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1、研究误差的意义 误差的基本概念 精度 有效数字与数据运算,第1章 绪论,合肥工业大学误差理论与数据处理,第一节研究误差的意义,科学始于测量,没有测量，便没有精密的科学。,门捷列夫,门捷列夫(1834-1907),第一节研究误差的意义,当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。,开尔文,开尔文（1824-1907）,第一节研究误差的意义,信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。,钱学森,钱学森(1911- ),第一节研究误差的意义,正确认识误差的性质，分析误
2、差产生的原因 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果,正确评定测量结果 正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法,从根本上，消除或减小误差,通过计算得到更接近真值的数据,根据目标确定最佳系统,第一节研究误差的意义,第一节研究误差的意义,大轴直径测量：测量不确定度0.005mm/m。,第二节误差的基本概念,误差的定义及表示法 误差的来源 误差分类,一、误差的定义及表示法,误差（Error）：,误差,测得值,真值,真值（True Value）：观测一个量时，该量本身所具有的 真实大小。,一、误差的定义及表示法,三角形内角之和 恒为180 一个整圆周角为 360,理论值,国际千克基准1Kg
3、在检定工作中，常 把高一等级精度的 标准所测得的量值， 即实际值作为约定 真值。,约定真值,测量某压力 二等标准活塞压力计测得 9000.2 N/CM2 高一等级的压力计测得 9000. N/CM2,约定真值,一、误差的定义及表示法,约定真值获得方式 (1)由国家基准或当地最高计量标准复现而赋予该量的值。 (2)采用权威组织推荐的该量的值。例如，由国际数据委员 会(CODATA)推荐的真空光速、阿伏加德罗常量等特定量 的最新值。 (3)有时用某量的多次测量结果来确定该量的约定真值。 (4)对于硬度等量，则用其约定参考标尺上的值作为约定真 值。,一、误差的定义及表示法,一、误差的定义及表示法,误
4、差,绝对 误差,相对 误差,粗大 误差,系统 误差,随机 误差,表示形式,性质特点,一、误差的定义及表示法,绝对误差（Absolute Error）,常用约定真值代替,特点：,1) 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。 2) 绝对误差与误差的绝对值不同。,xxx0,绝对误差,测得值,真值,一、误差的定义及表示法,修正值(Correction),:为了消除系统误差用代数法加到测量结果上的值。,修正值,真值,测得值,特点：,1) 与误差大小近似相等，但方向相反。 2) 修正值本身还有误差。,误差,真值,修正值,测得值,+,一、误差的定义及表示法,【例1-1】,用某电压表测量电压，电压表的
5、示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V ，被测电压的修正值为5V ，则修正后的测量结果为226+(5V )=221V。,绝对误差,一、误差的定义及表示法,被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值 x 来代替,相对误差,特点：,1） 相对误差有大小和符号。 2） 无量纲，一般用百分数来表示。,绝对误差,相对误差（Relative Error）： 实际相对误差 示值相对误差 引用相对误差,一、误差的定义及表示法,绝对误差和相对误差,用两种方法测量L1100的尺寸，其测量误差 为 ， ，哪种方法测量精度高？ 若用第三种方法测量L280的尺寸，其测量误 差为
6、 ，与上述两种方法相比，精度如何？,用绝对误差评定,用相对误差评定,第二种方法精度更高,一、误差的定义及表示法,第一种方法的相对误差为： 第二种方法的相对误差为： 第三种方法的相对误差为：,结论： 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量 等的测量精度， 采用相对误差评定较为准确。,一、误差的定义及表示法,定义 （）,测量范围上限或全量程,引用误差,仪器某刻度点的示值误差,引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是 引用了特定值，即测量范围上限（或全量程）得 到的，故又称为引用相对误差、满度误差。,引用误差（ Measuring Instrument Fiducial Error ）,
7、一、误差的定义及表示法,我国电工仪表的准确度等级(Accuracy Class)就按引用误差分级的，如1.5级的电表，表明 1.5。我国电工仪表共分七级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。,若某仪表的等级是S级，它的满刻度值为xm，则测量的引用 误差为 S 按公式绝对误差为 xxmS（）相对误差为,S选定后，X愈接近Xm，相对误差的上限值愈小，测量愈准确。 一般应使被测量的值尽可能在仪表满刻度值的三分之二以上。,一、误差的定义及表示法,【例1-2 】,检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是
8、否合格？,该电压表的引用误差为,由于,所以该电压表合格。,【解】,【例1-3 】,某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量 值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。（ ）,依题意，由公式（）可知，最大绝对误差为,相对误差分别为,在同一标称 范围内，测 量值越小， 其相对误差 越大。,【解】,二、误差的来源,Add Your Text,测量误差,环境误差,二、误差的来源,标准量具误差: 标准砝码,仪器误差： 天平的示值变动误差 天平本身的加工误差,二、误差的来源,二、误差的来源,各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起的测量 装置和被测量本身的变化所造成的误差。,二、误
9、差的来源,测量方法误差,指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因 所引起的误差，又称为理论误差。,例用均值电压表测量交流电压时，其读数是按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式中出现无理数和，故取近似公式，由此产生的误差即为理论误差。,二、误差的来源,测量人员误差,测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理 因素、测量习惯等的不同而引起的误差。,为了减小测量人员误差，要求测量人员：,认真了解测量仪器的特性和测量原理 熟练掌握测量规程 精心进行测量操作 正确处理测量结果,0,9,10,三、误差分类,三、误差分类,系统误差（Systematic Error）,在相同条件下，多次测
