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1、,计算流体力学讲义2011 第二讲 双曲型方程组及间断解 李新亮 ；力学所主楼219； 82543801,知识点： 双曲型方程的特征方程 双曲型方程的弱解及熵条件 Riemann间断解 精确解、近似解初步,1,讲义、课件上传至 (流体中文网） - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” 下载地址2： http:/cid-,Copyright by Li Xinliang,2,知识回顾,1. 流体力学基本方程,概念： 连续介质假设； Euler描述/Lagrange描述,N-S方程 描述 质量、动量、能量守恒 的方程组 流通量： 单位时间内通过垂直于x/y/z 轴单位面积的 质量、动量、能量,无
2、量纲量： 物理量与参考量（特征量）之比,2. 偏微分方程（组）及其类型,解耦成N个独立的方程 双曲型,有N个实特征根（含重根） N个独立特征向量,全部为复特征根,有1个N重特征根 独立特征变量数N,抛物型,椭圆型,特征线； 特征相容关系；,双曲方程边界条件提法,方法： 独立给定j个方程的边界条件 如果 lj0, 则在左端给定vj的边界条件 如果 lj0, 则在右端给定vj的边界条件,Copyright by Li Xinliang,3,一维Euler方程,3,变系数方程组的情况,令：,令,（行向量）,在x-t空间引入曲线：,满足：,1. 双曲型方程组的特征方程,Copyright by Li
3、Xinliang,4,（变系数情况）虽然不能解耦，但能转换成常微方程组,2.1 双曲型方程组,矩阵B的特征值,若不考虑粘性，流体微团运动过程中熵不变； 如果来流熵均匀分布，则全流场熵均匀分布,均熵运动情况下，能量方程可用熵为常数替代,一维均熵流动控制方程（Euler方程简化版）,沿特征线1：,有：,沿特征线1： R不变,（1）转化为,x,t,参数方程,特征线,参数方程,寻找积分因子,设,注意：声速c 是温度的函数，可不是常数！ c2 T ( c2 就是温度啊！）,绝热关系式,8,知识点，牢记！,一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变,x,t,特征线1,特征线2,同理推导，,沿特征线2
4、：,在（x,t）空间：,沿特征线1：,沿特征线2：,A,B,C,扰动源 扰动向两侧传播,扰动波以当地声速向两侧传播,观测者,感受到两侧的扰动,例2.1： 有限振幅波的传播问题,考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时刻（t=0）流动状态如下：,试分析t=t0时刻的流动状态 （假设流场不出现间断）,不同时刻的速度分布（A=1）,不同时刻的速度分布（A=0.01）,思考题： 小扰动的传播情况？,数值解,利用特征线，分析不同区域的差异,等（均）熵情况下，同族特征线不会相交,Copyright by Li Xinliang,9,目的： 学会如何运用Riemann不变量解题,Copyright by
5、Li Xinliang,10,一维扰动波的传播 （上： A=1; 下： A=0.01）,大扰动，非线性波,小扰动，线性波,基本解题思路： 利用特征关系,1,2,3,x,t,解出 x1, x2,利用Riemann不变量得：,解出,区域（2），（4） 未扰动,区域（1）内的流动使用基本方法计算,区域（3）内的计算可简化,A B,D,C,E,F,G,(3) 区内的波传播速度为常数，且在传播过程中物理量保持不变 简单波 特征线为直线,注意：,因而方程是非线性的,给定x3,t3 利用,Copyright by Li Xinliang,11,（假设t3充分小）,解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻,概念：
6、 简单波,区域 （3） 内扰动波的传播特点,考虑 （3）区内的, 同属一条特征线M 上的任意两个点4 和5：,由于点1 和点3 均在未扰动区：,在（3）区内， 所有物理量（u,c）沿特征线M不变 特征保持直线，特征波传播速度不变,简单波,Copyright by Li Xinliang,12,Copyright by Li Xinliang,13,各区物理含义,x,t,（1）,（2）,（3）,（4）,x,扰动区,t=0时刻,t=t1时刻,右行波,左行波,区域（1），感受到左、右波的影响,区域（3），仅感受到左行波的影响 简单波,区域（2），尚未感受到波,x,t=t2时刻,区域（4），波已传播过
7、去，恢复平静,波型、波速不变,3. 双曲型方程的间断解,双曲方程的特点： 扰动波传播速度有限 可能产生间断,弱间断： 函数连续，但导数间断 （如稀疏波的波头、波尾） 强间断： 函数本身间断 （如激波、接触间断）,流体力学控制方程： 积分型 （假设函数连续、光滑） 微分型,间断处虽然无法满足微分型方程， 但积分型方程（三大守恒律）仍然满足,例： 激波两侧关系,原则： 连续区需满足微分方程 间断两侧必须满足积分方程,Copyright by Li Xinliang,14,z,4. 双曲型方程的弱解及熵条件,1） 弱解,若u(x,t)在除有限条间断外连续可微且满足方程（1）； 且在间断线 满足：,（
