第2章离散时间信号与系统的Z域分析课件知识分享

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1、第2章 离散时间信号与系统的Z域分析,2.1 Z变换的定义及收敛域 2.2 Z反变换 2.3 Z变换的性质与定理 2.4 Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 2.5傅里叶变换的定义及性质 2.6利用Z变换求解差分方程 2.7离散时间系统的系统函数和频率响应,2.1变换的定义及收敛域,2.1.1 z变换的定义,一个序列 的 变换定义为 其中， 是一个连续复变量，也就是说， 变换是在复频域内对离散时间信号与系统进行分析。由定义可见， 是一个复变量 的幂级数。亦可将 变换表示成算子的形式：,基于此， 变换算子可以看作是将序列 变换为函数 ，二者之间的相应关系可记为 由式（2.1.1）所定义的z变

2、换称为双边z变换，与此相对应的单边z变换则定义为 （2.1.2） 显然，只有 为因果序列（即 ）时，其单边z变换与双边z变换才是相等的。,为使上式成立，就须确定 取值的范围，即收敛域。由于 为复数的模，则可以想象出收敛域为一圆环状区域，即,其中， 、 称为收敛半径，可以小到0，而 可以大到 。式（2.1.4）的 平面表示如图2.1.1所示。,常见的一类z变换是有理函数，即 使 的那些z值称为 的零点，而使 的那些z值称为 的极点。零点、极点也可能包含 处的点。由于 在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。,2、序列形式与其z变换收敛域的关系,（2） 为右边序列,当 时， 为z的负幂级数

3、，根据级数理论，存在一个收敛半径 ， 在以原点为中心、 为半径的圆外处处收敛，即收敛域为 。此时的 为因果序列，因此， 在无穷远处收敛是因果序列的特征；,当 时， 可写为 上式右端第一项是（1）中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为 ；第二项为 的负幂级数，同样其收敛域为 。因此， 的收敛域为二者的重叠区域，即 ，如图2.1.3(b)阴影区域所示。,（3） 为左边序列,当 时， 为z的正幂级数，根据级数理论，必存在一个最大收敛半径 ， 在以原点为中心、 为半径的圆内处收敛，即收敛为 ；,当 时， 可写为 上式右端第一项为z的正幂级数，同样其收敛域为 ；第二项为（1）中讨论过的有限长序列的z变

4、换，其收敛域为 。因此， 的收敛域为二者的重叠区域 。,（4） 为双边序列,通过（2）、（3）中的讨论可知，上式第一项为右边序列(因果序列)，其收敛域为 ；第二项为左边序列，其收敛域为 ；若 ，则取交集得到双边序列的收敛域为 ，这是一个环形的收敛域。如图2.1.5(b)阴影区域所示。,表2.1.1 序列的形式与z变换收敛域的关系,2.1.3 常用序列的z变换,（1）单位抽样序列,z 变换,收敛域为整个z平面,（3）单位斜变序列,由（2)中讨论可知,将上式两边对z求导得,两边同乘以-z得 的z变换,当,，即,（4）右边指数序列,这是一个右边序列，其z变换为,当 ，即 时，有,零点为 ，极点为,（

5、5）左边指数序列,这是一个左边序列，其z变换为,当 ，即 时，有,零点为 ，极点为,（6）双边指数序列,该序列的z变换,若 ，则上面的级数收敛，得到,该序列的双边z变换的零点位于 及 ，极点位于 与 处。前已提及,z变换的收敛域内不应该包含任何极点。由上述分析进一步看出， 的收敛域内确实不包含任何极点。通常收敛域以极点为边界，对于多个极点的情况： 1）右边序列z变换的收敛域一定在模值最大极点所在的圆外，可能包含 ； 2）左边序列z变换的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内，可能包含 。,2.2 z反变换,与连续时间系统中的拉普拉斯变换类似，在离散时间系统中，应用z变换的目的是为了把描述系统的差分

6、方程转换为复变量z的代数方程，然后写出离散系统的传递函数（z域传递函数）、做某种运算处理，再用z反变换求出离散时间系统的时间响应。,2.2.1部分分式展开法,在连续时间信号与系统中，曾用部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换，同样在离散时间信号与系统中，当 的表达式为有理分式时，z反变换也可以用部分分式展开法求取。首先将 分解成多个部分分式之和，然后对各部分分式求z反变换，则所求序列 就是各部分分式的z反变换之和。在求各部分分式z反变换时，可利用表2.1.2中的基本z变换对。,例 2.2.1 已知 利用部分分式展开法求z反变换 。,解：,所以,考虑 收敛域知 应为右边序列。查表2.1.2中的z变换对

7、，得所求序列为,例 2.2.2 已知 ， 利用部分分式展开法求z反变换 。,解,则,上式第一项只有极点 ，由收敛域中 可知，该项的反变换应为右边因果序列，则,，,第二项只有极点 ，同样由收敛域中 可知，该项的反变换应为左边序列，则 ，,所以，所求序列为,或写成,由以上分析可见，在求z反变换时，一定要考虑收敛域，注意区别哪些极点对应右边序列，哪些极点对应左边序列。,2.2.2 幂级数展开法,前面已经提到， 为 的幂级数，即 由此可见，在给定的收敛域内，如果将 展开为幂级数，那么 项的系数就是序列 。 将 展开为幂级数常用的方法有两种。,1）按幂级数公式展开,这种方法是运用已经熟知的幂级数展开公式

