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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 1,0,1M，0,1,2N，则MN A.1,0,1B.1,0,1,2C. 1,0,2D.0,1 2已知复数Z 满足(34 )25i z，则 Z= A.34iB.34iC.34iD.34i 3若变量, x y满足约束条件12 1 yx xyzxy y 且的最大值和最小值分别为m和n，则 mn B.7 4若实数k满足0 9k ，则曲线 22 1 259 xy k 与曲线 22 1 259 xy k 的 A.离心率
2、相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等 5已知向量1,0, 1a，则下列向量中与a成60夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1） 6已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视 形成原因，用分层抽样的方法抽取2的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分 别是 ,20 ,20 ,10 ，10 7若空间中四条两两不同的直线 1234 , ,llll，满足 122334 ,llllll，则下面结论一定正确的 是 A. 14 ll B. 14 / /ll C. 14 ,ll既不垂直也不平行D.
3、 14 ,l l的位置关系不确 定 8 设 集 合 12345 =, 1,0,1,1,2,3,4,5 i Ax xx xxxi， 那 么 集 合A中 满 足 条 件 “ 12345 13xxxxx”的元素个数为 B.90 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分 （一）必做题（913 题） 9不等式521xx的解集为。 10曲线2 5x ey在点)3 ,0(处的切线方程为。 小学生 3500 名 初中生 4500 名 高中生 2000 名 小学初中 30 高中 10 年级 50 O 近视率 /% 11从 0,1,2,3,4,5,6,7,8，9 中任取七个不同的
4、数，则这七个数的中位数是6 的概率为。 12 在ABC中，角CBA,所对应的边分别为cba,， 已知bBcCb2coscos， 则 b a 。 13 若等比数 列 na的各项均为正数，且 5 1291110 2eaaaa，则 1220 lnlnlnaaa。 （二）选做题（14 15 题，考生从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 1 C和 2 C的方程分别为 2 sincos和 sin1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲 线 1 C和 2 C交点的直角坐标为_. 15 （几何证明选讲选做题）如图3, 在平行四边形ABCD中，
5、 点E在AB上且AEEB2，AC与DE交于点F，则 的面积 的面积 AEF CDF 三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分12 分）已知函数RxxAxf), 4 sin()( ，且 2 3 ) 12 5 (f， （1）求A的值； （2）若 2 3 )()(ff，) 2 ,0(，求) 4 3 (f。 17 （本小题满分13 分）随机观测生产某种零件的某工厂25 名工人的日加工零件数（单位： 件） ， 获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,3
6、2,34,46,39,36。 根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组频数频率 25,30 3 (30,35 5 (35,40 8 (40,45 n1f1 (45,50 n2 f2 （1）确定样本频率分布表中 121 ,n nf和 2 f的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3） 根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4 人， 至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30,35 的概率。 C E A B F D 18 （本小题满分13 分）如图4，四边形ABCD为正方形， PD平面ABCD， 0 30DPC，AFPC于点F， / /FECD，交PD于点E. （1）证明：
7、CFADF平面 （2）求二面角DAFE的余弦值。 19 （本小题满分14 分）设数列 n a的前n和为 n S, 满足 2* 1 234 , nn Snann nN，且 3 15S， (1) 求 123,a aa的值 ; (2) 求数列 n a 的通项公式。 AB C D E F P 20 （本小题满分14 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点为(5,0)，离心率为 5 3 ， （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点 00 (,)P xy为椭圆外一点， 且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。 21 （本小题满分14 分）设函数 222 1 ( )
8、 (2)2(2)3 f x xxkxxk ，其中2k， （1）求函数( )f x的定义域D（用区间表示） ； （2）讨论函数( )f x在 D上的单调性； （3）若6k，求 D上满足条件( )(1)f xf的x的集合（用区间表示） 。 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科）参考答案 ： BACD BADD; . 解：A中元素为有序数组 12345 ,x xx x x，题中要求有序数组的5 个数中仅1 个数为1、 仅 2 个数为 1或仅 3 个数为1， 所以共有 123 555 222222130CCC个不同数组； 9.(, 3)(2,); 10.53yx; 11. 1
