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1、二、微分的几何意义,三、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则,四、微分在近似计算中的应用,一、微分的定义,第五节 函数的微分,第二章,一、微分的定义,实例: 正方形金属薄片受热后面积的改变量.,则,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的增量都有?它是什么?如何求?,的相应于增量x 的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,说明:,已知,在点 可微 ,即,故,在点 的可导,且,定理: 函数,即,在,可微的充要条件是,已知,即,在点 的可导,则,例1.,解:,在 x =
2、 3处的微分为,例2.,解:,所以,二、微分的几何意义,M,N,）,如图,Q,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,微分的求法:,1. 基本初等函数的微分公式 (对照表),先计算函数的导数再乘以自变量的微分.,2. 函数和、差、积、商的微分法则,3. 复合函数的微分法则,结论:,微分形式的不变性,4. 微分形式不变性,例3.,解:,例4.,解法1:,利用先求导数再求微分的方法,解法2:,利用微分形式不变性.,例5.,解:,例6.,解:,根据积的微分法则,例7.,解:,根据商的微分法则,方程两边求微分, 得,已知,求,解：,例8.,利用微分形式不变性,例9.,解:,在所给方程两端分别求微分,
3、整理得,例10.,解:,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,所以,很小时, 有近似公式,故当,1. 函数的近似计算,四、微分在近似计算中的应用,从几何上解释即用切线近似取代曲线(邻近).,则,已知球体体积为,镀铜体积为,例11.,有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,估计一下,每只球需用铜多少克.,解:,因此每只球需用铜约为,(g).,镀铜体积 = 球体积增量,例12.,解:,2. 工程上常用的近似公式,例13.,解:,*3. 微分在估计误差中的应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,则,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,例14.,解:,计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,
