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1、 1 初中数学难题集锦初中数学难题集锦 组题：韩松 1（本小题满分 10 分） 如图，AB为O的直径，点C在O上，过点C作O的切线交AB的延长线于点D， 已知D30. 求A的度数； 若点F在O上，CFAB，垂足为E，CF34，求图中阴影部分的面积. 2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分 10 分） 【材料一】：如图，直线l上有 1 A、 2 A两个点，若在直线l上要确定一点P，且使 点P到点 1 A、 2 A的距离之和最小，很明显点P的位置可取在 1 A和 2 A之间的任何地方，此 时距离之和为 1 A到 2 A的距离. 如图，直线l上依次有 1 A、 2 A、 3 A三个点，若在
2、直线l上要确定一点P，且使 点P到点 1 A、 2 A、 3 A的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点 2 A处，此时距离 之和为 1 A到 3 A的距离. (想一想，这是为什么？) 不难知道，如果直线l上依次有 1 A、 2 A、 3 A、 4 A四个点，同样要确定一点P，使它 到各点的距离之和最小，则点P应取在点 2 A和 3 A之间的任何地方；如果直线l上依次有 1 A、 2 A、 3 A、 4 A、 5 A五个点，则相应点P的位置应取在点 3 A的位置. 【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为ab. E D C B A O F 图 图 A3A2 l A1A2 l A
3、1 2 【问题一】：若已知直线l上依次有点 1 A、 2 A、 3 A、 25 A共 25 个点，要确定 一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 ； 若已知直线l上依次有点 1 A、 2 A、 3 A、 50 A共 50 个点，要确定一点P，使它 到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 . 【问题二】：现要求112397xxxxxx+ + +的最小值， 根据问题一的解答思路，可知当x值为 时，上式有最小值为 . 3. （本小题满分 10 分） 如图，一条笔直的公路上有A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲、乙两 辆汽车分别从B、C 两地同时出发，沿公路匀速
4、相向而行，分别驶往C、B 两地甲、乙 两车到A 地的距离 1 y、 2 y（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图所示 根据图象进行以下探究： 请在图中标出 A地的位置，并作简要的文字说明； 求图中M点的坐标，并解释该点的实际意义 在图中补全甲车的函数图象，求甲车到 A地的距离 1 y与行驶时间x的函数关系式 A地设有指挥中心， 指挥中心及两车都配有对讲机， 两部对讲机在 15 千米之内 （含 15 千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间 y（千米） x（时） 乙 甲 图 CB 图 3 4（本小题满分 10 分） 已知抛物线 2 yaxbx=+(a0)的顶点在直线 1
5、1 2 yx= 上，且过点A(4，0) 求这个抛物线的解析式； 设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存 在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由. 设点C(1，3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使ADCD的值最大，请直 接写出点D的坐标. 4 5（本小题满分 12 分） 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段 叫做这个损矩形的直径. 如图 1，损矩形ABCD，ABC=ADC=90，则该损矩形的直径是线段 . 在线段AC上确定一点P， 使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的即损矩形的 四个顶点在同一个圆上四个
6、顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由. 友情提醒：“尺规作图”不 要求写作法，但要保留作图痕迹 如图 2， ， ABC中， ABC90， 以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF 的中心，连结BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明 理由. 若此时AB3，BD4 2，求BC的长. A BC D 图 1 E F D C B A 图 2 5 6（本小题满分 12 分） 已知在梯形ABCD中，ABDC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，ABC=120点P从点B 出发以 1cm/s 的速度沿着射线BC运动，点Q从点 C 出发以 2cm/s 的速