10、量同一量值，该误差的绝对值和符号 保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。,在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称为测量器具的偏移或偏畸（Bias）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小它。,三、误差分类,系统误差举例：,三、误差分类,误差绝对值和符号已经明确的系统误差。,已定系统误差：,举例：量块,误差绝对值和符号未能确定的系统误差， 但通常估计出误差范围。,未定系统误差：,三、误差分类,误差绝对值和符号固定不变的系统误差。,不变系统误差：,举例：砝码、热膨胀误差,误
11、差绝对值和符号变化的系统误差。 按其变化规律，可分为线性系统误差、周 期性系统误差和复杂规律系统误差。,变化系统误差：,三、误差分类,在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差但存在统计规律性。又称为偶然误差。,随机误差,产生原因,实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。,措施,用概率统计的方法处理含有随机误差的 数据，减小随机误差对测量结果的影响。,（Random Error）,三、误差分类,粗大误差（Gross Error）,指明显超出统计规律预期值的误差。 简称粗差。,定义,产生原因,某些偶尔的异常因素或
12、疏忽所致。,测量方法不当或错误，操作疏忽和失误,测量条件的突然变化,该误差很大，会明显歪曲测量结果。故应按 照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的 测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。,措施,三、误差分类,三类误差的关系,标准差,期望值,均值,某次测得值,奇异值,三类误差的定义是科学 严谨的，不能混淆。但 在一定条件下可以相互 转化。 按照一定基本尺,寸制造的量块。,第三节精 度,它反映测量结果中系统误差的影响。,准确度（Correctness）,它反映测量结果中随机误差的影响程度。,精密度（Precision）,精确度（Accuracy ）,它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度
13、，简称精度。,第三节精 度,准确度、精密度和精确度三者的关系,准确度高 精密度低,准确度低 精密度高,第三节精 度,在相同条件下，在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。,重复性（Repeatability）,在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。复现性也称为再现性。,复现性（Reproducibility）,常用精度名词术语,第三节精 度,测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的
14、变化等。,稳定性（Stability）,测量仪器的示值与对应输入量的真值（或约定真值）之差。其实质就是反映了测量仪器准确度的大小 。,示值误差（Error of Indication）,第三节精 度,测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。,偏移（Bias）,对于给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。有时也称为允许误差限。,最大允许误差（Maximum Permissible Error）,表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果 相联系的参数 。,不确定度（uncertainty）,第四节有效数字与数据运算,含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末
15、尾数的半个 单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字起到 最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都 叫有效数字。,测量结果保留位数的原则1： 最末一位数字是不可靠的，倒数第二位数字是可靠的。,测量结果保留位数的原则2： 在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述 原则再多取一维数字作为参考。,一、有效数字,第四节有效数字与数据运算,二、数字舍入规则,若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则 末位数加1。 若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则 末位数减1。 若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则 末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位
16、是奇数时则末位加1。,第四节有效数字与数据运算,三、数字运算规则,为保证最后结果有尽可能高的精度，运算数字在有效数 字后可多保留一位数字作为参考数字。 加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。 乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。 平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。,第四节有效数字与数据运算,在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表， 或用（n+1）位对数表，以免损失精度。 三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的 减小而增多，其对应关系：,总结与练习,测量误差的基本概念：误差的定义及表示方法、分类、来源,精度：有关误差的评定参数,有效数字：定义、数字的舍入原则、数据的运算原则,作业：,习题 (1)，(6
