裂纹的脆性断裂,应力场强度因子断裂理论-71,复合型断裂的理论计算公式,在复合型裂纹问题中，需要研究以下两个问题： (1)裂纹沿什么方向(即开裂角)开裂? 。 (2)裂纹在什么条件(即断裂准则)开裂?,以Griffith理论为基础发展起来的Irwin断裂准则不能简单地用来分析和处理复合型裂纹问题。,目前，国内外提出的复合型断裂准则，不外乎从以下三方面进行分析： (1)以应力为参数：最大应力准则； (2)以位移为参数； (3)以能量为参数：应变能密度因子准则、应变能释放率
16、准则。,I、II型并存的复合型裂纹,复合型断裂的理论计算公式,1 最大应力准则的基本假定：,2 应变能密度因子准则的基本假定：,应力场强度因子断裂理论-73,复合型断裂的工程经验公式,上面介绍的复合型断裂准则虽然都有各自的物理意义和适用性，但是应用于工程中时仍存在问题。由于受裂纹检测技术水平的限制，目前还不能对裂纹的性质、尺寸、形状和方位做出准确的判断。同时，各种理论在一些情况下所得的结果与试验结果尚存在一定差距。 因此，与其用上述理论，还不如用基于试验资料得到的一些经验公式。按这一想法，人们通过实验，总结归纳出复合型断裂准则的经验公式。,应力场强度因子断裂理论-74,复合型断裂的工程经验公式,1 KI-KII复合型问题：,2 KI-KIII复合型问题：,3 KI-KII-KIII复合型问题：,应力场强度因子断裂理论-75,十 确定应力场强度因子的计算方法,确定应力强度因子的方法有三大类：,解析法：只能计算简单问题 数值解