7、度沿着线段CD运 动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止. 设运动时间为 t 秒 如图 1，当点P在线段BC上且CPQDAQ时，求t的值； 在运动过程中，设APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关 系式，并写出自变量t的取值范围； 图1 Q P D C B A 备用图 A B C D 备用图 A B C D 6 参考答案参考答案 1（本小题满分 10 分） 解： 连结 OC， CD 切O 于点 C， OCD90. (1 分) D30，COD60. (2 分) OAOC，AACO30 . (4 分) CF直径 AB， CF34，CE2 3，(5 分) 在 RtOCE 中，OE2
8、，OC4. (6 分) 2 BOC 6048 3603 S 扇形 ， EOC 1 2 2 3 2 S 2 3.(8 分) EOCBOC 2 3SSS 阴影扇形 8 3 (10 分) 2. 先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分 10 分） 问题一： 点 13 A处 (3 分) 点 25 A和 26 A之间的任何地方 (6 分) 问题二： 48 (8 分) 1225 (10 分) 3. （本小题满分 10 分） A 地位置如图所示 使点A满足AB AC23 . (2 分) 乙车的速度 150 275 千米/时, 90751.2=，M(1.2，0) (3 分) 所以点 M 表示乙车 1.2 小
9、时到达 A 地(4 分) 甲车的函数图象如图所示 (5 分) 当01x时， 1 6060yx= +；(6 分) 当12.5x时， 1 6060yx=. (7 分) E D C B A O F 7 由题意得 606015 606015 x x + ， 得 35 44 x； 759015 759015 x x + ， 得 7 1 5 x. 5 1 4 x (9 分) 两 车 同 时 与 指 挥 中 心 通 话 的 时 间 为 51 1 44 =小 时. (10 分) 4（本小题满分 10 分） 抛物线过点(0，0)、(4，0)， 抛物线的对称轴为直线 2x =. (1 分) 顶点在直线 1 1 2
10、 yx= 上， 顶点坐标为(2，2). (3 分) 故设抛物线解析式为 2 (2)2ya x=， 过点(0，0)， 1 2 a =，抛物线解析式为 2 1 2 2 yxx=(5 分) 当 APOB 时， 如图，BOAOAP45 ，过点 B 作 BHx 轴于 H，则 OHBH. 设点 B(x，x)，故 2 1 2 2 xxx=，解得 x6 或 x0(舍去) (6 分) B(6，6). (7 分) 当 OPAB 时，同理设点 B(4x，x) 故 2 1 (4)2(4) 2 xxx=，解得 x6 或 x0(舍去)，B(2，6) .(8 分) D(2，6). (10 分) H 8 5（本小题满分 12
11、 分） 解：AC； (1 分) 作图如图； (3 分) 点 P 为 AC 中点，PAPC 1 2 AC. ABC=ADC=90，BPDP 1 2 AC，PAPBPCPD， (4 分) 点 A、B、C、D 在以 P 为圆心， 1 2 AC 为半径的同一个圆上. (5 分) 解：菱形 ACEF，ADC90AE2AD，EC2CD，四边形 ABCD 为损矩形， 由可知，点 A、B、C、D 在同一个圆上. (7 分) AM 平分BAD，ABDCBD45，ADCD=，ADCD， 四边形 ACEF 为正方形. (9 分) 点 BD 平分ABC，BD4 2，点 D 到 AB、BC 的距离 h 为 4， 1 2
12、 2 ABD SAB hAB=6. 13 22 ABC SABBCBC=， 1 2 2 BDC SBChBC=， 2 ACDACEF 111 444 SSACBC2 正方形 （9）， ABCADCABCD SSS 四边形 ， 1 4 BC2（9） 3 2 BC62BC， BC5或BC3(舍去)， BC5. (12 分) 6（本小题满分 12 分） 解：如图 1，分别过点作 AMCD 于 M，BNCD 于 N，BC20，C180 ABC60， 9 CN10DM，BN10 3，CD60. CPQDAQ， CPCQ DADQ = ， 202 20602 tt t = ， 1 10t =， 2 60t
13、 =(不合题意)， t10. (5 分) 图 1 图 2 当点 P 在线段 BC 上时，如图 2，过 P 作 FGCD 于 G，交 AB 延长线于 F. PF 3 2 t，PG 3 (20) 2 t， 1 10 3 2 ABP SABPFt= ， 13 (20) 22 CPQ SCQ PGtt= ， ADQCPQABPABCD SSSSS= 梯形 5003 1 602 ) 10 3 2 t （ 3 (20) 2 tt 10 3t， 2 3 (20400) 2 tt+ . (020t ) (8 分) 当点 P 在线段 BC 的延长线上时，如图 3，过 P 作 PHAB 于 H，则 设 AP 与 CD 交于点 E， ECPC ABPB = ， 40800t EC t = , QECQCE 2 240800tt t + . y310 800402 2 1 2 + t tt = t tt)40020(310 2 + . (2030t ) (12 分) 图1 Q P D C B A M N 图1 Q P D C B A F G 备用图 A B C D P Q E H 图 3
