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1、第十二章 动 量 矩 定 理,12-1 质点和质点系的动量矩,质点的动量矩,质点的动量对点O的矩。,质点动量mv在Oxy平面内的投影（mv）xy对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动矩 。,结论:力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力对该轴之矩 。, 力对轴之矩与力对点之矩的关系,质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩 。,绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积 。,12-2 动量矩定理,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。,质点的动量矩定理：,质点系的动量矩定理,质点系对于某定点O的动量矩对
2、时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。,试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。,例题 第12章 动量矩定理,mg,L,v,两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对水平转轴 O的转动惯量是 JO ；鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 (图a)，且 m1 m2。试求鼓轮的角加速度。,例题 第12章 动量矩定理,mAg,mBg,动量矩守恒定律,当外力对于某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。,摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前，已知主动轴 1 以角速度0转动，而从动轴 2 处于
3、静止。一经结合，轴 1 的转速迅速减慢，轴 2 的转速迅速加快，两轴最后以共同角速度 转动。已知轴 1 和轴 2 连同各自的附件对转轴的转动惯量分别是 J1 和 J2 ，试求接合后的共同角速度 ，轴承的摩擦不计。,例题 第12章 动量矩定理,小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为0。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成角时系统的角速度 。,例题 第12章 动量矩定理,Lz1=Lz2,12-3 刚体绕定轴的转动微分方程,转动惯量是刚体转动惯性的度量。,如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速
4、度 。,例题 第12章 动量矩定理,解：,飞轮对O的转动惯量为JO，以角速度O绕水平的O轴转动，如图所示。制动时，闸块给轮以正压力FN。已知闸块与轮之间的滑动摩擦系数为fs，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。,例题 第12章 动量矩定理,Fs,FN,FOx,FOy,mg,传动轴如图所示。设轴和的转动惯量分别为J1和J2，转动比 , R1，R2分别为轮 ，的半径。今在轴上作用主动力矩M1，轴上有阻力力矩M2，转向如图所示。设各处摩擦忽略不计，求轴的角加速度。,例题 第12章 动量矩定理,因 ，于是得,例题 第12章 动量矩定理,12-4 刚体对轴的转动惯量,1、简单形状物体的
5、转动惯量计算,2、回转半径（惯性半径）,细直杆,均质圆环,均质圆板,转动惯量,同质量一样，转动惯量是刚体固有的物理属性，它与刚体的运动无关，也不来自任何力学定理。一旦转轴确定，转动惯量即为恒定，且恒为正值。,对于连续体,若把刚体的总质量M集中于刚体上某一点处，该点到转轴的距离为，则有：,平移轴定理：,刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。,刚体对质心轴的转动惯量最小。,：回转半径或惯性半径,均质圆轮质量为m，半径为R，求对质心轴C的转动惯量。,解：取单位厚度的圆轮研究，取一面积微元dm,对轮缘上任一点，有：,解：取一微元dx
6、,对杆端，有：,均质杆质量为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。,平行轴定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并于该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。,无外力矩作用的半径为R，质量为m0的圆柱形自旋卫星绕对称轴旋转，质量各为m的两个质点沿径向对称地向外伸展，与旋转轴的距离x不断增大如图示。联系卫星与质点的变长度杆的质量不计，设质点自卫星表面出发时卫星的初始角速度为0 。试计算卫星自旋角速度 的变化规律。,例题 第12章 动量矩定理,例题 第12章 动量矩定理,1).地面光滑时,2).地面有摩擦时:,左图质心保持不动，因为水平方向的合外力为零;,右图质心
7、将沿力F方向运动.,左图质心将向右运动，,右图中: a.若主动力FQf，则质心不动;,b.若主动力FQf，则质心向右运动.,两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为1和2，且1 2 ，问 ： 1）哪个动量大? 分别为多少? 2）哪个动量矩大? 分别为多少?,答：1）一样大，均为0,汽车为何不能在光滑的水平路面上行使？,答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。,2）J1J2,均质圆轮半径均为r，求在下列不同形式下的动量、对O点的动量矩。,答：1）动量： 0、 mr、 mr 2）动量矩： Jo 、Jo、 Jo,质系的动量为零，其动能是否也必为零？质系的动能为零，其 动量是否也必为零？,答
