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1、第2课时 简易逻辑-逻辑联结词和四种命题,1.命题：可以判断真假的语句。,知识点归纳：,2.逻辑联接词：“或”、“且”、“非”,3.简单命题：不含逻辑联结词的命题。,4.复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题。,5.三种形式：p或q、p且q 、非p,6.真假判断：p或q，同假为假，否则为真； p且q，同真为真，否则为假； 非p，真假相反,7.四种命题： 原命题：若p则q； 逆命题： 若q则p； 否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p,互为逆否的两个命题是等价的,8.反证法步骤： 假设结论不成立=矛盾=假设不成立,9.充要条件： 条件p成立=结论q成立， 则称条件p是结论q的充分条件； 结论
2、q成立=条件p成立， 则称条件p是结论 q的必要条件； 条件p成立结论 q成立， 则称条件p是结论q 的充要条件。,例1.分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、 “p”形成的复合命题。 （1）p： 是无理数， q ： 是实数。 （2）p：5是15的约数， q：5是20的约数。,解：（1）p或q： 是无理数或实数。 p且q： 是无理数且为实数。 p： 不是无理数,（2）p或q： 5是15或20的约数。 p且q： 5是15也是20的约数。 p： 5 不是15的约数。,例2. 指出下列复合命题的形式及构成。 （1）若是一个三角形的最小内角，则不大于60O （2）一个内角为90o，另一个内角
3、为45o的三角形是等腰直角三角形。 （3）有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三角形。,解：（1）是非p形式的复合命题， 其中p：若是一个三角形的最小内角，则60o.,（2）是p且q形式的复合命题， 其中p：一个内角为90o，另一个内角是45o 的三角形是等腰三角形；q：一个内角为90o，另一个内角是45o 的三角形是直角三角形.,例2. 指出下列复合命题的形式及构成。 （1）若是一个三角形的最小内角，则不大于60O （2）一个内角为90o，另一个内角为45o的三角形是等腰直角三角形。 （3）有一个内角为60o的三角形是正三角形或直角三角形。,（3）是p或q形式的复合命题， 其中p：有一
4、个内角为60o 的三角形是正三角形； q：有一个内角为60o 的三角形是直角三角形.,例3. 写出命题“当 abc =0 时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。,分析：把原命题改写成“若p则q”的形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题。,解：原命题：若abc=0, 则a=0或b=0或c=0，是真命题.,逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0, 则，是真命题.,否命题：若abc0，则a0且b0且c0，是真命题.,逆否命题：若a0且b0且c0，则abc0，是真命题.,例4. 用反证法证明：如果 a b 0 ，那么,证明：假设 ，或 ，,分析：注
5、意反设时两种情况。,由于 a b 0，则由 ，有,、均与ab0矛盾，,例5.设集合M=x|x2, P=x|x3, 那么“xM或xP” 是 “xMP ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解：,“xM或xP”即“xMP=x|x2x|x3=R”,“xMP”即“xx|2x3”,显然“xMP” = xMP,所以选B,例6.下列各小题中，p是q的什么条件、 （1）p：a、b是整数，q：x2+ax+b=0有且仅有整数解。 （2）p：a+b=1，q：a3+b3+ab-a2-b2 =0,解：（1）必要条件,q = p成立，而 p =q 不成立,设 的解是
6、x1、x2，,由x1、x2是整数，x1+x2=-a, x1x2=b 得a、b是整数,（2）充分条件,即,而 q =p 不成立,例7.如果x、y是实数，那么 “xy0”是 “|x+y|=|x|+|y|”的 （ ）,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解：xy0 x、y同正或同负,xy0,但反之不能推出，如当 x=0，y=2时，有,成立，却没有xy0成立，所以选A,例8.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ）,A.0a1 B.a1 C. a1 D. 0a1 或a0,解一：当a=0时，原方程变形为一元一次方程2x+1=0, 有一个负的实根
7、；,当a0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是,即a1,设两根为x1、x2，,则有一负实根,有两个负实根,综上，a1,解二：排除法 当a=0时，原方程有一个负的实根，可排出A、D,例8.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ）,A.0a1 B.a1 C. a1 D. 0a1 或a0,当a=1时，原方程有两个相等的负实根，可排出B,所以选 C,例9.在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的什么条件？,解：在ABC中 a、b分别是角A、B的对边， R是ABC外接圆的半径，,一方面，因为AB, 所以ab，即2RsinA2RsinB 亦即 sinAsinB,从而ABC中 “
8、A sinAsinB,另一方面，因为sinAsinB, 所以2RsinA2RsinB , 即ab，得AB,从而ABC中 sinA AB,故ABC中 ，“AB” 是 “ sinA sinB”的充要条件,例10.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.,分析:证充分性就是证由a-b+c=0= ax2+bx+c=0有一个根为-1, 证必要性就是证由ax2+bx+c=0有一个根为-1=a-b+c=0,证明:先证充分性,若a-b+c=0, 此时把x=-1代入所给方程的左边得 a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=0 所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的根,
9、再证必要性,若x=-1方程 ax2+bx+c=0的根，则 a(-1)2+b(-1)+c=0，即a-b+c=0,综上可知：a-b+c=0是方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件。,【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：证充分性即证A=B，证必要性即证B=A，一定要使题目与证明中的叙述一致,2. 若a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假。,解题分析：认清命题的条件 p 和结论 q ，然后按定义写出逆、 否、逆否命题，最后判断真假。,解：逆命题：“若ax2+bx+c=0 (a、b、cR) 有两个不相等
10、的实数根，则ac0.,否命题：“若ac0，则方程ax2+bx+c=0 (a、b、cR) 没有两个不相等的实数根,” 是假命题。因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题。,逆否命题：“若方程ax2+bx+c=0 (a、b、cR) 没有两个不相等的实数根, 则ac0” 是真命题。因为原命题是真命题，它与原命题等价。,3.判断命题“若c0，则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.,解题分析：因为一个命题和它的逆否命题是等价命题，所以 只要判断原命题的真假即可。当然也可先写出它的逆否命题 然后判断真假。,解法一：c 0，4c 0，1+4c 0,y=x2+x-c 的判别式= 1+
11、4c 0,y=x2+x-c 的图像与 x 轴有两个交点。,原命题为真，而原命题与它的逆否命题等价，从而其逆否 命题为真。,解法二：原命题“若c0，则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题是“若y=x2+x-c的图象与x轴没有两个交点，则c0”.,y=x2+x-c 的图像与 x 轴没有两个交点。,= 1+4c 0，,若y=x2+x-c 的图像与 x 轴没有两个交点，则c0为真。,3.判断命题“若c0，则y=x2+x-c的图象与x轴有两个交点”的逆否命题的真假.,解法三：记p:c0，则 p 的真值集合为A=cR|c 0,记q:y=x2+x-c 的图像与 x 轴有两个交点，则 q 的真值集合 为B=cR|y=x2+x-c 的图像与x轴有两个交点=cR| c -1/4,p q,原命题为真，其逆否命题也为真。,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,误解分析,
