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1、第四节 有理函数的积分,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,例3,整理得,例4 求积分,例4 求积分,解,例5 求积分,例5 求积分,解,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有
2、限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,例6 求积分,解,由万能置换公式,例7 求积分,解（一）,解（二）,特别注意,对于三角函数有理式的积分, 万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例8 求积分,解 令,三、简单无理函数的积分,例9 求积分,例9 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,例10 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公
3、式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结,第五节 积分表的使用,（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.,（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.,（4）积分表见高等数学（五版）上册 （同济大学数学教研室主编）第347页,（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果.,一、关于积分表的说明,例1 求,被积函数中含有,在积分表（一）中查得公式（7）,现在,于是,二、例题,例2 求,被积函数中含有三角函数,在积分表（十一）中查得此类公式有两个,选公式（105）,将 代入得,例3 求,表中不能直接查出, 需先进行变量代换.,令,被积函数中含有,在积分表（六）中查得公式（37）,将 代入得,例4 求,在积分表（十一）中查得公式（95）,利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式.,现在,于是,对积分 使用公式（93）,说明,初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.,例,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,思考题,思考题解答,分解后的部分分式必须是最简分式.,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？,思考题,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,
