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1、1,消费者理论专题,2,2,消费者理论专题,从对偶理论开始分析,并且更为完整地讨论效用,间接效用与支出函数之间的关系. 考虑古典的“可积分问题”,并探求为了使价格与收入函数有资格成为一些效用最大化消费者的需求函数,它们应该满足什么条件? 提供显示偏好理论来替代效用函数. 不确定条件下的消费者行为分析.,3,2.1、对偶理论,支出最小化：,效用最大化：,意义：,当 、 时，效用最大化问题的解 和支出最小化问题的解相同，即：,4,2.1.1：支出函数和偏好关系,定理2.1由支出函数构建一个效用函数：对已知的任意的函数E(P,u):Rn+R+ R+ ，如果它满足支出函数的七个特征，则它是支出函数。即
2、有：,准备知识：支出函数的七个特征： 1.在u取最低效用水平时，支出函数e(p,u)为零 2.在定义域e: Rn+R+ R上连续 3.对于所有p0的，支出函数在u上递增并且无上界 4.在价格p上递增 5.在价格p上一阶齐次性 6.在价格p上为凹函数 7.如果效用函数严格拟凹，有谢泼德引理：,6,闭集,凸集,闭集,凸集,闭半空间:,7,定理2.1：支出函数效用函数：,函数E(p.u): Rn+R+ R+满足支出函数的七个特征，,，则由,定义的函数,u: Rn+ R+递增、无上界、拟凹。,8,证明：u(x)maxu0 xA(u)，而xA(u) 意味着有px E(p,u)(A(u)的定义) ，所以，
3、有：,1.证明上述定义有意义，即maxu0 px E(p,u) p0，有解。,u(x)maxu0 px E(p,u) p0，,E(p,u) px ， E(p,u) 有最大值， E(p,u)max=px, E(p,u) 在u上为增函数，所以E(p,u)在取最大值时，u取最大值：umax=。,9,证明:取x1x2，和p0, 有px1px2;根据u(x)的定义,有px2 E(p,u(x2 ),和 px1 px2 E(p,u(x2 ), x1A(u(x2),2.证明:u(x)递增:x1x2， u(x1 ) u(x2 ),但u(x1 ) 是满足x1A(u(x2)的最大效用u,因此,有u(x1 ) u(x
4、2 )表明u(x)是递增的.,10,3.证明无上界：,U()在Rn+上的无界性可借助E()关于p的递增性,凹性,齐次性与可微性等性质来证明,并且也可以借助事实,即u的定义域是在Rn+上的一切数.,11,4.证明拟凹：,取x1、x2，线性组合xt=tx1+(1-t)x2，t0,1 求证:u(xt)minu(x1), u(x2) 证明: 设u(x1)u(x2) E(p,u)在u上递增,有,12,根据u(x1)和u(x2)的定义,13,定理2.2：引致效用函数支出函数,函数E(p,u):Rn+ R+ R+满足支出函数的七个特征，u(x)为定理2.1中由函数得到的递增、无上界和拟凹函数。对于所有的非负
5、价格和效用，如果有,则，函数E为引致效用函数u(x)导致的支出函数。,14,证明：,关键证明对于所有的u(x)u，有：,证明：,固定p00, u00,并设u(x)u0,根据u(x)的定义， 有pxE(p,u(x).函数满足支出函数七特征， 在u上递增，所以有pxE(p,u0),这适用于所有的p00 ， 因此，对于任意给定的价格向量p0，对于任意的x，有：,其中 ,x满足 u(x)u0,其中 ,x满足 u(x)u0,15,证明：,16,17,18,2.1.3 间接效用与消费者偏好,对偶性允许我们如何由支出函数分析走向直接效用函数分析. 定理2.1是从支出函数构造效用函数;定理2.2是引致效用函数
