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1、琴生不等式的高维推广李世杰 吴光耀(衢州市教育局教研室 浙江 324002 )单保良(衢州职业技术学院,浙江 324000 ) 摘 要:将琴生(Jensen)不等式作了高维推广,并由它得到了m维空间的一系列不同类型的函数不等式,它们是算术几何平均值不等式、柯西不等式等的联合推广. 关键词:琴生不等式,函数不等式,高维推广.Higher Dimensional Generalization of Jensen InequalityLi Shijie Wu Guangyao(Department of Teaching Research,Quzhou Education Committee,Zhe
2、jiang, 324002,China)Dan Baoliang(Quzhou College of Vocational Techuology,Zhejiang, 324000,China)Abstract:The higher dimensional generalization of Jensen inequality is established. As by-products, a series of different function inequalities on m-dimensional space is obtained which extend the A-G mean
3、 inequality and Cauchys inequality. Key words:Jensen inequality; function inequality;higher dimensional generalization1引言1905年,丹麦数学家琴生(Jensen ,18591925)证明了如下著名的琴生不等式1:设f (x)是定义在实数集M上的函数,且对任意的xl、x2 M,都有 , (1.1)则对任意的xi M(i = 1,2,n),有 , (1.2)在文2中,李世杰证明了如下的“母”函数不等式:设f (x)的定义域为 M(M为a,b,或(a,b),或无穷区间),(x)是
4、 M上的连续函数,且存在反函数若对任意的xl、x2 M,都有 , (1.3)则对任意的xi M(i = 1,2,n),有 , (1.4) 若 (1.3) 中等式成立的条件是x1=x2,则 (1.4) 中等式成立的条件是 x1= x2 = =xn本文下面先给出不等式 (1.4) 的一个高维推广,为方便计,引入下列记号:设M = M1M2Mm(Mi为 ai,bi,或(ai,bi),或无穷区间,m1). 特别地, 收稿日期:作者简介:李世杰, (1960-),男,浙江东阳人,汉,中学高级教师,理学士, 研究方向:解析不等式及数学教学若Mi = R+ = ,i = 1,2,m,则M记作. 对于,表示m
5、维向量:其它符号意义依次类推.2主要结论定理1 设f (X)的定义域为 M, i (x)是定义在 Mi上的连续函数,且存在反函数,i = 1,2,m若对X1、X2M,和常数,都有, 且 , (2.1)等式成立的条件是X1=X2. 则对XiM ( ,n2 ),都有 (2.2)这里p是满足的整数,(2.2)中等式成立的条件是X1=X2 = =Xn下面用反向数学归纳法证明这一不等式.证明 首先证明n =2 p ( pN,p2 ) 时,结论成立.当n = 2时,由 (2.1) 及其等式成立的条件知结论成立.假设n =2 k ( kN,k2 ) 时,结论成立,即对 XiM (),有 , (2.3)等式成
6、立的条件是X1=X2 = =. 则对Xi M ( ),有 , (2.4)等式成立的条件是 又根据n = 2时的结论,在 (2.1) 中作置换,可得+即+, (2.5)等式成立的条件是,.联合(2.3)、(2.4)、(2.5)得 (2.6)等式成立的条件是 ,由于存在反函数,必一一对应,故由上面方程组可推得不等式 (2.6)中等式成立的条件是X1=X 2 = =因此对n =2 p ( pN,p2 )结论恒成立.当时,前面已证成立结论: (2.7)当时,取Xn+1=Xn +2 = ,则Xn+1=Xn +2 = ,代入(2.7)式化简后即可得到(2.2)式.综上,我们就证明了不等式(2.2)结论对n
7、2恒成立. 定理2 设f (X)的定义域为 M, i (x)是定义在 Mi上的连续函数,且存在反函数,i = 1,2,m若对X1、X2M和常数,都有,且 , (2.8)等式成立的条件是X1=X2. 则对XiM ( ,n2 ),有 (2.9)这里p是满足的整数,(2.9)中等式成立的条件是X1=X2 = =Xn证明 与定理1相似,首先证明n =2 p ( pN,p2 ) 时结论成立,再如对(2.7)式取特值,即可获证,过程略去.定理3 设f (X)的定义域为 M, i (x)是定义在 Mi上的连续函数,且存在反函数,i = 1,2,m若对X1、X2M,和常数,都有,且 , 等式成立的条件是X1X
8、2. 则对任意的XiM ( ,n2 ),有 这里p是满足的整数,等式成立的条件是X1=X2 =Xn证明 与定理1相似,略.3应用定理4 设f (X)的定义域为 M, i (x)是定义在 Mi上的连续函数,且存在反函数,i = 1,2,m若对X1、X2M,都有 , (3.1)等式成立的条件是X1=X2. 则对XiM ( ,n2 ),都有 (3.2)等式成立的条件是X1=X2 = =Xn证明 在定理1中,取,由于i (x)是定义在 Mi上的连续函数,必有故由定理1即可得定理4中结论.定理5 设f (X)的定义域为 M, i (x)是定义在 Mi上的连续函数,且存在反函数,i = 1,2,m若对X1
9、、X2M,都有 , (3.3)等式成立的条件是X1=X2. 则对XiM ( ,n2 ),有 (3.4)这里p是满足的整数,(3.4)中等式成立的条件是X1=X2 = =Xn证明 同定理4证明过程,在定理2中取即可得证.取i (x)= x,定理5就变成琴生( Jensen)不等式(1.2).定理6 (均值型函数不等式)设f (X)的定义域为,若对任意的X1、X2,都有, (3.5)等式成立的条件是X1X2. 则对于Xi ( ,n2 ),有, (3.6)等式成立的条件是X1X2 = Xn. 证明 在定理5中令,, 则代入定理5中(3.3)(3.4)式即可得(3.5)(3.6).注 在定理6中若令,
10、由于对正数,由于不等式恒成立,定理6就变为算术几何平均值不等式:,同理,若再令,由著名的柯西(Cauchy)不等式可得其推广形式取,得文3中证明的新的函数不等式.定理1和定理2中的函数不等式是m维空间某些函数不等式的一个共同来源,我们可把它们称为高维的“母”函数不等式.由它们我们还可得到乘积型、方幂型函数不等式等,限于篇幅,这些结果就不再一一列出了. 参考文献1匡继昌.常用不等式(第三版).山东科学技术出版社,2004年1月.P348-380.2李世杰.一个重要的“母”函数不等式 J.抚州师专学报,1999(3):3740.3黄仁寿.一个新的函数不等式J.数学通讯,1993(6):23.4CO
11、NSTANTIN P, Convexity According to the geometric meanJ.Mathematical Inequalities Applications ,2000,(2):155-167.5李世杰.凸函数Jensen不等式的一个推广及应用J.江西:抚州师专学报(自然科学版),1988,(3):3037.作者简介:李世杰, 1960年12月生,男,浙江省东阳人,中学高级教师,理学士,1983年毕业于杭州大学数学系 现为浙江省数学学会理事,浙江省中数会常务理事,衢州市数学会秘书长,学术委员会主任,衢州市中数会副理事长,中国不等式研究小组成员.研究方向:解析不等式及数学教学.详细通讯地址: 324002 浙江省衢州市教育局教研室 李世杰联系电话: 0570-8602615(小灵通),电子邮箱: ,