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1、第 八章 应力应变状态分析,一.研究应力状态的意义,8-1 引言,（1）同一点各个方向的应力不同；,(2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与低碳钢的压缩破坏。,二、一点的应力状态,1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。,2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,三、研究应力状态的方法单元体法,1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。,应力与应变分析,应力与应变分析,c) 同b)，但从 上表面截取,b) 横截面，周向面，直径面各一对,a) 一对横截面，两对纵截面,低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏
2、现象。,铸铁,低碳钢,为什么要研究一点的应力状态？,CL10TU2,主平面,剪应力为零的平面,主应力：,主平面上的正应力,主方向：,主平面的法线方向,可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。,三个主应力用1、 2 、 3 表示，按代数值大小顺序排列，即 1 2 3,二.基本概念,应力状态的分类：,单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零；,二向和三向应力状态统称为复杂应力状态,二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零；,三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零,8-2 平面应力状态下的应力分析,CL10TU8,一.应力单元体,二. 应力分析的解析法,
3、（1）斜截面应力,：拉应力为正 ：顺时针转动为正 ：逆时针转动为正,平衡对象用斜截 面截取的微元局部,平衡方程, 参加平衡的量应力乘以其作用的面积,，,2.斜面上的应力微元体的平衡方程,法向的平衡,切向平衡,注：三角公式,讨论：,2.主应力,由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应力和最小主应力。,由,由：,三. 应力分析的图解法应力圆,1.莫尔(Mohr)圆,在t-s坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上 应力对应的点a和d,A,D,2.应力圆的画法,3.应力圆的几种对应关系,(3)转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,(4)二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,(1)单
4、元体与应力圆对应 单元体的应力分量已知一般来说对应着唯一的应力圆；,(2)点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；,点与面对应,圆与单元体对应,初始面,转向对应、二倍角对应,A,D,主应力与主切应力,(1)根据单元体上的应力x、y 、x画应力圆:,4.用应力圆求任意斜截面上的应力,（2）求任意斜截面上的应力,例8-1分别用解析法和图解法求图示单元体的,(1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。,解：()使用解析法求解,()使用图解法求解,作应力圆，从应力圆上可量出：,例8-3一点处的应力状态如图所示，试用应力
5、圆求主应力。,CL10TU71,例8-3一点的应力状态如图所示（应力单位 MPa），试作应力圆求主应力及其作用平面。,327，-237,127，-73,低碳钢,铸铁,例8-4 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。,圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用,CL10TU4,承受内压p作用薄壁圆筒的应力计算,1.三向应力状态应力圆： 平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定； 平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定； 平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。,一
6、、三向应力状态下的应力圆,2.三向应力状态下的最大剪应力,tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。,二、例题,8-三向应力状态下的最大应力,例9-4 试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。,解： 给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。,sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：,根据s1、s2、s3的排列顺序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa,主应力方位：,最大剪应力所在平面法线与主平面夹角
7、45o即与x轴夹角76o或-14o。,单元体内的最大剪应力：,一、广义虎克定律 1.有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；,2.广义虎克定律： 推导方法：叠加原理,主应变与主应力关系：,一般情况：,8-广义虎克定律,用应变表示应力：,上式中：,二、例题 例9-5 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,在轴向压缩下，圆柱
8、将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：,解：在柱体横截面上的压应力为：,圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。,应力的坐标变换,应力圆,谢 谢 大 家 !,第九章 应力与应变分析,第一节 应力状态的概念第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆第三节 三向应力状态下的最大应力第四节 广义虎克定律第五节 三向应力状态下的变形比能,一、一点的应力状态,1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。,2.研究应力状态的目的
9、：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,第一节 应力状态的概念,二、研究应力状态的方法单元体法,1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。,应力与应变分析,应力与应变分析,（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。,（2）面的方位用其法线方向表示,3.截取原始单元体的方法、原则,用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,单元体各个面上的应力已知或可求；,几种受力情况下截取单元体方法：,2.单元体上的应力分量,应力与应
10、变分析,c) 同b)，但从 上表面截取,b) 横截面，周向面，直径面各一对,a) 一对横截面，两对纵截面,三、应力状态分类(按主应力),1. 主平面：单元体上剪应力为零的面；,主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；,主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示， 有s1s2s3。,应力与应变分析,2.应力状态按主应力分类：,只有一个主应力不为零称单向应力状态；,只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；,三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；,单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。,应力与应变分析,一、平面应力分析的解析法,
11、1.平面应力状态图示：,第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆,应力与应变分析,2.任意a角斜截面上的应力,得,应力与应变分析,符号规定： a角以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负 s拉为正，压为负 t使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负,3.主应力及其方位：,由主平面定义，令t =0，得：,可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。,即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。,应力与应变分析,主应力大小：,由s、s、0按代数值大小排序得出：s1s2s3,判断s、s作用方位(与两个a0如何对应),txy箭头指向第几象限(一、四)，则s(较大主应力)在第几象限，即先判断s大
12、致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。,应力与应变分析,4.极值切应力：,令： ，可求出两个相差90o 的 a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。,极值切应力：,应力与应变分析,例一 图示单元体，试求：a=30o斜截面上的应力； 主应力并画出主单元体；极值切应力。,例9-2 分析圆轴扭转时的应力状态。,二、平面应力分析的图解法应力圆,1.理论依据：,以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx、txy为： 以) 为半径的圆。,2.应力圆的绘制：,定坐标及比例尺；,取x面，定出D( )点；取y面，定出D( )点；,连DD交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；,3.
13、应力圆的应用,点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；,角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;,旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；,求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。,用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表s所在主平面，其转过角度为2 ，转至s轴负向B1点代表s所在主平面；,确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t，纵轴坐标最小的G2点为t”，作用面确定方法同主应力。,求：1)a=30o斜
14、截面上的应力； 2)主应力及其方位； 3)极值剪应力。,例9-3 用应力圆法重解例9-1题。,1.三向应力状态应力圆： 平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定； 平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定； 平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。,一、三向应力状态下的应力圆,2.三向应力状态下的最大剪应力,tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。,二、例题,第三节 三向应力状态下的最大应力,例9-4 试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。,解： 给定应
15、力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。,sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：,根据s1、s2、s3的排列顺序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa,主应力方位：,最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。,单元体内的最大剪应力：,一、广义虎克定律 1.有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；,2.广义虎克定律： 推导方法：叠加原理,主应变与主应力关系：,一
16、般情况：,第四节 广义虎克定律,用应变表示应力：,上式中：,二、例题 例9-5 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：,解：在柱体横截面上的压应力为：,一、总应变比能 1.有关概念：,应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的 能量。