6、构造支出函数.支出函数与间接效用函数是如此密切联系，彼此互逆. 由间接效用函数开始分析并可以最终返回到潜在的直接效用函数. 这一节将概括直接与间接效用函数之间的对偶性.,19,定理2.3：间接效用函数和直接效用函数的对偶性,20,21,22,23,24,NOTES:,我们刚获得的最后的对偶性结论与消费者的反需求函数相关. 在整个第二章里,我们集中考察普通的马歇尔需求函数-这里需求量可被表达成价格与收入的函数. 我们可以将商品i的需求价格视为商品i的一切其他商品的数量地方函数,并可以写成pi= pi(x). 对偶性理论为推导消费者反需求函数方程组提供了一个简单方法-定理2.4(对偶性与反需求方程
7、组.,25,定理2.4：Hotelling定理,u(x)为消费者的直接效用函数，在收入为y=1时, 对商品i的反需求函数为pi(x)为,26,证明：,对最小化问题求解，构造拉格朗日函数：,P(x)x=1,(P.1),27,28,2.2 可积分性,需求函数的特征： 预算平衡性 零阶齐次性(可借助预算平衡性与对称性推出) 对称的的替代矩阵 负半定的替代矩阵 Cournot加总 Engel加总,29,定理2.5,定理2.6:可积分定理,30,定理2.5：预算平衡性与对称性蕴涵齐次性,31,32,33,34,35,36,37,2.3:显示性偏好,偏好基础上的（公理性）消费者理论： 偏好关系消费者需求
8、效用最大化：,消费者需求x(p,y)的特征： 预算平衡性 负半定性 对称性,曾经做的工作,38,选择基础上的消费者理论：,消费者的选择行为需求函数 消费者的选择行为： 选择函数x(p,y)，在价格为p收入为y时，消费者选择的商品束为x(p,y) 。,需求函数： x(p,y) ，定义：P.21： “效用最大化问题的解x(p,y) 在被看作是价格p和 收入y的函数的时候，被称为需求函数”。 选择函数不是需求函数x(p,y) 。,求证：在消费者的行为即选择函数x(p,y)满足某些条件时，该 选择函数为需求函数，即该选择函数是效用最大化问题的解。,打算做的工作,39,方法：一体性定理：,连续可导的函数
9、x:Rn+1+ (Rn+ R+) Rn+ 在满足预算平衡性、对称性和负半定性特征时，它是由某个递增的、拟凹的效用函数产生的需求函数。,求证：选择函数x(p,y)连续可导且满足预算平衡性、对称性和负半定性,证明步骤： 1.选择函数必须满足显示性偏好弱公理（WARP） （只有满足WARP的选择行为才有意义选择具有一致性）。 2.（假设）选择函数x(p,y)满足预算平衡性 3.证明选择函数x(p,y)满足零阶齐次性 4.证明选择函数x(p,y)满足负半定性 5.证明选择函数x(p,y)满足对称性 6.应用一体性定理,40,显示（性）偏好：,在某一价格p和收入水平y下，如果两个不同的消费束x0和x1都
10、是消费者能够支付得起的(p x0y ， p x1y),消费者选择了x0而没有选择x1 ，则说，消费者的这一选择行为揭示出在消费束x0和x1之间，消费者偏好x0 。 此定义存在的问题：,41,显示性偏好的弱公理（WARP）：,某消费者在价格p0下选择x0 ，在价格p1下选择了x1 ，x0和x1是不同的消费束，如果p0 x1 p0 x0 ，有p1 x1 p1 x0则说该消费者的行为满足WARP。 换句话说，如果消费者的行为揭示出消费者偏好x0甚于偏好x1 ，而x1始终没有被揭示出优于x0 ，则说该消费者的选择行为满足显示性偏好的弱公理（WARP）。,42, ,如果p0 x1 p0 x0 :在价格p
11、0下 ，两个消费束都是可支付得起的； 在价格p0下, 消费者选择了 x0 ，根据显示性偏好的定义， x0 x1 ，这意味着只要两个消费束都是可支付得起的，消费者将始终选择x0 ； 在价格 p1下，消费者选择x1而没有选择x0 ，这意味着在这一价格水平p1下， x0是消费者支付不起的，即p1 x1 p1 x0 。,43,显示性偏好的意义：,消费者行为具有一致性，不“朝三暮四”。,44,假设消费者行为满足显示性偏好的弱公理。,1.选择函数x(p,y)必须满足显示性偏好弱公理（WARP）（只有满足WARP的选择行为才有意义选择具有一致性）。 2.（假设）选择函数x(p,y)满足预算平衡性 3.证明选