8、1）,Copyright by Li Xinliang,15,则称 u(x,t)是方程（1）的弱解,“间断处满足积分方程”,任意控制体,Green 公式,充分小的积分路线,两侧均视为常值,间断传播的速度,快速记忆法：,Copyright by Li Xinliang,16,弱解不是唯一的,例：,弱解：,t时刻的分布：,全部都满足,物理模型,三个全都是弱解,初始条件：,物理解：,概念：双曲型方程（1）的“物理解”,当： 时收敛到的解,Copyright by Li Xinliang,17,2） 熵条件,定理： 若u(x,t) 是（1）的弱解，且在间断处满足：,其中w是介于u+及u-之间的任意值。
9、 则u(x,t)是唯一的物理解。,物理含义： 特征线汇聚 间断,特征线 (斜率 u),不满足熵条件， 非物理,特性线向间断处汇聚 满足熵条件,特征线,特性线从间断处发散 不满足熵条件,2. 2 Riemann间断解,1. Riemann问题,一维无粘流动初始间断的演化问题,例子： 激波管问题,间断条件：,质量、动量、能量守恒,Copyright by Li Xinliang,18,Sod激波管问题密度（上）、压力（中）及速度（下）分布,Copyright by Li Xinliang,19,Riemann问题对CFD的意义,A,1,2,3,4,有限体积法示意图,目的： 计算A点所在界面的通量
10、（以便获知控制体内物理量的变化）,1） 利用数值方法（“插值”），用（偏）左侧点的值计算出 用（偏）右侧点的值计算出,A点物理量有两个值，如何处理？ 当做Riemann问题处理！,2） 求解Riemann问题 （界面左侧为 右侧为 ）获得穿过界面的通量,Riemann问题求解思路： a) 精确解：利用空气动力学 （积分关系式+特征线） b) 近似解： 积分近似、微分近似,流场中可能出现的三种波： 激波： 强间断，满足R-H 关系式 接触间断： 特殊间断，仅密度突变 （两侧速度、压力相同） 膨胀波： 等熵波,间断条件： R-H关系式,质量、动量、能量守恒,初始值不满足间断关系，会分解成三个波独立
11、传播,Copyright by Li Xinliang,20,质量通量守恒,动量通量守恒,能量通量守恒,随激波运动，厚度充分小的控制体,如果 ， R-H关系显然成立,Sod 激波管起动后气流演化过程示意图,膨胀波 接触间断 激波,示意图,一般情况：五种可能,x,t,激波 接触间断 激波,膨胀波 接触间断 激波,激波 接触间断 膨胀波,膨胀波 接触间断 膨胀波,膨胀波 膨胀波,（1） （2）,（3） （4）,（5）,分析,Copyright by Li Xinliang,21,动画演示： 密度的演化,2. 求解方法 针对每种情况分别考虑； 利用积分关系，将微分方程化成代数方程计算,激波 接触间断
12、 激波,Zone: 1 3 4 2,积分关系式（RH关系）： 1-3 两区,2-4 两区,6个方程，6个未知数。可解！,其中：,1) 情况（1）： 左、右激波,Copyright by Li Xinliang,22,1-3 两区关系式,2-4 两区关系式,求解思路： 消元法,3个方程，4个未知数,设压力已知，解出速度,联立方程，得：,1方程，1未知数，可解；例如：Newton法,x,y,Newton法 示意图,解出p*后，代入原方程，求出其余未知数,左行激波,右行激波,Copyright by Li Xinliang,24,情况2 ： 右激波、左膨胀波 Sod 激波管问题属于该情况,预备知识：
13、 膨胀波（稀疏波）,高压,低压,Sod 激波管问题，t=0.14时刻压力分布,波头,波尾,膨胀波,膨胀波,膨胀波 接触间断 激波,x,t,膨胀波： 内部物理量连续、光滑 头、尾物理量连续，但导数不连续（弱间断）,膨胀波两侧物理量的关系式：,1）熵不变 2） Riemann不变量不变,Copyright by Li Xinliang,25,方法： 先计算（3），（4）两区的值；再计算膨胀波内部（5）区的值,（1）,（2）,（5）,（3）,（4）,2-4 两区关系式 （激波RH关系）：,1-3两区关系式 （等熵关系式）：,5个方程，5个未知数，方程可解！,为什么未知数个数比双激波的情况少1个？,求
14、解方法与双激波情况相同，先解出（3），（4）区速度对压力的依赖关系,Copyright by Li Xinliang,26,激波、膨胀波前后速度-压力的依赖关系可写成统一的形式：,左波 （激波或膨胀波）：,右波（激波或膨胀波）,（ 表示（3）（4）区的速度和压力）,其中：,激波,膨胀波,得到方程：,(*),1 个方程， 1个未知数，可解,求解(*) 得到3,4两区的压力,然后，解出速度和密度,膨胀波内部物理量的计算,x,t,x,t,波头,波尾,处理方法： 1） 计算膨胀波的范围 波头传播速度 波尾传播速度,（1）,（2）,（5）,(3),(4),2）在膨胀波区内，利用特征相容关系计算 利用简单
15、波的特性，简化计算,简单波,x=0,特征线由x=0发出,再利用另一条特征线的信息：,解出,再利用等熵关系，计算,Copyright by Li Xinliang,27,Copyright by Li Xinliang,28,求解步骤,step1. 求解方程 (*)， 解出 3，4区的压力 单未知数代数方程；数值方法求解,其中：,step 2. 求出3，4区的速度、密度、激波移动速度,step 3. 计算出稀疏波区的量,针对情况1， 求解完成； 对于情况2 继续step 3,其中各区的范围如下 （以情况2 讨论）：,1 区： 5 区： 3 区： 4 区： 2 区：,以上步骤完全适用于 情况3， 4， 5 （因为*式同时适用于激波和稀疏波）,Riemann 问题五种可能情况,
