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1、2013年高三数学一轮复习 专题一知能演练轻松闯关 新人教版1设f(x)x3x22ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围解：f(x)x2x2a22a.当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，得a.所以当a时，f(x)在上存在单调递增区间即f(x)在上存在单调递增区间时，a的取值范围为.2已知函数f(x)在x1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增？解：(1)因为f(x)，而函数f(x)在x1处取得极值2，所以即解得所以f(x)即为所求(2)由(1)知f(x).令f(x)0得x11，x21，则f(x)的增
2、减性如下表：x(，1)(1,1)(1，)f(x)f(x)可知，f(x)的单调增区间是1,1，所以所以当m(1,0时，函数f(x)在区间(m,2m1)上单调递增3(2012北京海淀区检测)已知函数f(x)x21，其中a0.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线y1平行，求a的值；(2)求函数f(x)在区间1,2上的最小值解：f(x)2x，x0.(1)由题意可得f(1)2(1a3)0，解得a1，此时f(1)4，在点(1，f(1)处的切线为y4，与直线y1平行故所求的a值为1.(2)由f(x)0可得xa，a0，当0a1时，f(x)0在(1,2上恒成立，所以yf(x)在1,2上递增，所
3、以f(x)在1,2上的最小值为f(1)2a32.当1a2时，x(1，a)a(a,2)f(x)0f(x)极小值由上表可得yf(x)在1,2上的最小值为f(a)3a21.当a2时，f(x)0在1,2)上恒成立，所以yf(x)在1,2上递减所以f(x)在1,2上的最小值为f(2)a35.综上讨论，可知：当0a1时，yf(x)在1,2上的最小值为f(1)2a32；当1a2时，yf(x)在1,2上的最小值为f(a)3a21；当a2时，yf(x)在1,2上的最小值为f(2)a35.4已知函数f(x)x2alnx.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)f(x)在1，)上是单调增函数
4、，求实数a的取值范围解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，)当a2时，f(x)x22lnx，f(x)2x.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)递减极小值递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)，极小值是f(1)1.(2)由g(x)x2alnx，得g(x)2x.若函数g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即不等式2x0在1，)上恒成立也即a2x2在1，)上恒成立令(x)2x2，则(x)4x.当x1，)时，(x)4x0，(x)2x2在1，)上为减函数，(x)max(1)0.a0，即
5、a的取值范围为0，)5(2012烟台调研)已知f(x)xlnx，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有lnx成立解：(1)f(x)lnx1，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增当0tt2时，f(x)没有最小值；当0tt2，即0t时，f(x)minf；当tt2，即t时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tlnt.所以f(x)min.(2)2xlnxx2ax3，则a2lnxx，设h(x)2lnxx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)证明：问题等价于证明xlnx(x(0，)，由(1)可知f(x)xlnx(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到，设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到，从而对一切x(0，)，都有lnx成立3
