第2章集合教学文案

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1、第二章 集 合,2.1 集合论的基本概念 2.2 集合上的运算 2.3 归纳法和自然数 2.4 语言上的运算 2.5 集合的笛卡儿乘积,2.1 集合论的基本概念,2.1.1 集合的概念 集合在某些场合又称为类、族或搜集, 它是数学中最基本的概念之一, 如同几何中的“点”、 “线”等概念一样, 不可精确定义, 现描如下: 一个集合是能作为整体论述的事物的集体。如 ; (1) “高二(1)班的学生”是一集合。 ; (2) 硬币有两面正面和反面, “正面、 反面”构成一集合。 ; (3) 计算机内存之全体单元构成一集合。 ; (4) 1, 2, 3, , n, 构成正整数集合。 ; (5) 所有三角

2、形构成三角形集合。 ; (6) 坐标满足方程x2+y2R2的全部点构成图 2.1-1所示的点集。,图 2.1-1,组成集合的每个事物叫做这个集合的元素或成员。 通常用大写字母A, B, C, 代表集合; 用小写字母a, b, c, 代表元素。 如果a是集合A的一个元素, 则记为 aA 读做“a属于A”, 或说“a在A中”。 ; 如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a A 读做“a不属于A”, 或说“a不在A中”。 ; 任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 不可兼得。,第二种是描述法。就是用谓词描述出集合元素的公共特征来表示这个集合。例如, 上述各例可

3、分别写成 A=a|aI0aa5, a|aI1a50 和 这里I表示整数集合。一般地 S=a|P(a) 表示aS当且仅当P(a)是真。,集合的元素可以是一个集合, 例如A=a,b,c,D, 而 D=0,1。 仅含有一个元素的集合称为单元素集合。 应把单元素集合与这个元素区别开来。例如A与A不同, A表示仅以A为元素的集合, 而A对A而言仅是一个元素, 当然这个元素也可以是一个集合, 如A=1,2。 称含有有限个元素的集合为有限集合。称不是有限集合的集合为无限集合或无穷集。有限集合的元素个数称为该集合的基数或势第五章将给出有限集、无限集、基数等概念的更精致的陈述。集合A的基数记为|A|, 例如 若

4、 A=a, b, 则 |A|=2, 又|A|=1,外延公理 两个集合A和B相等, 即A=B, 当且仅当它们有相同的成员(也就是, A的每一元素是B的一个元素而B的每一元素也是A的一个元素)。 ; 用逻辑符号表达是:,或,外延公理断言: 如果两个集合有相同的元素, 那么不管集合是如何表示的, 它们都相等。因此, (1) 列举法中, 元素的次序是无关紧要的。例如x,y,z与z,x,y相等。 (2) 元素的重复出现无足轻重。例如, x,y,x、 x,y、 x,x,x,y是相同的集合。 (3) 集合的表示不是唯一的。例如, x|x2-3x+2=0、 x|xI1x2 和1, 2均表示同一集合。,这样,

5、我们导致了一个类似于谎言悖论的矛盾: 既非SS也非SS是真。 一个“集合”, 诸如S, 它能导致矛盾的称为非良定的。 罗素悖论起因于不受限制的定义集合的方法, 特别, 集合可以是自己的元素的概念值得怀疑。康脱以后创立的许多公理化集合论都直接地或间接地限制集合成为它自己的元素, 因而避免了罗素悖论。 公理化集合论用某个方法避免了罗素悖论, 但怎能确信没有其它悖论潜伏在这些形式结构中呢? 回答是悲观的, 业已证明, 应用现今有效的数学技术, 没有方法能证明新的悖论不会产生。,2.1.3 集合间的包含关系 定义2.1-1 设A和B是集合, 如果A的每一元素是B的一个元素, 那么A是B的子集合, 记为