8、：JZ=Pr ，两系统的转动惯量不同，所以角加速度不同。,怎样用旋转的方法区别生蛋和煮熟的鸡蛋，为什么？,答：旋转时间较长的是熟蛋，时间短的是生蛋。 因为，熟蛋的壳、青、黄为一整体，而生蛋的则相对分离，开始时由于惯性，壳转，青、黄不转，内阻力使其早早停止转动。,芭蕾舞演员伸臂抬腿旋转，收回臂、腿时将会出现什么现象？为什么？,答：旋转速度更快，因为对z轴动量矩守恒。,人坐在转椅上，双脚离地，能否用双手将转椅转动？为什么？,不能，因为对z轴动量矩守恒,12-5 质点系相对于质心的动量矩定理,实际上，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距
9、离保持为常量，其公式的形式不变。,O： 固定点,z： 固定轴,C： 质心,P： 瞬心，要求PC=常量,在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中， 此式显得特别方便。,12-6 刚体的平面运动微分运动,质点的动量对点O的矩,质点系对于点O的动量矩也是矢量，为,若z轴通过点O，则质点系对于z轴的动量矩，为,若c为质点系的质心，对任一点o有,动量矩,对于定点o和定轴z有,若C为质心、CZ轴通过质心，也有,动量矩定理,若zC与z轴平行，有,转动惯量,若z轴为定轴或通过质心，有,刚体绕z轴转动的动量矩为,刚体的平面运动微分方程为,高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿
10、石总质量为m2 。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。,O,M,W1,v,W2,FN,例题 第12章 动量矩定理,例题 第12章 动量矩定理,高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2 。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。,匀质细杆 AB 的质量是 m，长度是 2l，放在铅直面内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角 0，初角速度等于零；试求杆
11、沿铅直墙壁下滑时的角速度 和角加速度 以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度 1 。,例题 第4章 动量矩定理,质量为m的点在平面Oxy内运动，其运动方程为 其中a，b和为常量。求质点对原点O的动量矩。,12-11,无重杆OA以角速度0绕轴O转动，质量m=25kg、半径R=200mm的均质圆盘以三种方式安装于杆OA的点A，如图所示。在图a中，圆盘与杆OA焊接在一起；在图b中，圆盘与杆OA在点A铰接，且相对杆OA以角速度r逆时针向转动；在图C中，圆盘相对杆OA以角速度r顺时针向转动。已知0=r=4rad/s，计算在此三种情况下，圆盘对轴O的动量矩。,12-12,图示两轮的半径各为R1和R2，其质
12、量各为m1和m2，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为M的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为M的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与轮奸无滑动，胶带质量略去不计求第一个轮的角加速度,12-17,重物质量为m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮，并绕在鼓轮上，如图所示由于重物下降，带动了轮，使它沿水平轨道只滚不滑设鼓轮半径为r，轮的半径为，两者固连在一起，总质量为m2，对于其水平轴的回转半径半径为求重物的加速度,12-14,均质圆柱体的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端固定不动，如图所示当铅垂时圆柱下降，其初速为零求当圆柱体的轴心降落了高度h时轴心的速度和绳子的
13、张力,12-16,例题 第4章 动量矩定理,解:,在 A 端脱离墙壁以前，受力如图所示。杆作平面运动，取坐标系 Oxy ，则杆的运动微分方程可写成,由几何关系知,例题 第4章 动量矩定理,将式(d)和(e)对时间求导，得,把 (f)和(g)分别代入 (a)和(b)，再把 FA 和 FB 的值代入 (c),最后得杆 AB 的角加速度,例题 第4章 动量矩定理,利用关系,把上式化成积分,求得杆 AB 的角速度,例题 第4章 动量矩定理,当杆即将脱离墙时，FA 0。以FA = 0代入(a)，再根据(f)得,把(h) 和(i)的表达式在 = 1 时的值代入上式，得关系,整理后，求得杆开始脱离墙时与墙所
14、成的夹角,例题 第4章 动量矩定理,质量为m半径为r的滑轮（可视作均质圆盘）上绕有软绳，将绳的一端固定于点A而令滑轮自由下落如图示。不计绳子的质量，求轮心C的加速度和绳子的拉力。,例题 第12章 动量矩定理,例题 第12章 动量矩定理,取滑轮和软绳组成的系统为对象，画出受力图。,滑轮的运动可看作沿过点A的铅垂线向下作纯滚动，滚动角速度 ，滚动角加速度 。,解：,应用质心运动定理沿铅垂轴的投影，得,在列写第二个方程时，可以任意选用以下方法中的一种：,(a),1. 列写对固定轴Az的动量矩定理。,例题 第12章 动量矩定理,联立求解式（a），（b），得到,2. 列写对平移轴Cz的动量矩定理。,再代入式（a）解得,将 ， , ，代入上式，得,即,（b）,例题 第12章 动量矩定理,