12、择函数x(p,y)满足零阶齐次性 4.证明选择函数x(p,y)满足负半定性 5.证明选择函数x(p,y)满足对称性 6.应用一体性定理,证明步骤：,45,选择函数x(p,y) ：不是需求函数 （假设）选择函数满足预算平衡性：px(p,y)=y,消费者行为x(p,y) 必须满足显示性偏好的弱公理 必须满足预算平衡性,46,证明选择函数x(p,y)满足零阶齐次性,证明： 设在任意价格p0和收入y0下，消费者选择x0 ；在价格p1和 收入y1下，消费者选择x1 。设p1 =tp0, y1 =ty0,求证：对于所有的t0，有x(tp,ty)=x(p,y),求证： x0 =x1,假设x0和x1 是两个点
13、，根据预算平衡性假设，有,(1.1),(1.2),47,将p1=tp0,y1=ty0,代入到（1.2）中，得到 p0 x1=y0 （1.3） 也就是说，在价格p0和收入y0下，x0和x1都是消费者能够支付得起的商品束，但是消费者选择了x0 ，因此，消费者偏好x0 ，根据WARP，,（1.4）,但是，把p1=tp0,y1=ty0,代入到（1.1）中，得到 （1.4）和（1.5）相矛盾，所以x1和x0是同一个点。,（1.5）,48,证明选择函数x(p,y)负半定,（2）（1）,49,固定z,令t变化且其取值使p0+tzR ,有,令t=0,。,50,51,证明：选择函数x(p,y)满足对称性,当选择
14、函数具有三项特征时，为需求函数。 而根据定理2.1和2.2，支出函数能够衍生出效用函数。也就是说，选择函数是该支出函数衍生出的效用函数的解：需求函数。需求函数肯定满足WARP.,假设选择函数x(p,y)满足对称性。根据一体性定理，该选择函数为需求函数。存在支出函数e(p,u)，它与选择函数x(p,y)有下列关系,52,证明：,选择函数为需求函数时，效用函数使所观察到的行为合理化。 两种商品情况下：WARP和预算平衡性意味着齐次性和负半定性，预算平衡性和齐次性意味着对称性，所以选择函数是需求函数。 多种商品情况下：WARP和预算平衡性无法导出对称性。 显示性偏好的强公理：定义了显示性偏好关系中的
15、传递性。 结论：消费者行为满足WARP、SARP和预算平衡性时，选择函数为需求函数。,53,2.4:不确定性条件下的选择：,确定性条件下的选择：消费束 不确定性条件下的选择：概率分布赌局 概率分布：Pi ， Pi =1, Pi0 结果的有限集： ai ，i=1,n,54,假设期末考试成绩简单分为三档： 0,60,100,获得各个分数的概率为：u(0), u(60), u(100),A：0.8,0.1,0.1 B：0.2,0.6,0.2 选择：B,A：0.8,0.1,0.1 C：0.2,0.2,0.6 选择：C,B：0.2,0.6,0.2 C：0.2,0.2,0.6 选择：C,解释：目标：获得尽
16、可能高的分数 选择变量：概率分布假设成绩简单分为两种 0,60,10060,80,100 两种情况下获得各个分数的概率都为A:0.8,0.1,0.1 选择：,55,，,结果的有限集：,A上的概率分布：,被称为简单的赌局的集合或简单的概率分布的集合。,，概率分布为A1：,，概率分布为A2：,选择：A2,56,复合赌局：赌局的结果为赌局,彩票： 复合彩票： 赌局集合的几何表示： 单纯形,57,复合赌局简单化：,g是由复合赌局gf诱生的简单赌局,58,确定性条件下的选择：,不确定条件下的选择：,效用函数如何表示？ 偏好关系的公理如何确定？ 不确定性条件下，消费者在概率分布集合G上 有偏好关系 ，满足以下定理：,1：完备性公理 2：传递性公理 3：连续性公理 4：单调性公理 5：替代性公理 6：复合赌局简单化公理,59,1：完备性公理,对于赌局集合G中的任何两个赌局g和g，有或者gg，或者g g 。 例子 假设期末考试成绩简单