9、6 ; ; ; 14.(1,1); ; 11. 解： 6 之前 6 个数中取3 个， 6 之后 3 个数中取3 个， 33 63 3 10 1 6 CC P C ； 16. 解： （1） 553 ()sin() 121242 fA， 33 22 A，3A；()f( )f （2） 3 ( )()3sin()3sin() 442 ff， 223 3(sincos )( sincos ) 222 ， 3 6 cos 2 ， 6 cos 4 ，又) 2 ,0(， 2 10 sin1cos 4 ， ) 4 3 (f 30 3sin()3sin 4 17. 解： （1） 12 7,2nn， 12 0.28
10、,0.08ff； （2）样本频率分布直方图为 （3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35 的概率， 设所取的4 人中，日加工零件数落在区间（30,35 的人数为，则(4, 0.2)B， 4 (1)1(0)1(10.2)10.40960.5904PP， 所以 4 人中，至少有1 人的日加工零件数落在区间（30,50 的概率约为 18. （）PD平面ABCD， PDAD，又CDAD，PDCDD， AD平面PCD， ADPC，又AFPC， PC平面ADF，即CFADF平面； 日加工零件数 频率 组距 25 30 35 40 45500 （）设1AB，则Rt PDC中，1CD
11、，又 0 30DPC， 2PC，3PD，由（）知CFDF 3 2 DF， 22 7 2 AFADDF， 22 1 2 CFACAF，又/ /FECD， 1 4 DECF PDPC ， 3 4 DE，同理 33 44 EFCD， 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)A， 3 (,0,0) 4 E， 3 3 (,0) 44 F，( 3,0,0)P，(0,1,0)C， 设( , , )mx y z是平面AEF的法向量，则 mAE mEF ，又 3 (,0,0) 4 3 (0,0) 4 AE EF ， 所以 3 0 4 3 0 4 m AExz m EFy ，令4x，得3z，(4
12、,0,3)m， 由（）知平面ADF的一个法向量(3,1,0)PC， 设二面角DAFE的平面角为，可知为锐角， | cos|cos,| | | m PC m PC mPC 4 32 57 19 192 ，即所求 19. 解： 23 420Sa， 3233 520SSaa，又 3 15S ， 3 7a， 23 4208Sa，又 212222 (27)37SSaaaa， 2 5a， 112 273aSa， 综上知 1 3a， 2 5a， 3 7a； （）由（）猜想21 n an，下面用数学归纳法证明 当1n时，结论显然成立； 假设当nk（1k）时，21 k ak， 则 3(21) 357(21)(2
13、) 2 k k Skkk k，又 2 1 234 kk Skakk， 2 1 (2)234 k k kkakk，解得 1 246 k ak ， 1 2(1) 1 k ak ，即当1nk时，结论成立； 由知，*,21 n nNan 20. 解： （）可知5c，又 5 3 c a ，3a， 222 4bac， 椭圆 C的标准方程为 22 1 94 xy ； （）设两切线为 12 ,ll， 当 1 lx轴或 1/ / lx轴时，对应 2 / /lx轴或 2 lx轴，可知( 3, 2)P； A B C D E F P x y z 当 1 l与x轴不垂直且不平行时， 0 3x，设 1 l的斜率为k，则0
14、k， 2 l的斜率为 1 k ， 1 l的方程为 00 ()yyk xx，联立 22 1 94 xy ， 得 222 0000 (94)18()9()360kxykxkxykx， 因为直线与椭圆相切，所以0，得 2222 0000 9()(94)()40ykxkkykx， 22 00 364()40kykx， 222 0000 (9)240 xkx y ky 所以k是方程 222 0000 (9)240 xxx y xy 的一个根， 同理 1 k 是方程 222 0000 (9)240 xxx y xy的另一个根， 1 ()k k 2 0 2 0 4 9 y x ，得 22 00 13xy ，
15、其中 0 3x， 所以点P的轨迹方程为 22 13xy（3x） ， 因为( 3, 2)P满足上式，综上知：点P的轨迹方程为 22 13xy 21. 解： （）可知 222 (2)2(2)30 xxkxxk， 22 (2)3 (2)10 xxkxxk， 2 23xxk或 2 21xxk， 2 (1)2xk ( 20)k或 2 (1)2xk (20)k， |1|2xk或|1|2xk， 12k12xk或12xk或12xk， 所以函数( )f x的定义域D为 (,12)k( 12,k12)k( 12,)k； （） 2 3 222 2(2)(22)2(22) ( ) 2 (2)2(2)3 xxkxx f
16、x xxkxxk 2 3 222 (21)(22) (2)2(2)3 xxkx xxkxxk ， 由( )0fx得 2 (21)(22)0 xxkx，即(1)(1)(1)0 xkxkx， 1xk或11xk，结合定义域知12xk或 112xk， 所以函数( )f x的单调递增区间为(,12)k，( 1,12)k， 同理递减区间为( 12,1)k，( 12,)k； （）由( )(1)f xf得 2222 (2)2(2)3(3)2(3)3xxkxxkkk， 2222 (2)(3) 2(2)(3)0 xxkkxxkk， 22 (225) (23)0 xxkxx， (124)(124) (3)(1)0 xkxkxx， 124xk或124xk或3x或1x， 6k，1( 1,12)k，3( 12,1)k， 12412kk，12412kk， 结合函数( )f x的单调性知( )(1
