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1、1 连续函数的概念,一、函数在一点的连续性,三、区间上的连续函数,二、间断点的分类,定义1,由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续,一、函数在一点的连续性,性的，换句话说连续就是指,例如：,这是因为,又如：函数,连续性的另外一种表达形式.,对任意的存在 当时,应的函数(在 y0 处)的增量,为狄里克雷函数.,证,注意:上述极限式决不能写成,例1,由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0,类似于左、右极限，我们引进左、右连续的概念.,要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.,极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还,x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说,有极限与在点
2、 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点,定义3,很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数,有定义，若,的定义可得：,例2 讨论函数,解 因为,点击上图动画演示,综上所述,所以,二、间断点的分类,定义4,定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却,由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在,点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:,或不连续点.,在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点,等于f (x0).,根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：,1. 可去间断点: 若,一个可去间断点.,注 x0 是 f (x) 的跳跃间断点与函数 f 在
3、点 x0 是,点, 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断,点.,否有定义无关.,例3,所以,并且是 的一个可去间断点.,例4 讨论函数,在 x = 0 处是否连续？若不连续，则是什么类型的,2.若点x0是 的可去间断点,那么只要重新定,x0 连续.,间断点？,所以 f (x) 在 x = 0处右连续而不左连续,从而不,断点是跳跃间断点.,连续. 既然它的左、右极限都存在，那么这个间,例5,解 因为由归结原理可知，,均不存在，,点？,三、区间上的连续函数,若函数 f 在区间I上的每一点都连续,则称 f 为 I,别指右连续和左连续.,数在该点连续是指相应的左连续或右连续.,上的连续函数.对于闭区间或半闭区间的端点,函,如果函数 f 在a,b上的不连续点都是第一类的,复习思考题,能要添加或改变某些分段点处的值).,是由若干个小区间上的连续曲线合并而成(当然可,一个按段连续函数.从几何上看,按段连续曲线就,并且不连续点只有有限个,那么称 f 是a,b上的,