6、AB, 读做“B包含A”或“A包含于B中。 用逻辑符表示为:,有时也记作 , 称B是A的扩集。,定义2.1-2 如果AB且AB, 那么称A是B的真子集,记作AB , 读作“B真包含A”。 ; 用逻辑符表示为:,要注意区分从属关系“”及包含关系“”。 从属关系是集合元素与集合本身的关系, 包含关系是集合与集合之间的关系。,定理 2.1-1 对任意集合A有,证 对任意元素x, xU是真, 所以,是真。由全称推广规则得,所以,(这是一个平凡证明的例子),定理 2.1-2 设A和B是集合, A=B当且仅当AB和BA。 证,推论 2.1-2 对任何集合A, 恒有AA。 ; 定理 2.1-3 设A、B、C

7、是集合, 若AB且BC, 则AC。 证 设x是论述域中任意元素, 因为,所以, xAxB= xBxC 由前提三段论得 xAxC 由全称推广规则得,即,定义 2.1-3 没有元素的集合叫空集或零集, 记为 。 定理 2.1-4 对任意集合A有 。 证 设x是论述域中任意元素, 则,常假, 所以,无义地真，由全称推广规则得,即,定理 2.1-5 空集是唯一的。 证 设和 都是空集, 由定理2.1-4得 和 , 根据定理2.1-2得 。 注意与不同, 后者是以空集为元素的一个集合, 前者没有元素。 能用空集构造不同集合的无限序列。在序列 中, 每一集合除第一个外都确实有一元素, 即序列中前面的集合。

8、 在序列 中, 如果我们从0开始计算, 则第i项有i个元素。 这一序列的每一集合, 以序列中在它之前的所有集合作为它的元素。,例 1 (a) 集合p,q有4个不同子集: p,q、p、q和, 注意pp,q但pp,q, pp,q但pp,q。再者p,q, 但 (b) 集合q是单元素集合, 它的唯一元素是集合q。每一单元素集合恰有两个子集, q的子集是q和 。 一般地, n个元素的集合有2n个不同的子集合.,2.2 集合上的运算,2.2.1 并、 交和差运算; 定义 2.2-1 设A和B是集合。 (a) A和B的并记为AB, 是集合。 AB=x|xAxB (b) A和B的交记为AB, 是集合。 AB=

9、x|xAxB (c) A和B的差, 或B关于A的相对补, 记为A-B, 是集合。 A-B=x|xAxB,例 1 设A=a,b,c,d)和B=b,c,e, 那么 AB=a, b, c, d, e AB=b, c ; A-B=a, d ; B-A=e,定义 2.2-2 如果A和B是集合, AB=, 那么称A和B是不相交的。如果C是一个集合的族, 使C的任意两个不同元素都不相交, 那么C是(两两)不相交集合的族。 ; 例 2 如果C=0, 1, 2, =i|iN, 那么C是不相交集合的族。 定理 2.2-1 集合的并和交运算是可交换和可结合的。也就是对任意A、B和C。 ; (a) AB=BA ; (

10、b) AB=BA ; (c) (AB)C=A(BC) ; (d) (AB)C=A(BC) ; 我们仅证明(a)和(c), (b)和(d)是类似的。,证 (a) 设x是论述域U的任意元素, 那么,因为x是任意的, 得,即AB=BA,(c) 设x是任意元素, 那么 xA(BC) xAx(BC) 的定义 xA(xBxC) 的定义 (xAxB)xC 的结合律 x(AB)xC 的定义 x(AB)C 的定义 因为x是任意的, 得出 x(xA(BC)x(AB)C) 因此, A(BC)=(AB)C。,定理 2.2-2 对任意集合A、B和C有: ; (a) A(BC)=(AB)(AC) ; (b) A(BC)=

11、(AB)(AC) = 即集合运算和, 在上可分配, 在上可分配。 ; 证 设x是任意元素, 那么 xA(BC) xAx(BC) 的定义 xA(xBxC) 的定义 (xAxB)(xAxC) 在上可分配 (xAB)(xAC) 的定义 x(AB)(AC) 的定义 因此, A(BC)=(AB)(AC)。,定理 2.2-3 设A、B、C和D是论述域U的任意子集合, 那么下列断言是真: ; (a) AA=A ; (b) AA=A ; (c) A=A ; (d) A= ; (e) A-=A ; (f) A-BA ; (g) 如果AB和CD, 那么, (AC)(BD) ; (h) 如果AB和CD, 那么, (

