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1、2020 年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型一：年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型一： 圆锥曲线方程圆锥曲线方程 【说明【说明】 ：圆锥曲线方程是曲线的代数圆锥曲线方程是曲线的代数（方程方程）表示表示，由方程的特点确定其几何图形的特点及其具备的性质由方程的特点确定其几何图形的特点及其具备的性质。 不同的方程代表不同的曲线，同类曲线方程不同其图形也有差异，这一专题重点解决这两个问题，即不同不同的方程代表不同的曲线，同类曲线方程不同其图形也有差异，这一专题重点解决这两个问题，即不同 类曲线与同类曲线间的不同点。且注意方程中的量与图形中的量的对应。类曲线与同类曲线间的不同
2、点。且注意方程中的量与图形中的量的对应。 【考点涉及内容精荟考点涉及内容精荟】 ： I.椭圆： 22 22 1(0) xy ab ab 表示焦点在x轴的椭圆的标准方程; 22 22 1(0) yx ab ab 表示焦点在y轴 椭圆的标准方程。(秒杀方法 ：分母大的为焦点所在轴。) 几何性质：.关于x轴、y轴成轴对称图形,关于原点成中心对称图形; . 222 abc，下图中可找见对应的特征直角三角形 22OF B； 应用：作图法找椭圆的焦点：以短轴的两个端点为圆心 , 以半长轴为半径作圆 , 与长轴的两个交点为椭圆的 焦点。 II.双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 表示焦点在
3、x轴上双曲线的标准方程; 22 22 1(0,0) yx ab ab 表示 焦 点在y轴上双曲线的标准方程(秒杀方法 ：系数为正的为焦点所在轴。) 几何性质：.关于x轴、y轴成轴对称图形,关于原点成中心对称图形; . 222 cab，特征三角形：原点、虚轴端点、实轴端点构成的直角三角形； III.抛物线：.焦点在x轴上: 2 2ypx ; .焦点在y轴上: 2 2xpy (0)p ,p表示焦点到准线的距离（秒杀方法：二次对应焦点所在轴 ）; .焦点坐标:,0 2 p 或0, 2 p ; .准线方程: 2 p x 或 2 p y 。 【考点精题精析考点精题精析】 ： 1.(2012 年新课标全国
4、卷 8)已知等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在x轴上,C 与抛物线xy16 2 的准线交于 A,B 两点,34AB,则 C 的实轴长为() A.2B.22C.4D.8 【解析解析】 ：设等轴双曲线方程为 222 ayx,抛物线的准线方程为：4x，联立解得2a,选 C. 【课标卷高考试题【课标卷高考试题精练精练】 ： 1.(2016 年新课标全国卷 I5)已知方程1 3 2 2 2 2 nm y nm x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4, 则n的取值范围是 () A.3 , 1B.3, 1C.3 , 0D.3, 0 【解析解析】 ：可知焦点在x轴上,1, 443 2222 mmnm
5、nm,需03 , 01nn,选 A. 2.(2017 年新课标全国卷 III5)已知双曲线C： 22 22 1 xy ab (0, 0ba)的一条渐近线方程为 5 2 yx,且与 椭圆 22 1 123 xy 有公共焦点,则C的方程为() A. 22 1 810 xy B. 22 1 45 xy C. 22 1 54 xy D. 22 1 43 xy 【解析解析】 ：由椭圆方程得3c,由渐近线得 2 5 a b ,2,5ab,选 B. 【典型高考试题【典型高考试题精练精练】 ： 判断曲线形状的考题：判断曲线形状的考题： 1.(高考题）“0mn”是“方程 22 1mxny”表示焦点在y轴上的椭圆
6、”的 () A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析解析】 ：椭圆方程可化为：1 11 22 n y m x ，如焦点在y轴上，只需0 11 mn ，即0 nm，所以是充要 条件，选 C。 2.(高考题)若Rk ,则“3k”是“方程1 33 22 k y k x 表示双曲线”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【解析解析】 ：方程表示双曲线只需033kk，即3k或3k，所以是充分不必要条件，选 A. 求曲线方程的考题：求曲线方程的考题： 3.(高考题)设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且 4 CBA.
7、若2, 4BCAB,则椭圆的两个焦点之间 的距离为. 【解析解析】 ： 由4AB得2a， 由 4 CBA与2BC得C 1 , 1，6 3 4 代入椭圆1 4 2 22 b yx 得 3 4 2 b， 3 8 2 c，c26 3 4 。 4.(高考题)已知双曲线 22 22 1(0b0) xy a ab ， 和椭圆1 916 22 yx 有相同的焦点,且双曲线的离心率是 椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为. 【解析解析】 ：由椭圆方程得7 2 c， 4 7 e，所以双曲线的离心率为 2 7 ，3, 4 22 ba，由双曲线的方 程为：1 34 22 yx 。 5.(高考题)已知抛物线xy8 2
8、的准线过双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点,且双曲线的离心率 为 2,则该双曲线的方程为. 【解析解析】 ：抛物线的准线为2x，所以双曲线中2c，由离心率为 2 得1a，焦点在x轴上，所以双曲 线的方程为1 3 2 2 y x。 6.(高考题)下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米. 【解析解析】 ：设拱桥所在抛物线的方程为pyx2 2 ，将点2, 2 代入得1p，转化为求点3,x中的x， 将点3,x代入抛物线yx2 2 中可得6x，即水面宽为62米。 7.(高考题)抛物线 2 2(0)xpy
9、p的焦点为F,其准线与双曲线 22 1 33 xy 相交于,A B两点,若ABF 为等边三角形,则p=. 【解析解析】 ：抛物线的准线为 2 p y，与双曲线联立得 3 3 2 p x，由等边三角形得p p 3 33 2 ， 解得6p。 求圆锥曲线中量的考题：求圆锥曲线中量的考题： 8.(高考题)曲线 22 1(6) 106 xy m mm 与曲线 22 1(59) 59 xy m mm 的() A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.准线相同 【解析解析】 ： 22 1(6) 106 xy m mm 表示焦点在x轴上的椭圆, 22 1(59) 59 xy m mm 表示焦点在y 轴上的双曲
10、线,化简为 22 1(59) 59 xy m mm ,可知焦距相等,选 A。 9.(高考题)已知0 4 ,则双曲线 22 1 22 :1 cossin xy C 与 22 2 222 :1 sinsintan yx C 的 () A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等 【解析解析】 ：由方程得 1 1 cos e , 22 2 sin1tan 1 sincos e ，选 D. 10.(高考题)若实数k满足09k，则曲线 22 1 259 xy k 与曲线 22 1 259 xy k 的() A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等 【解析解析】 ： 22 1
11、 259 xy k 表示焦点在x轴上的双曲线, 22 1 259 xy k 表示焦点在x轴上的双曲线,可知焦距 相等,选 A。 【高考母题【高考母题精练精练】 ： 1. （人教版 A 复习参考题， 前面 8、 9、 10 高考题均由本题改编） 曲线 22 1 259 xy 与曲线 22 1 259 xy kk 的() A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等 【解析解析】 ：当9k时， 22 1 259 xy kk 表示焦点在x轴上的椭圆，两曲线焦距相等；当925 k时， 22 1 259 xy kk 可化为1 925 22 k y k x ，表示焦点在x轴上的双曲线，两曲线焦距相等，选 D.
