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1、 1 方法专题:中点的妙用 联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到 中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。 看到中点该想到什么？ 1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质； 2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”； 3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”； 4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全 等三角形）； 5、有中点时常构造垂直平分线； 6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7
2、、倍长中线 8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 中点辅助线模型中点辅助线模型 一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一” 的性质的性质 1、如图 1 所示，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中点，MNAC 于点 N，则 MN 等于（ ） A 6 5 B 9 5 C12 5 D16 5 二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于 斜边的一半”斜边的一半” 2、如图，在ABC 中，A=90,AC=AB,M、N 分别在 AC、 AB
3、 上。 且 AN=BM.O 为斜边 BC 的中点.试判断OMN 的形状， 并说 明理由. 3、 如图， 正方形ABCD的边长为 2, 将长为 2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动 如 果点Q从点A出发， 沿图中所示方向按ADCBA滑动到点A为止， 同时点F从点B出 发，沿图中所示方向按BADCB滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中 点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D.1 N M B O C A DA BC 第8题图 Q F M 2 三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位
4、线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理） 如图， 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 且 AC=BD， M、N 分别是 AB、CD 的中点，MN 分别交 BD、AC 于点 E、F.你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？ 5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理） 如图所示，在三角形 ABC 中，AD 是三角形 ABCBAC 的角平 分线，BDAD，点 D 是垂足，点 E 是边 BC 的中点，如果 AB=6,AC=14，求 DE 的长 6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理） 如图所示，ABCD，BCAD ，DEBE
5、，DF=EF，甲从 B 出发， 沿着 BA、AD、DF 的方向运动，乙 B 出发，沿着 BC、CE、EF 的方向 运动，如果两人的速度是相同的，且同时从 B 出发，则谁先到达 F 点？ 7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题） 如图，等腰梯形 ABCD 中，CDAB，对角线 AC、BD 相交于点 O， 60ACD=，点 S、P、Q 分别是 DO、AO、BC 的中点. 求证：SPQ 是等边三角形。 四、四、两条线段相等，为全等提供条件（两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，遇到两平行线所截得的线段的中点时， 常联想“八字型”全等三角形）常联想“八字型”全等
6、三角形） 8、如图：梯形 ABCD 中，A=90,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3, E 为 AB 中点，求证：DEEC E D CB A 图2-1 F E D M N CB A P O AB C D 图6-1 S Q 3 9、如图甲，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CGBC）中，点 B、C、G 在同一直线上，M 是 AE 的中点，（1）探究线段 MD、MF 的位置及数量关系，并证明； （2）将图甲中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转，使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否
7、发生变化？写出你 的猜想并加以证明 五、有中点时常构造垂直平分线五、有中点时常构造垂直平分线 10、 如图所示， 在ABC 中， AD 是 BC 边上中线， C=2B.AC=2 1 BC。 求证：ADC 为等边三角形。 六、六、有中点时，常会出现面积的一半（有中点时，常会出现面积的一半（中线中线平分三角形的面积）平分三角形的面积） 11、（1）探索：已知ABC的面积为a， 如图 1，延长ABC的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连接 DA，若 ACD的面积为 1 S，则 1 S= （用含a的代数式表示） 如图2， 延长ABC的边BC到点D， 延长边CA到点E， 使CD=BC， AE=CA，连
8、接 DE，若DEC的面积为 2 S，则 2 S= （用 含a的代数式表示） 在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD， FE,得到DEF （如图 3），若阴影部分的面积为 3 S， 3 S= （用含a的代数式表示） 发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图 4），此时， 我们称ABC向外扩展了一次。 可以发现， 扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的 倍 应用：如图 5，若ABC面积为 1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=AB， B1C= BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到A1B1C1
9、. 第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2， B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到A2B2C2，第三次操作 ，按 此规律，要使得到的三角形的面积超过 2010，最少要 经过 次操作. A B C D F G E M 图乙 图甲 B A C E D F G M B D C A 4 12、如图所示，已知梯形 ABCD，ADBC，点 E 是 CD 的中点，连接 AE 、 BE， 求证：SABE= 2 1 S四边形ABCD。 13、如图，M 是ABCD 中 AB 边的中点。CM 交 BD 于点 E,则图 中阴影
10、部分面积与ABCD 面积之比为 14、如图所示，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、 CE 交于点 G， 则 ABCD AGCD S S 矩形 四边形 等于： A、6 5 B、5 4 C、4 3 D、 3 2 七、七、倍长中线倍长中线 15、如图，ABC 中，D 为 BC 中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：ABAD 16、如图，点 D、E 三等分ABC 的 BC 边，求证：AB+ACAD+AE 17、如图，D 为线段 AB 的中点，在 AB 上取异于 D 的点 C，分别 以 AC、BC 为斜边在 AB 同侧作等腰直角三角形 ACE 与 BCF，连 结
11、 DE、DF、EF， 求证：DEF 为等腰直角三角形。 八、八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 18、半径是 5 cm 的圆中，圆心到 8 cm 长的弦的距离是_ D C B M A E 5 B A O DC 19、半径为cm5的圆 O 中有一点 P，OP=4，则过 P 的最短弦长_， 最长弦是_， 20、如图，在圆 O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为 D、E， 若 AC=2cm，则圆 O 的半径为_cm。 21、如图，在O中，直径AB和弦CD的长分别为 10 cm 和 8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之
12、和 是_. 22、如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E，若 AE2cm，BE6cm，CEA30 0， 求：CD 的长； 23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A、B、C 三根木柱， 使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 米，A 到 BC 的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。 A B C 6 倍长中线： 1（2011 平谷二模）24. 已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点， 过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG
13、，CG （1）求证：EG=CG； （2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中 的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否 仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 遇到中点引发六联想遇到中点引发六联想 1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质 例 1、如图 1 所示，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中 点，MN
14、AC 于点 N，则 MN 等于【 】 A 6 5 B 9 5 C12 5 D16 5 分析：由 AB=AC=5，所以，三角形 ABC 是等腰三角形，且边 BC 是底边；由点 M 为 BC 中点，如果连 接 AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到 AM 是底边 BC 上的高线，这样就能求出三角形 ABC 的面积， 而三角形 AMC 的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形 AMC 中利用三角形的面积公式，求可以求得 MN 的长。 解: 连接 AM， AB=AC=5 , 点 M 为 BC 中点 AMBC， 在直角三角形 AMC 中，AC=5，CM= 2 1 BC=3, AM= 2222 35 =CM
15、AC=4， S ABC= 2 1 BCAM= 2 1 64=12 , S ACM= 2 1 S ABC =6； 6= 2 1 ACMN， MN= 5 12 . 所以，选择 C。 2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” 例 2、在三角形 ABC 中，AD 是三角形的高，点 D 是垂足，点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点， 求证：四边形 EFGD 是等腰梯形。 7 分析：由点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点，根据三角形中位线定理，知道 FGBC,FEAC， FE= 2 1 AC，由直角三角形 ADC，DG 是斜边上的中线，因此，DG= 2 1 AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以 说明梯形 EFGD 是等腰梯形了。 证明： 点 E、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点， FGBC ， FEAC，FE= 2 1 AC， AD 是三角形的高， ADC 是直