12、AC)(BD) ; (i) AAB ; (j) ABA ; (k) 如果AB, 那么, AB=B ; (l) 如果AB, 那么, AB=A,(g) 设x是AC的任意元素, 那么xAxC。现在分情况证明。 情况1: 设xA, 因为AB, 得xB, 所以xBxD, 因此xBD。 情况2: 设xC, 用与情况1相似的论证得xBD。 因此, xAC, 那么xBD。 所以ACBD。 (k) 因AB, 又BB根据(g)得ABBB, 但BB=B, 因此ABB。 另一方面由(i)得BAB。 所以, AB=B。,定理 2.2-5 (补的唯一性)设A和B是论述域U的子集,那么B=A当且仅当AB=U和AB=。 证

13、必要性从定理 2.2-4 直接得到。现证明充分性。 ; 设AB=和AB=U, 那么,B=UB =(A )B =(AB)( B) =( B) =( A)( B) = (AB) = U =,定理 2.2-8 设A、B是U的任意子集, 若,证,根据逆反律得,x是任意的, 所以,图 2.2-1,另外, 根据并、交、补等定义, 亦知命题演算中的、 、 、T、F等分别与集合论中的、-、 、U、 等有对应关系, 因此, 有关它们的公式也有相似性。 例如命题演算中有公式,集合论中有对应公式,2.2.3 并和交运算的扩展 扩展后并和交运算都定义在集合的搜集上。 ; 定义 2.2-4 设C是某论述域子集的搜集。

14、; (a) C的成员的并、记为 , 是由下式指定的集合,(b) 如果C, C的成员的交, 记为 , 是下式指定的集合,定义说明如果 , 那么x至少是一个子集SC的元素; 如果 , 那么x是每一个子集SC的元素。注意对 的定义来说, C必须非空, 否则, 由于 , 蕴含式SCxS对每一S将是无义地真。这样, 谓词 s(SCxS)对每一x是真。因此, 所定义的集合就是全集合U。要求 , 这个可能消除。,设D是一集合, 如果给定D的任一元素d, 就能确定一个集合Ad, 那么d叫做Ad的索引, 搜集C=Ad|dD叫做集合的加索引搜集; 而D叫做搜集的索引集合。当D是一个搜集C的索引集合, 符号 表示

15、, 而 表示 。,如果加索引搜集C的索引集合是前n+1个自然数0, 1, 2, , n, 或全体自然数0, 1, 2, , 那么C的成员的并和交能用类似于和式概念的符号表示。 例如,一般地, 索引集合不必须是N的子集, 可以是任意集合, 例如R+。,例4 设论述域是实数R。 ; (a) 如果C=1,2,4,3,4,5,4,6,那么 =1, 2, 3, 4, 5, 6和 。 (b) 我们用0, a)表示集合x|0 xa。 如果Sa=0,a), aR+, C=Sa|aR+, 那么 如果Sa=0,a), aI+, C=Sa|aI+, 那么 (c) 设C=Ai|ip,q,r, 其中Ap=2,3, Aq=3,4, Ar=4,6; a,b表示x|axb, 那么,2.2.4 环和与环积 定义 2.2-5 A、B两集合的环和AB, 是集合,参看图 2.2-2。环和又叫对称差(Symmetric Difference)。,定理 2.2-9,证 因为,但,所以,推论 2.2-9,定理 2.2-10,定理 2.2-11,以上两个定理留给读者自证。但注意并在环和上不可分配, 环和在交上不可分配。即, 通常,定义 2.2-6 A、B两集合的环积AB, 是集合,图 2.2 - 2,定理 2.2-12,定理 2.2-13,证,所以,根据定理2.2-10 得,两边取补, 即得,定理