8、完成对 的展开，往往多用于 是超越函数的情况，如 是对数、双曲正弦等，这些函数的幂级数展开公式大多已有表格可查。下面通过例子对其进行说明。,例 2.2.3 求 ， 的反变换 。 解: 依据幂级数展开公式 ， 以及 中的 （由收敛域得到），可得 由上式看到， 项的系数是 ，又由收敛域的形式得知， 是一个右边序列，则所求 为,2）长除法,一般为有理分式，用 的分母多项式去除分子多项式就可得到其幂级数形式。在做长除之前，首先应该根据 的ROC判断 是右边序列，还是左边序列，然后决定将 展开z的降幂级数或升幂级数。观察z变换的定义式 ，若 是右边序列，当 时,z的幂逐渐减小，则此时，应该将 展开z的降

9、幂级数；若 是左边序列，当 时，z的幂逐渐增加，则应该将 展开z的升幂级数。,例2.2.2 试用长除法求 ， 的z 反变换 。 解 由表达式知， 只有一个极点 ，且收敛域 在极点所在圆的外部，所以 应为右边序列，则应将 展开成z的降幂级数。运用长除法得,即 所以 。,例2.2.3 试用长除法求 ， 的z反变换 。 解 因为收敛域为环状，所以所求序列为双边序列。对于双边序列可先将其分解为右边序列和左边序列，所以先将 展开成部分分式再长除。,根据式（2.2.3）求系数 、 则,所以 为,观察 的收敛域可知，上式的第一项对应左边序列，第二项对应右边序列。分别运用长除法如下：,即,的幂级数形式为 所以

10、z反变换 为,2.2.3. 围线积分法(留数法),除了以上讨论的求解z反变换的两种方法外，z反变换也可以用反演积分来计算。现在用复变函数理论来研究 的反变换。 对z变换定义式两端同乘以 ，得 对上式两端进行围线积分，可得,其中c是一条位于 收敛域内环绕原点的逆时针围线。若级数收敛，交换上式右端的积分与求和次序，得 依据柯西积分定理 则综合得,将上式的变量k用n代换，得 （2.2.7） 这就是围线积分的z反变换公式。,直接计算式（2.2.7）的围线积分比较复杂， 当 是有理分式时，通常都采用留数定理来求解。若 是被积函数 位于c内的所有极点，则按照留数定理，有,若 是被积函数 位于c外的所有极点

11、， 且 分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高两阶或两阶以上，则按照留数辅助定理，有 实际使用中，具体选用哪一个，取决于计算的简便性，一般选用计算一阶极点留数的那一个。,若 是 的一阶极点，则有 若 是 的多重（s阶极点），则有,需要注意的是，在使用上述两式时，一定要计算 出 位于c内或c外的所有可能的极点处的留数，而且，当n取值不同时， 处极点的阶次可能会发生变化。,例2.2.4 求 ， 的反变换。 解 的反变换为 由于收敛域为 ，所以 应为因果序列，当 时， 不是 的极点。所以，在收敛域内环绕原点的围线c内只有一阶极点 、 ，则,由此得所求序列为,例2.2.5 试用留数法求 ， 的z反变

12、换 。 解 c为 收敛域内的围线， 如图2.2.1所示。,当 时，围线c内只有一个一阶极点 ，则 当 时，围线c外只有一个一阶极点 ，而c内有一个一阶极点 以及 阶极点 ，而且,综合上述分析，得 可见，与例2.2.3结果相同。,2.3 变换的性质与定理,在研究离散时间信号与系统过程中，理解并掌握z变换的一些常用性质与定理是特别重要的。这些性质往往与z变换对结合起来用，使z变换与z反变换的求解过程得到简化。,1.线性性质,z变换是一种线性变换，满足均匀性与叠加性，即若 则对于任意常数a、b下式成立： 收敛域一般是 和 收敛域的重叠部分。若在这些组合过程中，某些零点与极点相抵消，则收敛域有可能扩大

13、。,例2.3.1 已知 ，求其z变换。 解 依据欧拉公式，得 由题知， 是一个右边因果序列。查表2.1.2可知,由此得 综合上述分析，得所求z变换为,2移位性质,1）双边z变换 若序列 的双边z变换为 ， 则移位m后的序列 的双边z变换为 ， 其中m为任意整数，若m为正，则为右移（延迟）；若m为负，则为左移（超前）。,证明 依据双边z变换的定义，可得 可以看出，序列位移只会使新序列的z变换在 或 处的零极点情况发生变化：当 m为正时，在 处引入极点，在 处引入零点；当m为负时，在 处引入极点，在 处引入零点。也就是说， 的收敛域与 的收敛域相同， 或 可能除外。,例如， 的收敛域为整个z平面，

14、 而 在 处不收敛， 在 处不收敛。但如果 是双边序列， 收敛域为环形区域，则序列位移并不会使z变换收敛域发生变化。,2) 单边z变换,设序列 的单边z变换为 ，则 右移k与左移k（k为正整数）后新序列的单边 变换分别为,（2.3.7）,如果 是因果序列，则 项都等于零，而且由于因果序列的单边z变换与双边z变换是相同的，于是因果序列右移后的单边z变换为 而因果序列左移后的单边z变换为,由于在实际中，需处理的信号大多是因果序列，除了移位性质以外，双边z变换的性质大多都适用于单边z变换。 另外，从以上分析可知，若序列 延迟一个单位，即 ，新序列的z变换多乘一个 ，所以，在后续内容中，绘制信号流图时常用 表示单位延迟。,例2.3.2 求序列 的z变换。 解 查表2.1.2可知