第二章自动调节系统的数学描述备课讲稿

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1、第二章 自动调节系统的 数学描述,2.1 调节系统的微分方程描述,2.6 典型环节及其传递函数,2.2 传递函数,2.3 动态结构图及其等效变换,2.4 闭环系统的传递函数,2.5 脉冲响应与阶跃响应,2.7 利用计算机求取系统传递函数,2-1 调节系统的微分 方程描述,列写微分方程的一般方法,非线性方程的线性化,复杂系统列写微分方程示例,列写微分方程的一般方法,解析法举例,3,4,1,2,根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任一时刻网络的输入电压等于各支路的电压降和，则得 (2.1.1) 而 (2.1.2) 式中i为网络电流，是除输入、输出量之外的中间变量。,例2.1.1 列写图示RC网络的微分

2、方程。,解： 1. 明确输入、输出量 网络的输入量为电压ur,输出量为电压 uc 。 2. 建立输入、输出量的动态联系,例2.1.2 列写图示的二级RC网络的微分方程。,解： 1. 明确输入、输出量 输入量为电压ur,输出量为电压 uc, i1、i2为中间变量。 2. 建立输入、输出量的动态联系 根据电路理论的基尔霍夫电压定律，有 (2.1.5),例2.1.2续,及 (2.1.6) 又 (2.1.7) 3消掉中间变量 将式(2.1.6)、(2.1.7)两边求导，代入式(2.1.5)，得 (2.1.8) 二级RC网络的动态数学模型是一个二阶常系数线性非齐次微分方程。,例2.1.3 用热电偶测量环

3、境介质的温度，如右图所示。输入信号为环境介质的温度T，输出信号为热电偶的热电势E，试写出它的微分方程。,解： 设热电偶的冷端温度不变，为0C，热电偶的热端温度为Th。那么，被测介质与热电偶之间的热流量为：,(2.1.9) 式中，R 为传热阻力，假定为常数； q 为热流量，单位时间的传热量，时间的函数。,例2.1.3续,热电偶的热端温度Th随着热流量q的变化而改变，它们之间的动态关系为： (2.1.10) 式中，C 为热电偶的热容量。而热电偶的热端温度Th与热电偶的输出热电势E之间的动态关系为： (2.1.11) 式中，r 为热电偶的特性常数， Th改变1C时E改变的值。 从上面三式中消去中间q

4、和Th，得到热电偶测温的微分方程： (2.1.12),非线性关系,数学方法：对于光滑的非线性函数 y = f (x)，在平衡工作点x0附近的邻域内，将其展开为泰勒级数，并略去二阶以上的高阶小量，即,非线性微分方程的线性化,线性关系,微偏线性化,近似处理,在平衡工作点x0附近， y和x 呈近似的线性关系 。,举例,讨论,1,2,例2.1.4 图示蓄水箱系统中，蓄水箱面积为A，输入信号为进水流量Q1，输出信号为水位H，写出该系统的微分方程。,解： 水箱的蓄水过程, Q1 和Q2不相等引起液位H的变化, 由单位时间内水箱中水体积变化的关系，有 (2.1.13) 2. 流出流量Q2与液位H的关系，由伯

5、努利方程有 (2.1.14),例2.1.4续1,3. 将(2.1.14) 代入(2.1.13)得蓄水箱系统的微分方程： (2.1.15) 这是一个一阶非线性微分方程，采用微偏线性化方法将 它线性化：,(1). 参看右图，选择一个平衡工作点a(H0,Q20)，连续可导； (2). 在a点将非线性曲线(2.1.14)作线性化处理，取泰勒展开式一阶项，略去二阶以上小量： (2.1.16),例2.1.4续2,(3). 变非线性方程为线性化增量方程： 代入(2.1.15)得到 (2.1.17) (2.1.16)代入(2.1.17)得到线性化增量方程： RL为Q2= Q20时流出管路的阻力系数称为液阻。

