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1、1,点 集 拓 扑 学,授课教师 王彦英,河北师范大学数学与信息科学学院,2008 年 3 月,2,拓 扑 学 导 论,拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何 不同的几何学分支 研究对象：一般的几何图形（拓扑空间） 中心任务：研究几何图形的一类性质即所谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏几何中研究的长度、角度、面积等不同。,3,平面欧氏几何的研究对象与内容 研究对象：直线和圆构成的图形 研究内容：长度、角度、面积、全等； 两图形全等即经过平移、旋转、对称两 图形重合；而长度、角度、面积经过上 述正交变换保持不变。 结论：欧氏几何研究图形在正交变换 下的不变性和不变量。,4,与拓扑性质相关的几个例
2、子 一笔画问题 哥尼斯堡七桥问题 四色问题,6,7,欧拉的结论,欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。,8,一笔画问题的特点,该问题与线段的长短曲直、交点的准确方位、面积、体积无关。重要的是图形中点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。,9,哥尼斯堡七桥问题,哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布勒格尔河的
3、两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海。河心有一个小岛。河水把城市分成了块，于是，人们建造了座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天，座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的座桥，而且每座桥都只通过一次？ 这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展。七桥问题难住了哥尼斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因七桥问题而出了名。,10,七 桥 问 题,11,欧拉的解法,哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧拉的兴趣。他知道，如果沿着所有可能的路
4、线都走一次的话，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时间。实际上，欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题。,12,欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是4个点。7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意画7条线来表示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问题，从而否定了问题的答案。,13,对七桥问题的反思,七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以前欧氏几何学里没有研究过的几何问题。在以前的几何学里，不论怎样移动图形，它的大小和形状都是不变的；而欧拉在解决七
5、桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交点的准确方位、面积、体积等概念，都变得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的结论。 很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。,14,四 色 问 题,15,以上几个问题显示出几何图形的一类新的几何性质。这类性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等等都无关，他们不能用欧氏几何的方法来处理，它们的特点是：在“弹性变形” 下保持不变，研究这类新问题的几何学，欧拉称之为“位置几何学”，人们通俗地把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学”,16,拓扑学
6、的中心任务,欧氏几何研究图形在正交变换下的不变性和不变量。 拓扑学研究更一般的图形在“弹性变形” 下的不变性和不变量（例子）。 “弹性变形”的特点：可复原，把相近的点变成相近的点（连续）,17,基本概念的严格数学描述,一般图形：集合 变形：映射 弹性变形：可逆映射或一一映射 相近：邻域，开集 相近变相近：连续 图形全等：同胚 不变性：连通性，可数性，分离性等,18,拓扑学的近代发展,点集拓扑学 代数拓扑学 微分拓扑学 几何拓扑学 思考题：设C代表平面上的圆周，“点A位于圆周的内部”这一性质是否在“弹性变形”下保持不变？,19,朴 素 集 合 论,20,集 合 的 基 本 概 念,21,集合的基
7、本运算,幂 等 律,分 配 律,交 换律,22,集合的基本运算,De Morgan 律,23,集合的基本运算,24,笛 卡 儿 积,25,关系与等价关系,关 系 相 关,26,恒同关系 设X是一个集合，从X到X的关系简 称为X中的一个关系，集合X中的 关系(x,x)|xX称为恒同关系或 对角线，记作(X)或.,27,自 反 的 对 称 的 若 xRy 则有 yRx 传 递 的 如果xRy , yRz , 则有xRz .,28,等价关系 集合X中的一个关系如果同时是自反的，对称的和传递的，则称为集合X中的一个等价关系.,29,映 射 的 性 质,30,常 用 映 射,单射、满射、一一映射 常值映射 恒同映射（单位映射） 投射 自然投射,31,32,集族及其运算,有标集族 设是一个集合.如果对每一个，指定一个集合A，我们就说给定一个有标集族A ,在不至于引起混淆的前提下就直接说给定一个集族A ，同时称为集族的指 标集.,33,34,注：在集族的并中，若是空集，则其并为空集，在集族的交中， 不能是空集.,35,集族的运算性质,定理：设A 是一个非空的有标集 族，A是一个集合，则,36,集族的运算性质,37,集族的运算性质,38,映射与集族的性质,