6、为了方便起见，常常省略线性化增量方程中的符号“”,例2.1.5 铁芯线圈的动态方程为 (2.1.18) 给定平衡点 u0、i0 , 试建立线性化增量方程。,解： 将方程中所有变量看作是平衡点附近的变化量，即 (2.1.19) 非线性函数（i）取近似式 u、i、 代入原方程(2.1.18) ，有,例2.1.5续,上式中, 是原方程式(2.1.18)的静平衡 方程。故整理后得线性化增量方程为: (2.1.19) 式中 为线圈在i0处的电感，如用L表示，则上式 可写为 这是一个一阶线性常系数微分方程。 对照原非线性方程(2.1.18)可看出，只要将非线性项用一 阶增量项近似，而线性项直接将变量换写成

7、相应增量， 即得线性化方程。,线性化讨论,线性化方程描述的不是变量自身，而是变量对平衡点的增量。线性化方程中的增量，不应理解为无穷小量，而应理解为是有工程实际概念的较小的变化量。 平衡点应依据系统平衡工作状态而定，各部件应统一。 关于增量假设的可靠性：所有变量都在平衡点附近变化，这一假设对控制系统而言是合理的。自动控制的任务是使被控量按给定值变化。因此，正常工作的系统，控制的偏差是不大的，各部件输入、输出的偏离量都不应过大，这就保证了小偏差法使用的可靠性。 非线性变量变化范围很大的系统，仍可用线性化模型的计算结果定性分析。 线性化方程仍是近似方程。 在平衡点附近不可导的函数不能微偏线性化方法。

8、,复杂系统列写微分方程示例,为复杂对象列写运动方程通常比较费力，需要关于对象机理的详细知识和周密的思考。如果对象是由几个部分组成的，就先列写每一部分的方程，然后用一些联系方程把它们联系起来。 列写方程以后，要检查方程中的变量，区分输入量、输出量和中间变量，消去中间变量，最终导出单变量微分方程 。并写成以下的典型形式：,举例,例2.1.6 双容水箱液位自动调节系统如下图所示，流出蓄水箱的流量Q3只与水泵转速有关。设输入信号为流出的流量Q3，输出信号为水位H2，写出调节系统的动态方程式。,解： 设流入水箱的流量Q1只取决于进水调节阀开度。在平衡状态时： 下面对非线性方程线性化时就以该平衡状态为参考

9、点，所用的变量都从平衡状态算起。为清楚起见，将本问题划分为以下几个部分考虑。 (1) 第一水箱蓄水过程：输入信号为流量差(Q1Q2)，输出信号为水位H1，根据质量平衡原理有： (2.1.20),(2) 水箱1至水箱2的流动过程：输入信号为(H1H2)，输出信号为水位Q2，动态方程式为： (2.1.21) 式中为常数，决定于流管的阻力。以平衡状态为参考点对（2.1.21）进行线性化处理后，得到： (2.1.22) 式中RL为两水箱间管路的液阻。 (3) 第二水箱蓄水过程：输入信号为流量差(Q2Q3)，输出信号为水位H2，根据质量平衡原理有 (2.1.23),(4) 浮子、杠杆和阀门的运动：输入信

10、号为H2，输出信号为，忽略摩擦阻力，有 (2.1.24) 式中，“”号表示H2增加时， 减小。 (5) 进水调节阀的作用：输入信号为，输出信号为Q1，其近似关系为 (2.1.25) 式中为常数 。 由以上动态方程式（2.1.20）至（2.1.25）式中消去中间变量、Q1、H1和Q2，就可以得到系统的微分方程为：,2-2 传 递 函 数,传 递 函 数 的 概 念,传 递 函 数 的 性 质,概念,定义,例题,传递函数的零极点,微分方程t 域动态数学模型,输入信号ur对输出uc的动态联系称为零状态分量,初始状态uc(0-)对输出uc的动态联系称为零输入分量,传递函数的概念 以RC网络为例,象方程

11、s 域动态数学模型,微分方程的解时域（阶跃）响应,传递函数的定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 考虑由下列微分方程描述的线性定常系统：,式中，y 为 系统的输出量，x为系统的输入量。在全部初始条件为零的假设下，ai和bi均为与系统结构有关的常数。对上式的两端进行拉氏变换，可得系统的传递函数为：,(2.2.1),利用传递函数的概念，可以用以s为变量的代数方程表示系统的动态特性。如果传递函数的分母中，s的最高阶次为n, 则称该系统为n 阶系统。,(2.2.2),例2.2.1 求例 2.1.2的二级RC网络的传递函数Uc(s)/ Ur(s)

12、 。,解： 二级RC网络的微分方程用式 (2.1.8) 表示为：,在零初始条件下，对上式各项求拉氏变换，得,由传递函数的定义，得二级RC网络的传递函数为,传递函数是经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。 系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出量与输入量的微分方程的一种运算方法。传递函数包含了微分方程的全部系数，与微分方程所包含的信息量相同。 传递函数G(s)是以s为自变量的复变函数，具有复变函数理论所阐明的一切性质。 传递函数完全取决于系统内部的结构和参数，而与初始条件无关。,传递函数的性质,传递函数只表明一个特定的输入、输出关系。同一系统

13、，取不同变量作输出，以给定值或不同位置的干扰为输入，传递函数各不相同。 传递函数G(s)是s的有理函数，即有理分式（2.2.2），分母多项式即为微分方程的特征多项式，分子多项式为微分方程右端函数的微分算符多项式。对于实际的即物理上可以实现的线性集总参数对象，传递函数表达式（2.2.2）为严格真有理分式，即nm，只是在理想假设下，才有n=m。 零初始条件，故仅为系统的零状态模型，不能反映零输入响应的动态特征 ，但在t=0-时，系统处于相对平衡状态，各变量对平衡点的增量为零。条件容易设置。,传递函数的性质,传递函数的三种表达形式 多项式形式 零极点形式 因子连乘积形式,传递函数的零点和极点,因式分

14、解,传递函数的一般形式,2-3 动态结构图及其 等效变换,动态结构图,结构图的等效变换,梅森公式,动 态 结 构 图,动态结构图是控制系统的一种数学模型，是系统原理图与数学方程的结合，既补充了原理图所缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算，从结构图上可以用方框进行运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用，更重要的是从系统结构图可以方便地求出系统的传递函数。,1.1,动态结构图的四种基本单元,系统动态结构图的绘制,写出系统各元部件的微分方程和象方程（或传递函数）； 选择输入、输出信号，绘出各元部件的方框图； 根据系统内信号流向，将各方框依次连接，得到系统的动态结构图。,例2

15、.3.1 绘出例2.1.6所示双容水箱液位自动调节系统的动态结构图。,(3) 第2水箱蓄水过程（与水箱1类似）：,(2) 水箱1至水箱2的流动过程：,(5) 进水调节阀的作用：,(4) 浮子、杠杆和阀门的运动：,(6) 系统动态结构图：,Q2,例2.3.3 试建立图示二级RC网络的动态结构图。,解： 采用复阻抗概念直接画图，用复数阻抗表示电阻时仍为R，电容的复阻抗为 1/Cs。R1两端的压差uru1乘以 1/R1即为过R1的电流i1。i1i2 即为过 C1的电流，此电流乘以容抗 1/C1s 即为电压 u1(即第二级的输入电压)。而 R2 两端的压差u1uc乘以 1/R2 即为过 R2 的电流 i2, i2乘以容抗1/C2s即为输出电压uc。,二级网络动态结构图,二级网络的动态结构不同于两个一级网络动态结构的串联，电流i2经反馈作用影响u1，后一级网络对前级网络的这种反作用称为负载效应，后一级网络为前级的负载。,动态结构图的等效变换,1.串联结构的等效变换 总的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积,2.并联结构的等效变换 总传递函数等于各个并联环节的传递函数的代数和,